6.WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIETRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ.pdf

(223 KB) Pobierz
ÆWICZENIE 39
Ć w i c z e n i e 6
WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W POWIE-
TRZU METODĄ FALI STOJĄCEJ
6.1 Opis teoretyczny
W ośrodkach sprężystych wytrącenie pewnego obszaru z położenia równowagi powoduje drgania
wokół tego położenia. W najprostszym przypadku – drgania harmonicznego, wychylenie z położe-
nia równowagi zmienia się w czasie cosinusoidalnie z częstotliwością kątową ω :
A(t) ωt
=
A 0
cos
gdzie: A 0 – amplituda drgań, czyli największe wychylenie
ω = , T – okres drgań (niezależny
2
π
T
od stopnia złożoności drgania).
Wskutek sprężystości ośrodka zaburzenie to przenosi się do coraz dalszych obszarów z prędko-
ścią V zależną od właściwości danego ośrodka. Zjawisko to nazywamy falą mechaniczną.
W punkcie oddalonym od źródła zaburzenia o x 0 drgania pojawiają się z opóźnieniem
t
0 = (np.
x
0
V
na jeziorze w chwili t = 0 rzuciliśmy kamień na odległość x 0 od brzegu. Fala pojawi się przy brzegu
dopiero po czasie t 0 tzn. w chwili t = t 0 ). Drganie w tym punkcie opisuje więc równanie:
A(x
,
t)
=
A
cos
ω
(t
-
t
)
=
A
cos
ω
t
-
x
0
(6.1)
0
0
0
0
V
Zapisujemy
A(x 0
,
t)
aby zaznaczyć, że wychylenie A dotyczy konkretnego punktu x
0 .Ogólnie
możemy zapisać dla wszystkich punktów x drgającego ośrodka:
A(x
,
t)
=
A
cos
ω
t
-
x
(6.2)
0
V
Równanie to opisuje falę rozchodzącą się w kierunku dodatniej osi x. W przypadku rozchodzenia
się fali w kierunku przeciwnym, należy x zastąpić przez –x i wówczas:
A(x
,
t)
=
A
cos
ω
t
+
x
(6.3)
0
V
Długością fali nazywamy najmniejszą odległość między punktami drgającymi w jednakowych
fazach. Jest ona równa drodze jaką określona faza przebędzie z prędkością V w czasie T:
λ
λ T
=
V
stąd
V =
λ
f
(6.4)
 
gdzie
1
f = - częstotliwość propagujących się drgań.
T
Jest to wzór słuszny dla każdego typu fali.
Powierzchnię utworzoną przez punkty, do których doszło w danej chwili zaburzenie nazywamy
czołem fali. Fale mogą więc być płaskie (w przypadku gdy fala rozchodzi się w jednym kierunku),
kuliste (gdy źródło wysyła energię drgania tak samo we wszystkich kierunkach) oraz inne w przy-
padkach pośrednich.
W zależności od kierunku drgań cząsteczek ośrodka względem kierunku rozchodzenia się fali, fale
mogą być podłużne – cząstki drgają równolegle, lub poprzeczne - cząstki drgają prostopadle do
kierunku propagacji (czyli rozchodzenia się) fali. Fale poprzeczne powstają w ośrodkach charakte-
ryzujących się sprężystością postaci (sztywnością). Dla występowania fal podłużnych wystarczają-
cy jest warunek sprężystości objętości. W cieczach i gazach mogą rozchodzić się tylko fale podłuż-
ne. W ciałach stałych mogą występować również fale poprzeczne. Dźwięk (fala akustyczna) to fala
podłużna, czyli rozchodzące się rozrzedzenia i zagęszczenia powietrza. Zmiana ciśnienia ∆ ma
również charakter harmoniczny. Falę akustyczną można więc traktować jak falę przemieszczeń (o
amplitudzie A 0 ) lub jak falę zmian ciśnień o amplitudzie
p =
0
ρ
ω
V
A
0
(gd
zie gęstość
ρ
gazu) :
∆
p(x
,
t)
=
p
sin
ω
x
t
-
(6.5)
0
V
P
odpowiada zerowe przemieszczenie i odwrotnie maksymalnemu przemieszczeniu – zerowe ciśnie-
nie. Dlatego we wzorze tym występuje sinus zamiast cosinusa.
Metoda pomiaru prędkości dźwięku w niniejszym ćwiczeniu p
wietrza (rurze) fali stojącej. Powstaje ona w wyniku interferencji (nałożenia się) dwóch identycz-
nych fal, ale rozchodzących się w przeciwnych kierunkach i o przesuniętych względem siebie fa-
zach o kąt π. W określonym punkcie x rury wychylenie cząsteczek gazu od położenia równowagi
można okre lić z równania:
olega na wytworzeniu w słupie po-
ś
A(x
,
t)
=
A
cos
ω
t
-
x
+
A
cos
ω
t
+
x
+
π
=
A
cos
ω
t
-
x
−
A
cos
ω
t
+
x
0
V
0
V
0
V
0
V
(6.6)
Po jego przekształceniu otrzymujemy:
A(x
,
t)
=
2
A
sin
2
π
x
sin
2
π
t
(6.7)
0
λ
T
Czynnik
sin
T
2
π
wskazuje na to, że cząsteczka gazu w punkcie x drga z częstotliwością spo-
tykają fal. Ich amplituda zależy od punktu x i określona jest przez czynnik
cych się
2 0
sin
λ
aszczyzny prostopad
x
2
π
. Taki stan gazu w rurze nazywamy falą stojącą. W stanie tym można wyróżnić
takie pł
łe do osi rury, w których cząsteczki mają zerową amplitudę drgań (są to
tzw. węzły fali stojącej) oraz płaszczyzny, w których amplituda drgań jest równa 2 A 0 (są to tzw.
strzałki). Mierząc ciśnienie w tych płaszczyznach otrzymalibyśmy odpowiednio maksymalne i mi-
nimalne ciśnienie. Falę stojącą jest łatwo otrzymać poprzez nałożenie danej fali na jej odbicie, gdyż
fala odbijając się (np. od gładkiej ścianki) oprócz kierunku zmienia fazę drgań na przeciwną (tzn. o
kąt π). W tak wytworzonej sytuacji cały ośrodek (powietrze w rurze) jest pobudzany do drgania
onieważ przemieszczenia przesunięte są w stosunku do ciśnień o 90 o , maksymalnemu ciśnieniu
t
A
 
przez dwie specyficzne fale. Udział w drganiu bierze cały ośrodek. Nie ma tu jednak zjawiska roz-
chodzenia się zaburzenia. Nie jest to więc fala w sensie opisanym wyżej, lecz szczególny stan drga-
nia ośrodka.
Poł enie strzałek można wyznaczyć z warunku
sin
2
x
S
=
1
:
λ
x
S
n
=
(2n
+
1)
λ
n = 0,1,2,..
(6.8)
Odleg ość między kolejnymi strzałkami oblicza się z różnicy sąsiednich położeń:
ł
x
−
x
=
λ
S
n
+
1
S
n
2
i
Podobnie można wyznaczyć odległość między kolejn
wn
ymi węzłami, badając warunek
sin
2
π
x
W
=
0
:
λ
x
W =
2n
λ
n = 0,1,2,..
(6.9)
x
−
x
=
λ
W
n
+
1
W
n
2
z żności (6.8) i (6.9) łatwo pokazać, że odległość pomiędzy sąsiednimi węzłami i strzałkami
ale
6.2 Opis układu pomiarowego
u
Podstawowym jego elementem jest rozsuwana rura (tzw. rura Kunta), zakończona z dwóch stron
denkami. Poprzez małe otworki w denkach z jednej strony na słup powietrza w rurze oddziałuje
membrana głośnika, pobudzana do drgań z generatora akustycznego. Z drugiej strony słup powie-
trza działa na mikrofon, połączony poprzez wzmacniacz z oscyloskopem. Mała ilość otworków jak
i ich rozmiary pozwala przyjąć, że oba końce rury zakończone są nieruchomymi ściankami. Od-
działywania: słup powietrza – mikrofon oraz membrana głośnika - słup powietrza odbywa się po-
przez zmianę ciśnienia, które jak pokazano w poprzednim punkcie jest przesunięte w stosunku do
przemieszczeń cząsteczek o 90 0 . Ponieważ końce rury to nieruchome ścianki, fazy fali padającej i
odbitej muszą być takie, aby na nieruchomej ściance zawsze był węzeł (brak przemieszczeń. Za-
chodzi to tylko wtedy, gdy fala padająca i odbita są przesunięte w stosunku do siebie o kąt 180 0 . W
przypadku gdy długość rury jest całkowitą wielokrotnością połowy długości fali, zachodzi dodat-
kowo zjawisko rezonansu, w efekcie którego następuje zwiększenie amplitud w miejscu strzałek i
ciśnienia w miejscu węzłów. Zjawisko to łatwo daje się zaobserwować: na mikrofon umieszczony
w węźle fali stojącej działa maksymalne ciśnienie (strzałka ciśnienia) i drgania obserwowane na
oscyloskopie są wówczas największe. Zmieniając długość rury, przy ustalonej częstotliwości drgań
membrany, otrzymujemy kolejne maksyma amplitud drgań obserwowanych na oscyloskopie.
π
oż
4
ró a ona jest połowie długości interferujących ze sobą fal.
4
Z
równa jest jednej czwartej długości fali.
Zestaw do wytwarzania i rejestracji fali stojącej w sł pie powietrza przedstawiony jest na rys. 6.1.
 
Generator
akustyczny
SCLSO
P
R U R A
Głośnik
Mikrofon
Rys.6.1 Schemat układu do pomiaru prędkości dźwięku w powietrzu.
O
drgań, a przez l(n) n = 1,2,3,..kolejne następne położenia. Z omówionej teorii powstawania fali sto-
jącej wynika związek:
znaczając przez l(0) położenie rury dla którego otrzymujemy pierwsze maksimum amplitudy
l
(
n
)
=
l
(
0
+
n
λ
n = 1,2,3,..
2
F
unkcja l(n) jest funkcją liniową o współczynniku kierunkowym
a
=
λ
i wyrazie wolnym b = l(0) .
2
λ i korzystając ze wzory (6.4) łatwo wyznaczamy
Znając współczynnik nachylenia a, a więc
2
prędkość dźwięku:
V =
2
a
f
(6.10)
W
Częstotliwość f ustala się na generatorze drgań akustycznych.
ielkość l(n) odczytujemy na skali centymetrowej umieszczonej na bocznej powierzchni rury.
6.3. Przebieg pomiarów
1
. Włączyć generator drgań akustycznych i oscyloskop. Obraz na ekranie oscyloskopu powinien
być ostry.
Ustawić cz
Hz.
2. ęstotliwość drgań generowanych przez generator na wartość z zakresu 1500 – 2500
 
3. Wysuwając rurę znaleźć kolejno po sobie następujące położenia l(n) , dla których amplituda
drgań obserwowanych na oscyloskopie osiąga maksimum.
4. Pomiarypowtórzyć dla 3 – 4 różnych wartości częstotliwości.
6.4. Opracowanie wyników pomiarów.
1. Rezultaty pomiarów przedstawić na wykresie, odkładając na osi odciętych kolejne numery re-
zonansów n (0,1,2,3,...), a na osi rzędnych odpowiadające im położenia rury l(n)
2. Po naniesionych punktach poprowadzić optymalną prostą. Wyznaczyć współczynnik nachylenia
σ .
3. Obliczyć prędkość dźwięku w powietrzu (wzór 6.10)
4. Punkty 1-3 powtórzyć dla pozostałych częstotliwości.
σ
6. Korzystając z prawa przenoszenia błędów, możemy obliczyć średni błąd kwadratowy wyzna-
czonych prędkości:
f
związany jest ze stabilizacją pracy generatora.
( ) ( ) 2
σ
=
2
a
σ +
2
2
f
σ
V
f
a
6.5. Pytania kontrolne
1. Wyprowadzić równanie fali stojącej.
2. Podać warunek fali stojącej w rurze zamkniętej z jednego końca.
3. Opisać falę akustyczną w powietrzu.
4. Opisać falę akustyczną w ciele stałym.
5. Czymożna mówić o spolaryzowanej fali akustycznej w powietrzu oraz w ciele stałym?
6. Wymienić inne metody wyznaczenia prędkości dźwięku.
L i t e r a t u r a
[1] Crawford F.C.: Fale. PWN, Warszawa 1973.
[2] Massalski J.M.: Fizyka dla inżynierów, cz.2, WNT, Warszawa 1975.
[3] Resnik R., Halliday D.: Fizyka, t.1. PWN, Warszawa 1975.
prostej a oraz błąd jego wyznaczenia a
5. Błąd pomiaru częstotliwości
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin