ped.pdf

(371 KB) Pobierz
79495432 UNPDF
7.2.1. Pęd układu materialnego i bryły
Pędem punktu materialnego o masie m i prędkości v nazywamy iloczyn masy
punktu i jego prędkości :
p = m v . (7.40)
Z powyższej definicji
wynika, że pęd jest wektorem o
kierunku prędkości, a więc jest
wektorem stycznym do toru
punktu materialnego.
Dla układu n punktów
materialnych o masach m k i
prędkości v k (rys. 7.12) pęd
będzie równy sumie pędów
poszczególnych punktów
materialnych:
z
v k
m n
v n
m 1
m k
r Ck
v C
m 2
r k
v 1
C
r C
v 2
O
y
x
Rys. 7.12. Wyznaczenie pędu układu materialnego
∑ =
n
p
=
m v
k
. . )
k
1
Wzór (7.41) można przedstawić w postaci:
p
=
d
∑ n
=
m
r
. )
dt
k
k
k
Widzimy, że występująca pod znakiem pochodnej suma, zgodnie ze wzorem
(4.18), jest momentem statycznym S rozpatrywanego układu materialnego
względem początku nieruchomego układu współrzędnych x, y, z :
∑ =
n
S
=
m
k
r
k
m
r
C
. )
k
=
Po podstawieniu wzoru (b) do wzoru (a) i wykonaniu różniczkowania wzór (7.41)
możemy zapisać w postaci:
= ∑ =
n
d
S
p
m
v
=
m
v
=
, . )
k
k
C
dt
k
1
gdzie m jest masą całkowitą układu materialnego.
Z otrzymanego wzoru wynika, że pęd układu materialnego jest równy
iloczynowi masy całkowitej m układu materialnego i prędkości v C środka masy C.
Ponadto wzór (7.42) pozwala na inne zdefiniowanie pędu.
79495432.004.png 79495432.005.png
Pędem nazywamy pochodną względem czasu momentu statycznego układu
materialnego względem nieruchomego punktu :
p = . (7.43)
d S
dt
Ponieważ moment statyczny względem środka masy jest równy zeru (patrz p.
4.4), zatem pęd układu materialnego względem środka masy jest także równy zeru.
Pęd bryły sztywnej możemy obliczyć, dzieląc ją na elementy o masach ∆m k i
traktując ją jako układ punktów materialnych. Przybliżoną wartość pędu
otrzymamy po zsumowaniu pędów tych elementów, traktowanych jako punkty
materialne.
Z kolei wartość dokładną pędu otrzymamy po wyznaczeniu granicy sumy, gdy
liczba elementów dąży do nieskończoności
∑
n
d
r
d
p
=
lim
m
v
=
∫
v
dm
=
∫
m
=
∫
r
dm
.
k
k
dt
dt
k
→
∞
k
=
1
m
m
m
Całka występująca w tym wzorze pod znakiem pochodnej jest momentem
statycznym bryły względem początku układu współrzędnych:
∫
r =
dm
m
r
C
.
m
Z uwzględnieniem powyższej zależności otrzymujemy wzór na pęd bryły:
p
=
d
( )
m
r
=
m
d
r
C
=
m
v
. (7.44)
dt
C
dt
C
Widzimy zatem, że pęd bryły, podobnie jak pęd układu materialnego, jest
równy iloczynowi jej masy i prędkości środka masy.
79495432.006.png 79495432.007.png
7.2.2. Zasada pędu i popędu. Zasada zachowania pędu
Rozpatrzymy obecnie układ składający się z n punktów materialnych o masach
m k i prędkości v k . Na poszczególne punkty rozpatrywanego układu materialnego
działają siły zewnętrzne i
wewnętrzne. Na rysunku 7.13
zaznaczono siły działające na dwa
punkty o masach m k i m l . Siły
zewnętrzne działające na te
punkty zastąpiono siłami
wypadkowymi P k i P l , siły
wzajemnego oddziaływania
między tymi punktami oznaczono
przez F kl i F lk .
z
v k
m k
v c
P k
F kl
P l
r k
C
F lk
r C
m l
r l
v 2
O
y
Wypadkowa sił wewnętrznych
działających na punkt o masie m k
x
=
n
Rys. 7.13. Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające
na punkty układu materialnego
P
wk
=
F
kl
, (7.45)
l
1
l
k
a wypadkowa wszystkich sił działających na ten punkt
F k = P k + P wk . . )
Zatem zgodnie z drugim prawem Newtona możemy dla dowolnego punktu
rozważanego układu materialnego napisać dynamiczne równanie ruchu w postaci:
d
2
r
(
) . (7.47)
m
k
= P
P
k
=
1
k
d
t
2
k
wk
Po założeniu, że masa m k jest wielkością stałą, lewą stronę tego równania możemy
przedstawić w postaci pochodnej względem czasu pędu m k v k punktu:
d
2
r
d
v
d
( )
dt
m
v
m
k
=
m
k
=
k
k
.
k
d
t
2
k
dt
Równanie (7.47) można obecnie zapisać następująco:
d
( )
m
k
v
k
= P
P
( .
k
=
1
) (c)
dt
k
wk
Jeżeli dodamy stronami n powyższych równań, to otrzymamy:
79495432.001.png 79495432.002.png
∑
n
d
( )
m
v
∑
n
∑
n
k
dt
k
=
P
+
P
,
k
wk
k
=
1
k
=
1
k
=
1
a jeżeli zastąpimy sumę pochodnych pędów pochodną ich sumy, to
∑
d
∑
n
∑
n
n
m
v k
=
P
+
P
. )
dt
k
k
kz
k
=
1
k
=
1
k
=
1
Lewa strona równania (d) jest pochodną względem czasu pędu układu
materialnego:
d
∑ =
n
d
p
m
v k =
.
dt
k
dt
k
1
Pierwsza suma po prawej stronie równania (d) jest wektorem głównym sił
zewnętrznych:
∑ =
n
W
=
P
,
k
1
a druga sumą wszystkich sił wewnętrznych działających w całym układzie
materialnym i zgodnie ze wzorem (3.3) jest równa zeru:
∑
n
wk ∑∑
n
n
P
= F
=
0
kl
k
=
1
k
=
1
l
=
1
l
≠
k
Ostatecznie równanie (d) można zapisać w postaci:
p =
dt
W
. .)
Równanie to przedstawia zasadę pędu układu punktów materialnych, którą
można wypowiedzieć następująco:
Pochodna względem czasu pędu układu punktów materialnych jest równa
wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na ten układ.
W celu wyznaczenia zmiany pędu układu punktów materialnych w skończonym
przedziale czasu, np. od 0 do t, wywołanej przez siły zewnętrzne działające na ten
układ, scałkujmy równanie (7.48) w tym przedziale czasu. Otrzymamy wtedy:
() () ∫
t
p
t
−
p
0
=
W
dt
. .)
0
d
79495432.003.png
Równanie to nazywamy zasadą pędu i popędu lub prawem zmienności pędu.
Przyrost pędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy
popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ.
Całkę z prawej strony równania (7.49) nazywamy popędem wektora głównego
lub impulsem wektora głównego. Ta druga nazwa ma swoje uzasadnienie
zwłaszcza w przypadku sił krótkotrwałych, np. sił zderzeniowych. Łatwo
zauważyć, że gdy wektor główny układu sił zewnętrznych jest równy zeru:
W = 0,
popęd tego wektora jest również równy zeru, a z zasady pędu i popędu wynika, iż
pęd końcowy jest równy początkowemu:
p = ,
( ) ( )
t p
0
czyli pęd układu materialnego jest stały:
p
=
const
. . )
Jest to zasada zachowania pędu :
Jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych działających na układ materialny
jest równy zeru, to pęd tego układu materialnego jest stały.
Gdy pęd układu materialnego przedstawimy w postaci iloczynu masy m
i prędkości v C środka masy, to z zasady zachowania pędu:
m C =
v
const
wynika, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Przykład 7.7. Klocek o masie m = 40 kg porusza się po równi pochyłej o kącie
nachylenia pod działaniem siły będącej funkcją czasu P = P (t)
(rys. 7.14a). Miara tej siły zmienia się w czasie od 0 do P
α=30 o
1 = 250 N zgodnie z
wykresem podanym na rys. 7.14b. Współczynnik tarcia między klockiem i równią
. Obliczyć prędkość v
= 0,
1 , jaką osiągnie ciało w chwili t 1 = 3 s, jeżeli w chwili
t = 0 prędkość początkowa v
0 10= / .
m s

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin