2010 sierpień klucz.pdf

(317 KB) Pobierz
Microsoft Word - matematyka_PR_schemat_sierpien
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszzerzony
Zadanie 1. ( 4 pkt )
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania
2sin
2
x
− −= należące do przedziału
7cos 5 0
0, 2π .
Rozwiązanie
Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja
trygonometryczna ( )
2 1 cos
− − − =
2
x
7 cos
x
5 0
22cos 7cos 5 0
−
2
x
− − =
x
x + + =
Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą, np.
2
7 cos
3 0
t co= , gdzie
x
t
∈
−
1
t ++=
Rozwiązujemy równanie kwadratowe
49 4 2 3 25
Δ= − ⋅ ⋅ =
Δ=
5
t
− = = −
75
3
t
− = = −
75 1
4
1
4
2
2
Odrzucamy rozwiązanie 1
t =− , ponieważ 3 ,1
3
−∉−
Rozwiązujemy równanie
cos
x =−
1
2
Zapisujemy rozwiązania równania w podanym przedziale
2
x = lub
4
x =
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ................................................................................................................................. 1 pkt
Zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej, np.:
2
2 cos
x
7 cos 3 0
x
2 cos
2
x
+ +=.
7 cos
3 0
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .............................................................................. 2 pkt
Wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np.
t co= , zapisanie równania w postaci
x
−−⋅ −= lub
2 2730
t
2 2730
t
+⋅+=.
t
Pokonanie zasadniczych trudności zadania ............................................................................. 3 pkt
Rozwiązanie równania kwadratowego (
t = − lub
1
2
t = − ) i odrzucenie rozwiązania
3
t =− .
3
Uwaga:
Zdający może od razu rozwiązywać równanie kwadratowe (w którym niewiadomą jest
cos ) i zapisać rozwiązanie w postaci
x
cos
x = − lub cos
1
x = − oraz zapisać, że
3
2
równanie cos
x =− jest sprzeczne.
3
1
2 cos
Otrzymujemy równanie kwadratowe
2 2730
− − − = lub
t
397506010.005.png 397506010.006.png 397506010.007.png
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszzerzony
Rozwiązanie pełne ...................................................................................................................... 4 pkt
Rozwiązanie równania w podanym przedziale:
2
x = lub
4
x =
albo
120
x =° lub
x =°
240
Uwagi
1. Jeżeli zdający podstawia
cos
x
=− bez żadnych założeń, to otrzymuje
1 sin
2
x
0 punktów .
2. Jeżeli zdający podniesie obie strony równania
2cos
2
x
+=− do kwadratu
3 7cos
x
i potem nie sprawdza rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów .
3. Nie wymagamy, aby zdający zapisał warunek np.
t
∈
−
1
, o ile z dalszego ciągu
t =− , to otrzymuje 2 punkty .
5. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania kwadratowego
i otrzyma dwa rozwiązania, z których co najmniej jedno należy do przedziału 1, −
i konsekwentnie rozwiąże oba równania w podanym przedziale, to otrzymuje
3 punkty .
6. Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązanie równania trygonometrycznego:
2
3
x
=+ ,
π π
2
x
=+ , gdzie k jest liczbą całkowitą, to otrzymuje 4 punkty .
4
π π
2
3
3
Zadanie 2. ( 4 pkt )
Rozwiąż nierówność
2
x
+ x
2
−
2
>
5
.
I sposób rozwiązania : wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów
−∞− − ∞ .
Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale
bierzemy część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności
,1, 1,2, 2,
x ∈−∞−
( ,1)
x ∈−
1, 2
)
x ∈ ∞
2,
)
−−−+>
35
x
x
22 25
x
+ −+>
1
x
+ +−>
35
22 25
x
x
−>
5
3
x >
x >
5
3
x <−
x >
Wyznaczamy część wspólną otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami
5
∈−∞ ⎜ ⎝ ⎠
,
( )
x ∈
1, 2
)
x ∈∞
2,
3
i bierzemy sumę tych przedziałów:
x
∈
⎝
−
∞
,
−
5
⎠
∪
( )
1
∞
.
3
2
rozwiązania wynika, że zdający uwzględnia go.
4. Jeżeli zdający rozwiąże poprawnie równanie kwadratowe i na tym zakończy, nie
odrzucając rozwiązania
Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: ( ) ) )
22 25
x
⎛ ⎞
⎛
⎞
397506010.008.png 397506010.001.png
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszzerzony
II sposób rozwiązania : zapisanie czterech przypadków
Zapisujemy cztery przypadki:
⎧
2
x
x
+
2
≥
0
⎧
2
x
x
+
2
≥
0
⎧
2
x
x
+
2
<
0
⎧
2
x
x
+
2
<
0
−
2
≥
0
−
2
<
0
−
2
≥
0
−
2
<
0
Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przypadkach:
⎧
2
x
x
+
2
≥
0
⎧
2
x
x
+
2
≥
0
⎧
2
x
x
+
2
<
0
⎧
2
x
x
+
2
<
0
−
2
≥
0
−
2
<
0
−
2
≥
0
−
2
<
0
⎪
x
x
≥−
1
⎪
x
x
≥−
1
niemożliwe
⎪
x
x
<−
1
⎨
⎪
2
22 25
≥
⎨
⎪
2
22 25
<
⎨
⎪ −−−+>
<
2
22 25
⎩
x
++−>
x
⎩
x
+−+>
x
⎩
x
x
⎪
x
x
≥−
1
⎪
x
x
x
≥−
1
⎪
x
x
<−
1
⎨
⎪
2
35
≥
⎨
⎪
<
2
1
⎨
⎪ −>
2
35
<
⎩
x
>
⎩
>
⎩
x
⎧
⎪ ≥−
⎪
x
x
1
x ∈
()
1, 2
⎧
⎪ <−
⎪
x
x
1
⎨
⎪
⎪ >
⎩
≥
2
5
3
⎨
⎪
⎪ <−
⎩
<
2
x
x
5
3
x ∈∞
2,
)
x
∈−∞−
⎝ ⎠
,
5
3
Podajemy odpowiedź:
x
∈
⎝
−
∞
,
−
5
⎠
∪
( )
1
∞
.
3
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .............................................................................. 1 pkt
• zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały ( ) ) )
−∞− −
,1, 1,2, 2,
∞
albo
• zapisze cztery przypadki:
⎧
2
x
x
+
2
≥
0
⎧
2
x
x
+
2
≥
0
⎧
2
x
x
+
2
<
0
⎧
2
x
x
+
2
<
0
.
−
2
≥
0
−
2
<
0
−
2
≥
0
−
2
<
0
Uwaga:
Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, ale nie są one konsekwencją błędu
rachunkowego popełnionego przy przekształcaniu nierówności, to przyznajemy 0 punktów.
Podobnie 0 punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania ............................................................................. 2 pkt
Zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach np:
I.
x
∈
( )
−
∞
,
−
1
−
2
x
−
2
−
x
+
2
>
5
II. )
x
∈−
1, 2
2
x
+ − + >
2
x
2 5
III. )
x
∈∞ ++−>
2,
2 2
x
x
2 5
3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎛
⎞
397506010.002.png
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszzerzony
Uwagi:
1. Jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy
lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi
przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje 2 punkty .
2. Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych
przedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy i na tym zakończy lub nie
wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami
i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje 2 punkty .
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ................................................................. 3 pkt
• zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych
wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd
w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca
albo
• zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części
wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch
przypadkach, stwierdzi, że czwarty jest niemożliwy, popełni błąd w trzecim przypadku
i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca.
Rozwiązanie bezbłędne .............................................................................................................. 4 pkt
Zdający zapisze odpowiedź
x
∈
⎝
−
∞
,
−
5
⎠
∪
( )
1
∞
.
3
Uwaga:
1. We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności
nieostre (przedziały obustronnie domknięte). Jeżeli natomiast rozważy wszystkie
nierówności ostre (przedziały otwarte) to przyznajemy za całe zadanie o 1 pkt mniej , niż
gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie.
2. Jeżeli zdający przy przekształcaniu nierówności podanej w treści zadania popełni błąd
(np. ( )
++−>), to otrzymuje 1 punkt mniej niż przewidziany w schemacie
w danej kategorii rozwiązania.
22|
x
x
| 5
x .
Rysujemy wykres funkcji ( ) 22|
+ x
|
−
2
|
>
fx x
=++− i prostą o równaniu
x
2|
y =
−∞ − − ∞ .
Zapisujemy wzór funkcji w poszczególnych przedziałach, np.
I. ( ) ( )
,1, 1,2, 2,
∈−∞− =− − − +
II. ) ()
x
,1
f x
2 2
x
x
2
x
∈−
1, 2
f x
= + − +
2
x
2
x
2
∈∞ =++−
Przekształcamy wzór funkcji w poszczególnych przedziałach do postaci, np.
I. ( ) ( )
III. ) ( )
x
2,
f x
2 2
x
x
2
∈−∞− =−
II. ) ()
x
,1
fx
3
x
x
∈−
1, 2
f x x
= +
4
III. ) ( )
x
∈∞ =
2,
fx x
3
4
⎛
⎞
III sposób rozwiązania: graficznie 1
5
2
2
5
Wyróżniamy przedziały: ( ) ) )
397506010.003.png
 
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszzerzony
Zapisujemy wzór funkcji, np.
⎧ − ∈ −∞ −
⎪ =+ ∈−
3
x
dla
x
( )
, 1
fx x
()
⎨
⎪
4 dla
x
1, 2)
⎩
3
x
dla
x
∈∞
2,
)
Rysujemy wykres funkcji f i prostą o równaniu
y = .
5
11
10
9
()
8
7
6
5
y = 5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
Odczytujemy odcięte punktów przecięcia wykresu funkcji z prostą o równaniu
y = :
x =− ,
x =
1
.
Zapisujemy argumenty, dla których ( ) 5
fx > :
x
∈
⎝
−
∞
,
−
5
⎠
∪
( )
∞
.
3
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ................................................................................................................................. 1 pkt
Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały ( ) ) )
−∞− −
,1, 1,2, 2,
∞ .
Uwaga:
Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to przyznajemy 0 punktów za całe
zadanie.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ............................................................................. 2 pkt
Zdający zapisze wzór funkcji w poszczególnych przedziałach, np.
5
f x
5
5
3
1
⎛
⎞
397506010.004.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin