Podstawy ekonomii matematycznej wyklady.pdf

(582 KB) Pobierz
www.zadania-projekty.pl
1.1. Przedmiot ekonomii matematycznej
Przedmiotem ekonomii matematycznej są modeli realnych ekonomicznych
procesów.
Model to jest obiekt, który zastępuje oryginał i odwzorowuje najistotniejsze dla
danego badania cechy i właściwości oryginału.
Metoda ekonomii ekonomicznej to jest systemowa analiza ekonomiki jak
skomplikowanego dynamicznego układu. Ekonomia Matematyczna tworze modele
matematyczne w postaci założeń o powiązaniu zmiennych ekonomicznych. W skutek
różnorodności podmiotów gospodarczych i zmienności warunków, Ekonomia Matematyczna
dzieli się na szereg różnych modeli nie mających wartości uniwersalnej.
Główni podstawowe matematyczne modele mikro- i makroekonomii:
Modele zachowania konsumenta
Teoria produkcji
Modele rynku
Modele równowagi
Modele wzrostu gospodarczego
Modele cyklu koniunkturalnego
1.2. Modele zachowania konsumenta
Jednej z najistotniejszych pojęciem teorii ekonomicznej jest teoria konsumenta.
Głównym pytaniem tu jest ustalenie konsumpcji dla danych cen na dobra i dochodzie.
Konkretna decyzja o zakupach określonego koszyka dóbr matematycznie może być
pokazana jako wybór punktu w przestrzeni towarów. Niech n - jest ograniczona ilość dóbr,
a
n
n
R
Przestrzenią dóbr nazywa się zbiór wszystkich możliwych dóbr z dodatnimi
współrzędnymi
x
( 2
x
x
,...,
x
n R
)
koszyk określonych dóbr w przestrzeni
1
0
X
x
x
: 
X
.
W przestrzeni dóbr wprowadzimy normę
x 
max
i x
,
i
i odpowiednio metrykę (odległość pomiędzy elementami)
 
x
,
y
max
x
y
.
i
i
i
1
888529532.048.png 888529532.059.png 888529532.068.png 888529532.069.png 888529532.001.png
 
Przykład. 1.1 Narysować w przestrzeni dóbr wszystkie koszyki
x
x
;
x
|
x
7
x
20
, gdzie x są jajka, x męka. Obliczyć wielkość koszyka
1
2
1
2
 
7 i odległość pomiędzy koszykami  
7 i  
5
5
3 .
7
Rozwiązanie.
X 2
20
1 2 3 4 5 6 7
X 1
  7
x
max
7
5
Wielkość koszyka:
.
i
Odległość:    
4
7
5
;
3
7
max
x
y
max
7
3
;
5
7
.
i
i
i
i
Definicja 1.1. Zbiór  
U
x
x
|
x
,
x
nazywa się - otoczeniem .
0
0
Y nazywa się otwarty , jeżeli każdy element x zbioru Y
należy do niego razem z pewnym otoczeniem  
Definicja 1.2. Zbiór X
U .
Przykład. 1.2 Narysować w przestrzeni dóbr wszystkie koszyki należące do
otoczenia
x
0
U 2
3
10
z przykładu 1.1.
Rozwiązanie.
X 2
20
10
X 1
1 2 3 4 5 6 7
2
888529532.002.png 888529532.003.png 888529532.004.png 888529532.005.png 888529532.006.png 888529532.007.png 888529532.008.png 888529532.009.png 888529532.010.png 888529532.011.png 888529532.012.png 888529532.013.png 888529532.014.png 888529532.015.png 888529532.016.png 888529532.017.png 888529532.018.png 888529532.019.png 888529532.020.png 888529532.021.png 888529532.022.png 888529532.023.png 888529532.024.png 888529532.025.png
 
www.zadania-projekty.pl
a nazywa się punktem brzegowym zboru A , gdy w
dowolnym otoczeniu tego punktu znajdują się punkty należące i punkty nie należące do
zbioru A .
Definicja 1.4. Zbiór X
Definicja 1.3. Punkt A
Y nazywa się domknięty , jeżeli Y jest sumą niektórego
otwartego zbioru A i wszystkich brzegowych punktów A .
1.3. Ograniczenie budżetowe
n
P
,( 2
p
p
,...,
p
n R
)
Załóżmy, że możemy obserwować ceny wszystkich dóbr
,
1
oraz budżet konsumenta m . Wtedy ograniczenie budżetowe może być zapisane jako
m
p
x
p
x
...
p
n
x
1
1
2
2
n
( 21 , który spełniają ten warunek nazywa się
zbiorem budżetowym lub zbiorem dopuszczalnych koszyków .
X
x
x
,...,
x
n R
)
Zbiór punktów
1.4. Własności zbioru budżetowego w R .
2
Definicja 1.5 . Linią budżetu nazywamy zbiór koszyków
X
(
x
1 )
,
x
R
, który
spełniają warunek
p
x
p
x
m
1
1
2
2
Równanie linię budżetu może być również zapisane w postaci
m
p
x
1
x
2
1
p
p
2
2
. Najprostszy sposób narysowania tej
1
Jest to równanie prostej z nachyleniem
p
2
m
m .
,
0
0 p
linii – to połączyć punkty
oraz
p
2
x
2
m
p
2
x
m
p
Linia budżetu
Nachylenie linii budżetu ma jasną interpretacje ekonomiczną: mierzy ono stopę
według której konsument jest skłonny zamienić dobro 1 na dobro 2:
m
p
x
p
x
1
1
2
2
p
(
x
x
)
p
(
x
x
)
m
1
1
1
2
2
2
...
p
x
1
2
.
p
x
2
1
Występuje minus, ponieważ
x
1 , x
zawsze mają znaki przeciwne.
2
Eliminacja jednego parametru.
3
888529532.026.png 888529532.027.png 888529532.028.png 888529532.029.png 888529532.030.png 888529532.031.png 888529532.032.png 888529532.033.png
 
1.5. Zmiany linii budżetu
, 21 , które mogą się zmienić. Z równania
wynika, że wzrost dochodu (budżetu) przesunie równolegle do góry linię budżetu i nie
zmieni kont nachylenia. Zmniejszenie ceny dobra 1 powoduje przesunięcie punktu
przecięcia linii budżetu z poziomą osią na prawo. To znaczy, prosta staje się mniej stroma.
Zmniejsza się kąt nachylenia.
Zmniejszenie ceny dobra 2 – bardziej stroma.
p ,
m
Linia budżetu ma 3 parametry
x
2
m
p
2
x 20
x 10
m
p
x
1
1
Zmiany linii bud
żetu
Zbiór budżetowy w przypadku racjonowania.
Rząd czasem nakłada ograniczenia w postaci racjonowania lub opodatkowania
konsumpcji większej niektórego poziomu. Niech x – racjonowane dobro.
p
,
x
x
1
1
1
x b)
1 x
cena
a) Kartki konsumpcyjne:
(t – podatek)
1
1
p
t
,
x
x
1
1
1
x
2
m
m
p
p
2
2
x
x
x
m
p
x
m
p
x
max
Racjonowanie
Później zobaczymy, że czasem sytuacji b) wynikają i w modelach bez racjonowania
(konsumpcja międzyokresowa).
W teorii konsumpcji zakłada się, że każdy konsument ma własne preferencji na
niektórym podzbiorze przestrzeni dóbr x. To oznacza, że dla dwóch dowolnych koszyków
X
y konsument potrafi ich uszeregować według stopnia pożądania i zawsze
mamy jedną z trzech relacji:
x i X
1. x
y , (mówimy y silnie preferowany nad x);
2. y
x , (mówimy x silnie preferowany nad y);
3. y
x ~ , (koszyki x, y są obojętne (indyferentne)).
4
888529532.034.png 888529532.035.png 888529532.036.png 888529532.037.png 888529532.038.png 888529532.039.png 888529532.040.png 888529532.041.png 888529532.042.png 888529532.043.png 888529532.044.png 888529532.045.png 888529532.046.png 888529532.047.png 888529532.049.png 888529532.050.png 888529532.051.png 888529532.052.png 888529532.053.png 888529532.054.png 888529532.055.png 888529532.056.png 888529532.057.png 888529532.058.png 888529532.060.png 888529532.061.png 888529532.062.png 888529532.063.png 888529532.064.png 888529532.065.png 888529532.066.png
 
www.zadania-projekty.pl
Wprowadzimy następujące relacji preferencji:
1.
x ~ , (mówimy x słabo preferowany nad y) , co oznacza, że koszyk „ y nie gorszy od
koszyka x ”.
2. y
y
x , (mówimy x silnie preferowany nad y) , co oznacza, że koszyk x jest z pewnością
lepszy od koszyka y .
3. y
x ~ , (koszyki x, y są obojętne (indyferentne)).
Pierwsza relacja nazywają się relacja słabej preferencji , druga relacja silnej
preferencji , trzecia relacja indeferentności .
Podstawową relacją jest relacja słabej preferencji, na podstawie której możemy
zdefiniować pozostałe relacji.
Definicja 1.5. Parę
, X nazywamy polem preferencji konsumenta .
~
x , .
1. Mówimy, że koszyki x, y są indyferentne , jeżeli równocześnie
X
Definicja 1.6. Niech
x ~ i
y
y ~ .
2. Mówimy, że koszyk x jest silnie preferowany nad koszykiem y, jeżeli
x
x ~ i
y
y ~
x
1.6. Właściwości preferencji.
Relacja słabej preferencji ma następujące właściwości:
1. Dla
 ,
x
X
x ~ (refleksyjność, zwrotność).
x
 ,
x
X
2. Dla
(zupełność).
x
~
y
y
~
x
 ,
yx
,
z
X
3. Jeżeli
dla
(przechodniość,
x
~
y
y
~
z
,
to
x
~
z
tranzytywność).
Aksjomat 3 wprowadza liniowy porządek w przestrzeni dóbr i daje możliwość
konsumentowi zawsze dokonywać konkretnego wyboru i nie zamykać się w błędnym kole,
natomiast aksjomat 2 wyklucza istnienie sytuacji, gdy konsument nie jest w stanie
powiedzieć, który z koszyków jest lepszy.
Relacja indeferencji spełnia warunki ekwiwalentności :
1. Dla
 , x
x
X
x ~ (refleksyjność, zwrotność).
 ,
x
X
2. Dla
y
(symetryczność).
y ~
x
x ~
 ,
yx
,
z
X
3.
Jeżeli
dla
(przechodniość,
x
~
y
y
~
z
,
to
x
~
z
tranzytywność).
To znaczy, przestrzeń dóbr rozbija się na zbiory, które nie mają wspólnych punktów. Takie
zbiory nazywają się obszary obojętności . Obszar obojętności w przypadku 2 dóbr
nazywamy linią obojętności .
Własności relacji silnej preferencji.
1. Dla
 ,
x
X
x
y
y
x
(zupełność).
 ,
yx
,
z
X
2. Jeżeli dla
x
~
y
y
~
z
,
to
x
~
z
(przechodniość,
tranzytywność).
5
888529532.067.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin