Pojęcia macierzy
Macierz jest to tablica pewnych liczb rzeczywistych:
a mn m - to rzędy macierzy, n - to kolumny macierzy
Pojęcia macierzy kwadratowej.
Jeżeli m = n to taką macierz nazywamy macierzą kwadratową.
Pojęcia przekątnej głównej macierzy.
1, 5, 9 leżą na przekątnej głównej macierzy
Pojęcia macierzy jednostkowej.
macierz jednostkowa bo w każdym wierszu i każdej kolumnie leży tylko jedna jedynka
Pojęcia macierzy transponowanej.
W macierzy transponowanej to co jest rzędami w macierzy podstawowej staje się kolumnami tzn. pierwszy rząd staje się pierwszą kolumną, drugi wiersz staje się drugą kolumną itd.
Macierz transponowana powtórnie transponowana, daje w wyniku macierz pierwotną.
Działania na macierzach:
Dodawanie macierzy:
Dodajemy macierze które mają jednakowe wymiary.
Odejmowanie macierzy:
Odejmujemy macierze które mają jednakowe wymiary.
Mnożenie macierzy:
1. Mnożenie stałej przez macierz:
2. Mnożenie macierzy przez macierz:
Mnożenie wykonujemy w ten sposób, że wiersze I macierzy mnożymy przez kolumny II macierzy.
Ilość elementów w wierszu I macierzy musi być równa ilości elementów w pierwszej kolumnie II macierzy.
Własności mnożenia:
1. Iloczyn macierzy na ogół nie jest przemienny:
A* B ¹ B ·A
2. C(A+B) = C*A + C*B (A+B)*C = A*C + B*C
Pojęcia wyznacznika macierzy.
Jeżeli mamy macierz trzeciego stopnia:
to wyznacznik takiej macierzy możemy wyznaczyć na trzy sposoby:
dopisujemy dwie kolumny
Pierwszy sposób:
Drugi sposób:
dopisujemy dwa rzędy
Macierz której wyznacznik jest równy 0 („zero”) nazywa się macierzą osobliwą.
Trzeci sposób:
.
Jeżeli mamy macierz czwartego stopnia to postępujemy w sposób opisany poniżej:
Wzór: akl(-1)k+l det A’
Poszukujemy wiersza lub kolumny o największej ilości zer (tutaj druga kolumna).
Macierz odwrotna istnieje tylko wtedy jeżeli wyznacznik macierzy jest różny od zera.
Obliczanie macierzy odwrotnej: I sposób.
Pierwszy krok: trzeba policzyć wyznacznik detA z macierzy.
więc macierz odwrotna istnieje
Drugi krok: buduje się macierz dopełnień
Trzeci krok: transponujemy macierz
Krok czwarty: wyznaczenie macierzy odwrotnej:
Sprawdzenie poprawności obliczeń:
Jeżeli macierz odwrotną przemnożymy przez daną macierz, otrzymamy macierz pierwotną:
Sprawdzamy:
Sprawdzenie wypadło prawidłowo.
Obliczanie macierzy odwrotnej: II sposób. (przekształcenia elementarne)
Pierwszy i trzeci wiersz przepisujemy bez zmian bo jest jedynka i zero
Aby zamiast elementu a 21 = 2 otrzymać 0 należy wiersz w1 pomnożyć przez (-2) i dodać wiersz 1.
ok.!
Aby zamiast elementu a 22 = -7 otrzymać 1 należy wiersz 2 podzielić przez -7
Aby zamiast elementu a 12 = 5 otrzymać 0 należy wiersz 2 pomnożyć przez (-5) i dodać do wiersza 1.
Aby zamiast elementu a 32 = 1 otrzymać 0 należy w2 pomnożyć przez (-1) i dodać do wiersza 3.
Aby zamiast elementu a 33 = -4/7 otrzymać 1 należy w3 pomnożyć przez (-7/4)
Aby zamiast elementu a 13 = -1/3 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (1/3) i dodać do w1
Aby zamiast elementu a 23 = 11/7 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (-11/7) i dodać do w2
Rozwiązanie I metodą.
...
pilot1216