bnsp_teo.pdf

(161 KB) Pobierz
Microsoft Word - bnsp_teo.doc
BELKI NA SPRĘŻYSTYM PODŁOŻU
1
1. PODŁOŻE SPRĘŻYSTE TYPU WINKLERA (1867)
1.1. Założenia
∗ więzy gładkie (brak tarcia między podłożem i spoczywającą na nim belką),
∗ więzy dwustronne (więzy łączące belkę z podłożem „pracują” na rozciąganie i na ściskanie) -
oznacza to, że belka nie odrywa się od podłoża,
∗ odpór podłoża r(x) w punkcie (liczony na jednostkę długości belki) jest proporcjonalny do
ugięcia w tym punkcie.
q (x)
x
h
b
w
r (x)
( ) ( )
=×
( ) ( ) ( )
= −
c - moduł podatności podłoża
drobny piasek
zbity ił
podłoże gruntowe
50
2000
c [MPa/m]
podłoże betonowe
8000
15000
c [MPa/m]
1.2. Równania linii ugięć oraz momentów zginających i sił poprzecznych
wx
( )
=−
Mx
EI
( )
wx
( )
=−
Qx
EI
( )
wx px
EI
( )
=
EIw x
II
( ) ( )
=−
M x
wx bc
( ) ( )
+
EI wx
=
qx
EI
( )
rx c bwx
px qx rx
IV
II
III
( )
IV
73963444.010.png
BELKI NA SPRĘŻYSTYM PODŁOŻU
2
α 4
def
.
bc
EI
=
α [1/m]
4
∗ współrzędna bezwymiarowa ζ ζ α
= x
wx
( )
=
∂
∂ζ
w
∂ζ
∂
=
w
I
( )
ζα
x
wx
( ) ( )
=
∂
∂ζ
[ ] ( )
w
I
ζα ∂ζ
∂
=
w
II
ζα 2 ⇒ ( )
MEI w II
ζ
=−
α ζ
2
( )
x
wx
( ) ( )
=
∂
∂ζ
[ ] ( )
II
ζα
2
∂ζ
∂
=
w
III
ζα
3 ⇒ ( )
Q
ζ
=−
EI w III
α ζ
3
( )
x
wx
( )
=
∂
∂ζ
[ ] ( )
III
ζα
3
∂ζ
∂
=
w
IV
ζα
4
x
w
IV ζ
( ) ( )
+
4
w
ζ
=
4
q
k
( )
ζ
k = b c
∗ rozwiązanie
ww e A B e C D
( ) ( ) (
ζ ζ
= +
s
ζ
cos
ζ ζ
+
sin
) (
−
ζ
cos
ζ ζ
+
sin
)
2. BELKI NIESKOŃCZENIE DŁUGIE
∗ warunek skończonej wielkości ugięć powoduje zerowania się stałych A i B
ww e C D
( ) ( ) (
ζ ζ
= +
s
−
ζ
cos
ζ ζ
+
sin
)
wwe
I
( ) ( ) ( ) ( )
ζ ζ
= +
I s
−
ζ
[
DC DC
−
cos
ζ
− +
sin
ζ
]
w
II
( ) ( ) (
ζ ζ
= +
w
II
2
e C
−
ζ
sin
ζ
−
D
cos
ζ
)
w
III
( ) ( ) ( ) ( )
ζ ζ
= +
w
III
2
e
−
ζ
[
D C
+
cos
ζ
+ −
D C
sin
ζ
]
2.1. Belka obciążona siłą skupioną
P
w s ζ= 0
( )
dla ζ ≥ 0
w
ζ
1) ( )
w ζ→∞ = 0 ( )
w I ζ→∞ = 0
2) ( )
w I ζ= 00
( )
Q
ζ= =−
0
+
P
2
∗ z warunków kinematycznych 1) wynika, że :
A = 0 , B = 0
∗ z warunku kinematycznego i statycznego 2) wynika, że :
CDP bc
== α
2
I
II
III
w
IV
w
( )
+
73963444.011.png 73963444.012.png 73963444.013.png
BELKI NA SPRĘŻYSTYM PODŁOŻU
3
∗ ostatecznie zatem dla ζ ≥ 0
wP bc e
( )
ζ
=
α
−
ζ
(
cos sin
ζ ζ
+ =
) ( )
P
bc
α ηζ
2
2
MEI w
( )
ζ
=−
α ζ
2
II
( ) (
=
P
e
−
ζ
cos sin
ζ ζ
− =
) ( )
P
α ηζ
1
4
α
4
Q
( )
ζ
=−
EI
α ζ
3
w
III
( )
=−
P e
−
ζ
cos
ζ η ζ
=
P
2
( )
2
2
∗ dla ζ < 0
w
( ) ( )
ζ
=
P
bc
α ηζ
;
( ) ( )
M
ζ
=
P
α ηζ
1
; ( ) ( )
Q
ζ
=−
P
η ζ
2
2
4
2
∗ wiele sił skupionych
α
∑
n
( )
w
αα
−
=
P i
ηζ
i
P 3
P 1
P 2
2
bc
i
=
1
α
n
1
4
∑
( )
α
ζ
M
αα
−
=
α
P i
ηζ
1
i
ζ 1
i
=
1
ζ 2
ζ 3
∗
w
n
1
2
∑
( )
Q
=−
P i
ηζ
αα
−
2
i
i
=
1
*) jeżeli ζ < 0 to wyraz w nawiasie klamrowym z gwiazdką należy wziąć ze znakiem przeciwnym
2.2. Belka obciążona momentem skupionym
w s ζ= 0
( )
+
M
dla ζ ≥ 0
1) ( )
w ζ→∞ = 0
A =0 ; B = 0
⇒
ζ
( )
w
w I ζ→∞ = 0
2) ( )
w ζ= 00 ⇒
C = 0
3) ( )
M
ζ= =
0
+
M
2 ⇒
DM bc
=
α 2
∗ ostatecznie zatem dla ζ ≥ 0
w bc e
( )
α
2
−
ζ
sin
M
bc
α
2
( )
ζ
=
ζ
=
ηζ
3
M
( )
ζ
=
M e
−
ζ
cos
ζ η ζ
= −
M
2
( )
2
2
Q
( )
ζ
=−
M
α
e
−
ζ
(
cos sin
ζ ζ
+ =−
) ( )
M
α ηζ
2
2
∗ dla ζ < 0
( )
M
bc
α
2
( )
( ) ( )
M
; ( ) ( )
M
α ηζ
w
ζ
=−
ηζ
;
M
ζ η ζ
=
Q
ζ
=−
3
2
2
2
73963444.001.png 73963444.002.png
BELKI NA SPRĘŻYSTYM PODŁOŻU
4
∗ wiele momentów skupionych
m
∗
2
α
∑
( )
M 3
M 1
M 2
w
=−
M i
ηζ
αα
−
3
i
α
bc
i
=
1
α
ζ
m
∗
1
2
∑
( )
M
=−
M i
ηζ
ζ 1
αα
−
2
i
ζ 2
ζ 3
i
=
1
w
m
=− ∑
α
( )
Q
αα
−
M i
ηζ
i
2
i
=
1
*) jeżeli ζ < 0 to wyraz w nawiasie klamrowym z gwiazdką należy wziąć ze znakiem przeciwnym
2.3. Belka obciążona obciążeniem ciągłym
α
α
q
w
ζ
ζ p ζ k
ζ
k
d
ζ
q
bc
ζ
k
q
bc
α
w
αα
−
=
∫
q
o
α ηζ
( )
=
o
∫
e
−
ζ
(
cos sin
ζ ζ ζ
+
) []
d
=
o
η
2
ζ
k
2
bc
2
2
ζ
p
ζ
ζ
p
p
ζ
k
d
ζ
q
ζ
k
q
1
M
αα
−
=
∫
q
o
α ηζ
1
( )
=
o
∫
e
−
ζ
(
cos sin
ζ ζ ζ
−
) []
d
=
o
η
3
ζ
k
4
α
4
α
2
4
α
2
ζ
p
ζ
ζ
p
p
q
ζ
k
q
Q
αα
−
= −
o
∫
e
−
ζ
cos
ζζ
d
=
o
[]
η
1
ζ
k
2
α
4
α
ζ
p
ζ
p
2.4. Obciążenie łączne
α
M +
q
P +
ζ p
α
ζ
ζ p
ζ k
ζ k
w
n
m
∗
r
2
α
∑
( )
α
∑
( )
1
2
∑
[]
ζ
w
=
P
ηζ
+ −
M
ηζ
+
q
η
k
αα
−
i
i
i
3
i
i
2
2
k
k
k
ζ
p
i
=
1
i
=
1
i
=
1
n
+
m
∗
r
1
4
∑
( )
1
2
∑
( )
1
∑
[]
ζ
M
=
P
ηζ
M
ηζ
+
q
η
k
αα
−
i
1
i
i
2
i
i
3
α
4
α
2
ζ
p
i
=
1
i
=
1
i
=
1
n
∗
m
r
∗
1
2
∑
( )
α
∑
( )
1
4
∑
[]
ζ
Q
=−
P
ηζ
−
M
ηζ
+ −
q
η
k
αα
−
i
2
i
i
i
i
1
2
α
ζ
p
i
=
1
i
=
1
i
=
1
73963444.003.png 73963444.004.png 73963444.005.png
BELKI NA SPRĘŻYSTYM PODŁOŻU
5
η
=
− esin
ζ
(
ζ ζ
+
)
η
1 =
− esin
ζ
(
ζ ζ
−
)
η
2 =− − es
ζ
ζ
η
3 =
− ein
ζ
ζ
*) jeżeli ζ < 0 to wyrazy w nawiasach klamrowych z gwiazdką należy wziąć ze znakiem
przeciwnym, zaś w funkcjach η÷η 3 należy w miejsce ζ wstawić ζ .
3. BELKI SKOŃCZONEJ DŁUGOŚCI
w
IV ζ
( ) ( )
+
4
w
ζ
=
4
q
k
( )
ζ
k = b c
ww e A B e C D
( ) ( ) (
ζ ζ
= +
s
ζ
cos
ζ ζ
+
sin
) (
+
−
ζ
cos
ζ ζ
sin
)
∗ w belkach o skończonej długości ( ζ przyjmuje wartości skończone ) zachodzą warunki A ≠ 0, B
≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0. Te 4 stałe należy wyznaczyć z warunków kinematycznych i statycznych. Jeżeli
belka składa się z kilku przedziałów charakterystycznych to należy napisać i rozwiązać tyle
równań ile jest przedziałów, korzystając dodatkowo z 4 warunków zapisanych w punkcie
zszycia każdych dwóch przedziałów. Taka droga jest rachunkowo uciążliwa.
3.1. Metoda F. Bleicha
∗ belkę o skończonej długości zastępuje się belką o nieskończonej długości
∗ obciążenie belki nieskończonej składa się z :
1. obciążenia pierwotnej belki skończonej (na długości tej belki)
2. dodatkowego obciążenia poza obszarem belki pierwotnej, takiego, aby zapewniona była
zgodność statycznych warunków brzegowych obu belek. Uzyskuje się to poprzez
umieszczenie 4 sił skupionych R 1 ÷ R 4 , po dwie z każdej strony belki, w takim rozstawie,
który ułatwia obliczenia
A
B
R 1
R 2
R 3
R 4
π /4 α
π /4 α
π /4 α π /4 α
π /4 π /4
π /4 π /4
∗ zapewniając zgodność momentu zginającego i siły poprzecznej w punktach belki
nieskończonej, odpowiadających punktom końcowym A i B belki o skończonej długości -
zapewniamy pełną zgodność rozwiązań w obszarze belki skończonej.
+
73963444.006.png 73963444.007.png 73963444.008.png 73963444.009.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin