Zadanie 1.pdf

(190 KB) Pobierz
Przykład 2
Przykład 2.1. Figura ze środkiem symetrii
Polecenie: Wyznaczyć główne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne dla
poniższej figury korzystając z metody analitycznej i graficznej (konstrukcja koła Mohra).
3 r
3 r
3 r
3 r
3 r
3 r
3 r 3 r
Rozpatrywana figura ma środek symetrii w punkcie przecięcia przekątnych prostokąta,
w który jest wpisana. Środek ciężkości figury leży w jej środku symetrii. Przez środek
symetrii prowadzimy osie centralne x i y . Następnie dzielimy figurę na prostokąt i dwa
półkola, które traktujemy jako pola ''ujemne''.
c
c
y
c
y c
y c
y
c
2
3 r
3 r
C 2
x
6 r
y 3
c
c
2
3 r
3 r
x c
x c
x c
C
C = C 1
C
3 r
3 r
C 3
6 r
x 3
c
3 r
3 r
3 r
3 r
6 r
3 r
3 r
W związku z tym, że własne osie centralne figury II i III (górnego i dolnego półkola)
nie pokrywają się z osiami centralnymi całej figury, będziemy korzystać z twierdzenia
Steinera. Wyznaczmy zatem pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości dla tych figur
w układzie x y .
c c
()
II
=
1
⋅
π
⋅
3
r
2
=
9
πr
2
,
~ c
=
3
r
−
4
⋅
3
r
=
3
r
−
4
r
,
~
=
3
r
2
2
2
3
π
π
c
2
A
III
=
1
⋅
π
⋅
()
r
2
=
9
πr
2
,
~ c
=
−
⎝
3
r
−
4
⋅
3
⎠
=
−
3
r
+
4
r
,
~ c
=
−
3
r
2
2
3
3
π
π
3
I
=
1
⋅
6
r
⋅
( )
r
3
−
2
⋅
⎡
1
⋅
π
⋅
() ()
r
4
+
9
πr
2
⋅
3
r
2
⎤
=
545
.
91
r
4
⎣
⎦
x
12
8
2
c
1
⎨
⎡
1
9
⎛
4
3
r
⎞
2
⎤
9
⎛
4
3
r
⎞
2
⎬
I
=
⋅
12
r
⋅
()
6
r
3
−
2
⋅
⎢
⎣
⋅
π
⋅
()
3
r
4
−
πr
2
⋅
⎝
⋅
⎠
⎥
⎦
+
πr
2
⋅
⎝
3
r
−
⋅
⎠
=
113
.
91
r
4
y
12
8
2
3
π
2
3
π
c
⎩
⎢
⎥
⎭
A
r
3
⎛
⎞
12
3
⎧
⎫
186656914.008.png 186656914.009.png 186656914.010.png 186656914.011.png 186656914.001.png
⎡
9
⎛
4
3
r
⎞
2
⎤
I
=
0
−
2
⋅
⎢
0
+
πr
2
⋅
3
r
⋅
⎝
3
r
−
⋅
⎠
⎥
=
−
146
.
47
r
4
x
c y
c
2
3
π
⎣
⎦
Wyznaczamy teraz kierunki główne.
( )
−
2
I
−
2
⋅
−
146
.
47
r
4
tg
2
ϕ
=
x
C
y
C
=
=
0
.
6781
o
I
−
I
545
.
91
r
4
−
113
.
91
r
4
x
y
C
C
2
ϕ
o
=
0
.
5959
rad
,
ϕ
o
=
0
.
2979
rad
.
Ponieważ > to
c
I
I
=ϕ = 0.2979 rad, natomiast
ϕ
ϕ
=
ϕ
+
π
=
⎝
0 .
2979
+
π
⎠
rad =
x
y
c
1
o
2
o
2
2
=1.8687rad
Główne centralne momenty bezwładności przyjmują następujące wartości:
I
+
I
⎛ −
I
I
⎞
2
I
=
I
=
x
c
y
c
+
⎜
⎝
x
c
y
c
⎟
⎠
+
I
2
=
1
max
2
2
x
c
y
c
545
.
91
r
4
+
113
.
91
r
4
⎛
545
.
91
r
4
−
113
.
91
r
4
⎞
2
( )
2
=
+
⎜
⎟
+
−
146
.
47
r
4
=
590
.
89
r
4
2
2
⎝
⎠
I
+
I
⎛ −
I
I
⎞
2
I
=
I
=
x
c
y
c
−
⎜
⎝
x
c
y
c
⎟
⎠
+
I
2
=
2
min
2
2
x
c
y
c
545
.
91
r
4
+
113
.
91
r
4
⎛
545
.
91
r
4
−
113
.
91
r
4
⎞
2
( )
2
=
−
⎜
⎟
+
−
146
.
47
r
4
=
68
.
93
r
4
2
2
⎝
⎠
Na poniższym rysunku przedstawione są kierunki główne.
kierunek I min
y c
3 r
ϕ
=
ϕ
+
π
2
o
2
kierunek I max
3 r
ϕ
1
=
ϕ
o
=
0
.
2979
rad
3 r
C
x c
3 r
3 r 3 r
łówne centralne momenty bezwładności oraz kierunki główne można wyznaczyć
metodą graficzną, stosując konstrukcję koła Mohra. Korzystamy z wyznaczonych wartości
momentów bezwładności w układzie x y
c c
I
=
545 r
.
91
4
,
I
=
113 r
.
91
4
,
x
c
y
c
oraz wartości momentu dewiacyjnego
2
⎛
⎞
186656914.002.png 186656914.003.png
 
I
=
−
146 r
.
47
4
.
x
c y
c
kierunek minimalnego
momentu bezwładności
D
kierunek maksymalnego
momentu bezwładności
ϕ
R
o
Momenty bezwładności
O
E
B
C
A
F
Przyjęta skala: 100 r 4
I
A
( )
( )
I
x
c
,
0
2
I
B
I
y
c
,
0
y
c
( )
2
I
+
I
⎛ +
I
I
⎞
x
c
y
c
⎜
⎝
x
y
⎟
⎠
C
c
c
0
2
( )
( )
( )
I
x
c
D
I
x
c
,
−
I
x
c
y
c
I
E
I
2
,
0
1
F
I
,
0
1
Kolejność postępowania przy rozwiązywaniu zadania metodą graficzną jest następująca:
1. Wyznaczenie położenia punktów A i B
Wartości momentów bezwładności w układzie x y
I
=
545 r
.
91
4
,
I
=
113 r
91
4
stanowią
c c
x
c
y
c
odpowiednio współrzędne punktów A (545.91 r
4 ,0) i B (113. 91 r 4 ,0).
2. Wyznaczenie położenia punktu C
Punkt C (329.91 r 4 ,0) jest środkiem odcinka AB i środkiem koła Mohra.
3. Wyznaczenie położenia punktu D
Po uwzględnieniu wartości
=
punktu D (545.91 r 4 ,−(−146.47 r 4 )), czyli D (545.91 r 4 ,146.47 r 4 ).
4. Wyznaczenie promienia koła Mo hra
Łączymy punkty C i D odcinkiem CD , który stanowi promień R koła Mohra. Promieniem
tym zataczamy okrąg.
5. Wyznaczenie głównych momentów bezwładności
Koło Mohra przecina oś poziomą w dwu punktach: E i F . Długość odcinka OE odpowiada
minimalnemu momentowi bezwładności , natomiast długość odcinka
2
I
=
545 r
.
91
4
oraz
I
−
146 r
.
47
4
otrzymamy współrzędne
x
c
x
c y
c
I
O odpowiada
F
maksymalnemu momentowi bezwładności .
1
I
6. Wyznaczenie kierunków głównych
Oś przechodząca przez punkty E i D jest osią maksymalnego momentu bezwładności, a oś
przechodząca przez punkty F i D jest osią minimalnego momentu bezwładności.
3
,
.
186656914.004.png 186656914.005.png 186656914.006.png 186656914.007.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin