wykład 15-euklidesowa przestrzeń wektorowa.pdf

EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA)

RZECZYWISTA

Definicja 1

( )

,,,

+⋅

uxxx

(

, ,...,

)

v yy y

(

, ,...,

)

( )

uv xy x y

/ :

=+++

2 2

...

x y

- nazyay iloczynem skalarnym

Możemy go również oznaczać w następujący sposób:

( )

uv uv

/ :

= D

Definicja 2

JJG

( ) ()

tę przestrzeń wektorową nad ciałem z iloczynem skalarnym

JJG

oznaczamy i nazywamy euklidesową.

Definicja 3

JJG

( , , ,

\\ ) - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn

n n +⋅

JJG

skalarny

Przestrzeń zdefiniowaną z iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią

euklidesową i oznaczamy .

Definicja 4

Jeżeli w przestrzeni E n

uxxx

(, , )

to związek:

||:

= v

( )

nazywamy normą

WNIOSEK: ||

u x x

||:

=+++ 2

...

Definicja 5

( )

EE +⋅

, , ,

JJG

xy E

∈

to odległością nazywamy:

= JJG

( )

, : || ||

y xy

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 1 z 9

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna

Definicja 5

JJG

- przestrzeń euklidesowa

uv E

∈ JJG

≠ ∧≠

Jeżeli

( )

uv =

to mówimy, że wektory są ortogonalne.

GEOMETRIA ANALITYCZNA PRZESTRZENI EUKLIDESOWEJ E 3

Oznaczenie:

JJG

( )

, , ,

- przestrzeń euklidesowa

( )

0,, ,

i j k

- układ współrzędnych przestrzeni afinicznej

: 1,0,0

( ) ( ) ( )

: 0,1,0

: 0,0,1

UWAGA:

W przestrzeni E 3 zamiast mówić, że dwa wektory są ortogonalne mówimy,

że są prostopadłe. Zachodzi tam również:

|| || || || || || 1

=== i i j i kkj

j k

⊥⊥ ⊥

UMOWA:

W E 3 przyjmujemy tzw. ortogonalny układ współrzędnych.

Definicja 1

uv E

∈ JJG

Kątem między wektorami

)

( )

nazywamy mniejszy z 2 kątów jakie one

tworzą jeżeli zaczepimy je w początku układu.

UWAGA:

Dowodzi się, że:

uv u v uv

|| || || || cos

)

, stąd

cos

)

( )

uv uv

|| || || ||

⋅

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 2 z 9

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna

EE +⋅

=⋅

( )

Definicja 2

∈ JJG

Wersorem wektora nazywamy wektor, który ma ten sam kierunek i zwrot

ale długość równą 1.

JJJJJJG JJJJJJG

wersu u wersu

G G G

↑↑ ∧

WNIOSEK:

uxxx

[ ]

123

u ≠

JJJJJJG G

= 



xyz

, ,



uuu







UWAGA:

uuuu

= 



x yz

, ,



cos

)

()

= =

ui u

cos

)

( )

u j u

cos

)

( )

uk uk u

Definicja 3.

cos

) ) )

() ( ) ( )

ui u j uk

cos

nazyay kosinusai kierunkoyi

WNIOSEK:

JJJJJJG G

= 



) ) )

() ( ) ( )

u i

, , cs

u j uk

, , cs





UWAGA:

Wszystkie powyższe definicje i wnioski dotyczą też (odpowiednio)

przestrzeni E 2 .

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 3 z 9

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna





wersu



wersu

ORIENTACJA

Orientacja w

JJG

( )

EE +

, ,

JJG

GG GG

( ) ( )

Dwie pary wektorów liniowo niezależnych zaczepionych w punkcie O, O’

Te 2 pary wektorów nazymamy równoskrętnymi jeżeli poprzez

przesunięcie i obrót można doprowadzić do sytuacji, że punkt O pokryje się

z punktem O’, wektory leżą na tej samej prostej i mają ten sam zwrot

a wektory leżą po tej samej stronie tej prostej.

c GJ ,

a GG

b G

d JG

a G

c G

d JG b G

a G

c G

2 pary wektorów nazymamy nierównoskrętnymi jeżeli poprzez

przesunięcie i obrót można doprowadzić do sytuacji, że punkt O pokryje się

z punktem O’, wektory leżą na tej samej prostej i mają ten sam zwrot a

wektory

c GJ ,

leżą po dwóch stronach tej prostej.

a GG

b G

d JG

c G

a G

b G

c G

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 4 z 9

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna

ab O cd O

, G

WNIOSEK:

Łatwo zauważyć, że jeżeli ustalimy parę wektorów to pozostałe są do nich

albo równoskrętne albo nierównoskrętne.

Jeżeli ustalimy parę wektorów to mówimy, że nadajemy orientację.

b G

wektory są liniowo niezależne

a G

Orientacja dodatnia

Mówimy, że orientacja jest dodatnia, jeżeli obracając wektor wokół

punktu O po najkrótszej drodze tak aby pokrył się z prostą zawierającą

poruszamy się niezgodnie z ruchem wskazówek zegara.

a G

b G

a G

Orientacja ujemna

Mówimy, że orientacja jest ujemna, jeżeli obracając wektor wokół punktu

O po najkrótszej drodze tak aby pokrył się z prostą zawierającą

poruszamy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

b G

a G

b G

UWAGA:

j G

i G

III

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 5 z 9

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna

G G

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: