Ekonometria II Eko II W5-6.doc
Wykład 5-6
Wielorównaniowe modele ekonometryczne
Przy analizie złożonych zjawisk ekonometrycznych model jednorównaniowy tłumaczący kształtowanie się jednej zmiennej objaśnianej może być niewystarczający. Może być tak, że pojedyncze równanie jest częścią układu relacji opisywanego zespołem relacji. W takim wypadku konstruujemy model wielorównaniowy – zespół równań. Każde z równań wyjaśnia kształtowanie się jednej zmiennej objaśnianej. Ze względu na sprzężenie między wielkościami występującymi w modelu, zmienna objaśniana w jednym równaniu, może być objaśniającą w innym równaniu.
Wyróżniamy dwa podstawowe sposoby zapisu modeli wielorównaniowych. Zapis w postaci strukturalnej i zapis w postaci zredukowanej.
Postać strukturalna oddaje strukturę związków między zmiennymi. Każde równanie w tej postaci objaśnia jedną zmienną pozostałymi zmiennymi. Postać strukturalna jest „naturalną” postacią modelu.
Przypomnienie
Zmienne pojawiające się w równaniach modelu dzielimy na:
Podział na zmienne objaśniane i objaśniające, to podział określany na poziomie pojedynczego równania.
Podział na zmienne endogeniczne i egzogeniczne, to podział określany na poziomie całego modelu. Zmienne endogeniczne to te, które są objaśniane modelem (w jakimś równaniu modelu). Zmienne egzogeniczne określane są poza modelem (nie są objaśniane żadnym równaniem).
W dynamicznym modelu wielorównaniowym mogą występować zmienne z różnych okresów. Endogeniczne i egzogeniczne zmienne mogą być nieopóźnione, czyli z okresu bieżącego, jak i opóźnione, czyli z okresów wcześniejszych.
Zmienne endogeniczne nieopóźnione nazywa się zmiennymi łącznie współzależnymi.
Zmienne egzogeniczne i opóźnione endogeniczne nazywamy zmiennymi z góry ustalonymi, na ich podstawie wyliczamy wartości obecne zmiennych endogennych.
Zmienne
Nieopóźnione
Opóźnione
Endogeniczne
Łącznie współzależne
Egzogeniczne
Z góry ustalone
Podział na zmienne łącznie współzależne i z góry ustalone jest ważny z względu na szacowanie parametrów modelu.
Zazwyczaj równania modelu są unormowane, czyli tak zbudowane by współczynnik przy zmiennej endogenicznej nieopóźnionej objaśnianej w danym równaniu był równy 1.
W postać zredukowanej modelu w każdym równaniu występuje tylko jedna zmienna endogeniczna nieopóźniona, ta która jest wyjaśniana równaniem, wszystkie pozostałe zmienne są z góry ustalone. Postać zredukowana jest wygodna do szacowania parametrów modelu.
Przykład 1
Rozpatrujemy model ekonometryczny dany równaniami:
Ct = a0 + a1·Yt + et (1)
Yt = Ct + It + Gt (2)
Gdzie Ct – zagregowana konsumpcja,
Yt – dochód narodowy,
et – składnik losowy,
It – inwestycje,
Gt – wydatki rządowe.
Równanie (1) jest równaniem stochastycznym (uwzględniającym czynnik losowy). Opisuje wielkość zagregowanej konsumpcji przy pomocy wielkości dochodu narodowego zaburzonego czynnikiem losowym.
Równanie (2) ma charakter bilansowy. Wiąże dochód narodowy z konsumpcją, inwestycjami i wydatkami rządowymi.
Model wyjaśnia wielkości opisywane w chwili t. Nie pojawiają się żadne wielkości z innych chwil, nie ma wielkości opóźnionych.
Ct , Yt są zmiennymi endogenicznymi nieopóźnionymi.
Gt , It są zmiennymi egzogenicznymi nieopóźnionymi.
W równaniu (1) Ct jest zmienną objaśnianą, Yt zmienną objaśniającą.
W równaniu (2) Yt jest zmienną objaśnianą, Ct , It , Gt zmiennymi objaśniającymi.
Zmiennymi z góry ustalonymi są nieopóźnione zmienne egzogeniczne It , Gt .
Przykład 2
Ct = a0 + a1 · Yt + e1t (3)
Yt = b0 + b1·Ct + b2·It-1 + e2t (4)
e1t , e2t – składniki losowe,
Model wyjaśnia wielkości opisywane w chwili t.
Równanie (3) ma taką samą postać ja równanie (1).
Równanie (4) wiąże wielkość dochodu z konsumpcją i poziomem inwestycji w roku poprzednim. Uwzględnia wpływ czynnika losowego.
Ct , Yt są zmiennymi endogennymi nieopóźnionymi. Gt , It są zmiennymi egzogennymi nieopóźnionymi, zaś It-1 jest zmienną egzogenną opóźnioną.
W równaniu (4) Yt jest zmienną objaśnianą, Ct oraz zmienna opóźniona It-1 są zmiennymi objaśniającymi.
Jedyną zmienną z góry ustaloną w modelu jest opóźniona zmienna egzogeniczna It-1 .
Przykład 3
Jeślibyśmy zmodyfikowali przykład 2 uznając, że poziom dochodu Yt objaśnia Ct-1 konsumpcja z roku ubiegłego, a nie Ct konsumpcja z roku bieżącego, to model miałby postać:
Ct = a0 + a1·Yt + e1t (5)
Yt = b0 + b1·Ct-1 + b2·It-1 + e2t (6)
W tym modelu nieopóźnione zmienne endogeniczne są takie same jak w modelu z przykładu 2. Zbiór zmiennych z góry ustalonych tworzą zaś opóźnione o rok: konsumpcja z roku ubiegłego Ct-1 (zmienna endogeniczna) oraz inwestycje z roku ubiegłego It-1 (zmienna egzogeniczna).
Postać strukturalna modelu.
Oznaczmy:
yti – obserwacja i-tej zmiennej endogenicznej w chwili t
ztj – obserwacja j-tej zmiennej z góry ustalonej w chwili t;
jeśli w równaniu występują stałe, to wprowadzamy fikcyjną zmienną stale równą jeden
i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, k;
……
Przenoszą wszystkie zmienne współzależne i z góry ustalone na jedną stronę dostajemy:
Wprowadzając zapis macierzowy możemy postać strukturalną modelu zapisać równaniem macierzowym:
BYt + GZt = et ; t = 1, 2, …
gdzie:
Przykład 4
Niech Yt = (Y1t , Y2t)T dwuwymiarowy wektor zmiennych endogenicznych oraz niech Zt = (1 , Z1t , Z2t , Z3t)T czterowymiarowy wektor zmiennych egzogenicznych rozszerzony przez dodanie stałej do wektora trzywymiarowego.
Niech model ekonometryczny ma postać:
Y1t = b12·Y2t + g10 + g11·Z1t + g12·Z2t +g13·Z3t + e1t
Y2t = b21·Y1t + g20 + g21·Z1t + g22·Z2t +g23·Z3t + e2t
Postać powyższa jest postacią strukturalną modelu.
Przenosząc zmienne egzogeniczne zmienne współzależne i z góry ustalone na lewą stronę, możemy przedstawić model w postaci macierzowej:
B·Yt + G·Zt = et ...
gosicka