Zadanie 3.pdf

(65 KB) Pobierz
186691610 UNPDF
Przykład 10.3. Obliczenie wartosci obci azenia granicznego układu belko-
wo-słupowego
Obliczyc wartosc obci azenia granicznego q gr działaj acego na ponizszy układ.
3
q
1
2ql
3
2
2
1
l ⁄ 2
l ⁄ 2
l
pl = 300 MPa
l = 2 m
1-1
2-2
3-3
1
4
4
[cm]
Do oblicze n przyj ac, ze materiał z jakiego wykonane s a prety jest jednakowy, zas pret nr 2 jest
zabezpieczony przed wyboczeniem.
Rozwi azanie
W celu znalezienia obci azenia granicznego rozpatrzymy kinematycznie mozliwe schematy zni-
szczenia, dla kazdego z nich obliczaj ac odpowiadaj ace mu obci azenie zapewniaj ace równowage
układu. Obci azeniem granicznym q gr bedzie najmniejsze z tak obliczonych obci aze n.
Uplastycznienie pretów 1 i 3 nastepuje w wyniku zginania, w przypadku preta 2 uplastycznie-
nie spowodowane jest sił a osiow a.
Odpowiednie wielkosci charakterystyczne przekrojów pretów maj a wartosci:
W p1
= 48 2
4
= 64 cm 3
= 44 2
4
W p3
= 16 cm 3
A p2 = 1 cm 2
Tak wiec momenty zginaj ace, które powoduj a uplastycznienie pretów 1 i 3 s a odpowiednio
1
pl
pl
186691610.035.png 186691610.036.png
równe:
M p1
= pl W p1
= 30010 3 6410 6 = 19;2 kNm
M p3
= pl W p3
= 30010 3 1610 6 = 4;8 kNm
Do uplastycznienia preta 2 dochodzi, gdy siła normalna w tym precie ma wartosc
S p2
= pl A p2 = 30010 3 110 4 = 30 kN
Rozpatruje sie uplastycznienie tych przekrojów pretów 1 i 3 , w których wystepuj a ekstrema
momentów zginaj acych, b adz tez w precie nr 2 , na który działa obci azenie osiowe.
Ponizszy rysunek przedstawia układ rozłozony na pojedyncze prety. Zaznaczono na nim rów-
niez schematycznie punkty, w których mozna spodziewa c sie powstania przegubów (punkt B
oznacza punkt nalez acy do preta 3 , odpowiadaj acy miejscu wystepowania lokalnego ekstremum
momentu zginaj acego).
q
B
A
S
S
S
2ql
S
D
C
l ⁄ 2
l ⁄ 2
l
Przy konstruowaniu kinematycznie dopuszczalnych schematów zniszczenia nalezy pamieta c, ze
nalezy przyjmowac kierunek przemieszczenia układu w taki sposób, aby praca sił zewnetrznych
na tych przemieszczenia była dodatnia. Jednoczesnie praca sił wewnetrznych musi byc ujemna,
a co za tym idzie, przyjete momenty plastyczne musz a mie c takie zwroty, aby przeciwdziałac
załozonym obrotom.
2
pl
pl
pl
pl
pl
186691610.037.png 186691610.038.png
Schemat I - uplastycznienie przekrojów A i B
q
B
M p p3
A
S
M p p3
M p p3
x
l
Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy
qx
2 + q(lx)
2
M p3
pl
x
2M p3
pl
lx = 0
=)
M p3
=) ql
2
=
1
x +
2
lx
M p3
=) q = 2
l + x
x (lx)
pl
l
pl
Nieznan a wartosc x mozna łatwo obliczyc korzystaj ac z faktu, ze długosc odcinka x musi
odpowiadac minimalnej wartosci obci azenia q , tak wiec
dq(x)
dx
= 0 . St ad
dq (x)
dx
= 0
=) 2 x (lx)(l + x) (l2x)
x 2 (lx) 2
M p3
pl
= 0
=)
l
=) 2 lxx 2 l 2 + 2lxlx + 2x 2
x 2 (lx) 2
M p3
pl
l
= 0
=)
=) 2 x 2 + 2lxl 2
x 2 (lx) 2
M p3
pl
l
= 0
=) x 2 + 2lxl 2 = 0
pierwiastek z jest równy
p
=
p
4l 2 + 4l 2 = 2
p
2l
St ad
dq(x)
dx
= 0 dla nastepuj acych wartosci x :
2l2
p
2l
p
x 1 =
=
2 + 1
l
2
p
2l + 2
2l
p
x 2 =
=
21
l
2
Uwzglednienie faktu, ze x musi miec wartosc z przedziału (0; l) prowadzi do odrzucenia roz-
wi azania x 1 , jako niespełniaj acego warunków zadania. Tak wiec
x = x 2 =
p
21
l
3
186691610.001.png 186691610.002.png 186691610.003.png 186691610.004.png 186691610.005.png 186691610.006.png 186691610.007.png 186691610.008.png 186691610.009.png 186691610.010.png 186691610.011.png 186691610.012.png 186691610.013.png 186691610.014.png 186691610.015.png
Obci azenie q odpowiadaj ace rozpatrywanemu schematowi zniszczenia ma zatem wartosc
l + x
x (lx)
M p3
l +
p
21
l
M p3
q = 2
pl
l
= 2
p
p
21
pl
=
21
l
l
l
l
p
p
p
2
M p3
2
M p3
2
2
M p3
= 2
p
21
2 p
pl
l 2
= 2
p
p
2
pl
l 2
=
p
pl
l 2
=
2
2
222 +
3
24
p
3
p
p
2
2
2 + 4
M p3
= 12 + 8
2
1816
M p3
p
M p3
=
p
24
p
pl
l 2
pl
l 2
= 2
3 + 2
2
pl
l 2
=
3
3
2 + 4
p
p
4;8
2 2
= 12
3 + 2
2
13;99 kN
m
= 2
3 + 2
2
5
Schemat II - uplastycznienie przekroju A i preta 2
q
A
M p p3
S = S p p2
S = S p p2
S = S p p2
l
Wartosc, odpowiadaj acego schematowi uplastycznienia, obci azenia q obliczamy z warunku ze-
rowania sie sumy momentów obliczanej wzgledem punktu A .
S p2
lql l
2 + M p3
pl
= 0 =)q = 2 S p2
pl
l
+ 2 M p3
pl
l 2
= 2 30
2
+ 2 4;8
2 2
= 32;4 kN
m
4
pl
186691610.016.png 186691610.017.png 186691610.018.png 186691610.019.png 186691610.020.png 186691610.021.png 186691610.022.png 186691610.023.png 186691610.024.png 186691610.025.png 186691610.026.png 186691610.027.png 186691610.028.png 186691610.029.png 186691610.030.png 186691610.031.png 186691610.032.png
Schemat III - uplastycznienie przekrojów A i C
q
2ql
A
M p p3
C
M p p1
M p p1
l ⁄ 2
l ⁄ 2
l
Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy
2 + ql
2
2M p1
pl
l
M p3
pl
l
= 0
=)
2 ql = 2M p1
+ M p3
=) 3
pl
pl
=)
l
2M p1
=) q = 2
pl
+ M p3
pl
= 2 (219;2 + 4;8)
32 2
= 7;2 kN
m
3l 2
Schemat IV - uplastycznienie przekrojów A i D
q
2ql
A
M p p3
D
M p p1
M p p1
l ⁄ 2
l ⁄ 2
l
5
2ql
186691610.033.png 186691610.034.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin