czesc 1 - teoretyczna.doc

1. Ruch drgający i jego przykłady, ruch harmoniczny.

      Ruch drgający jest ruchem okresowym, powtarza się w regularnych odstępach czasu,               tam i z powrotem po tej samej drodze. W ruchu tym położenie x(t) i prędkość v(t) punktu materialnego wykonującego ten ruch  przyjmują takie same wartości co czas T.

x(t)=x(t+T),

v(t)=v(t+T),

Przykłady ruchu drgającego:             

·                                   ruch wahadła zegara

·                                   wahadło matematyczne

·                                   sprężyna

·                                   drgania struny gitary

·                                   wahadło fizyczne             

Ruch harmoniczny jest to ruch okresowy opisywany sinusoidalną funkcją czasu.

W ruchu harmonicznym położenie punktu materialnego zmienia się w czasie.

Z punktu widzenia matematycznego ruch harmoniczny opisuje równanie:

s=Asinωt

gdzie: s oznacza wychylenie punktu drgającego od położenia równowagi,

t- czas,

A i ω – wielkości stałe w danym ruchu, tzn. niezależne od czasu

A- amplituda ruchu harmonicznego. 

ω-częstość kołowa.

Znaczenie stałej A wynika z charakteru funkcji sinus, która może się zmieniać w granicach od -1 do +1, co skutkuje tym, że wychylenie s od położenia równowagi może się zmieniać     w granicach:

-A<=s<=+A.

Prędkość punktu materialnego, wykonującego ruch harmoniczny zależy od amplitudy A, częstości kołowej ω i fazy początkowej.

Przyspieszenie punktu materialnego w ruchu harmonicznym związane jest z położeniem. Wynika to z tego, że przyspieszenie jest pochodną prędkości po czasie.

Przyspieszenie jest proporcjonalne do położenia, stąd ciało wykonujące ruch harmoniczny, nazywamy oscylatorem harmonicznym.

2. Wielkości charakteryzujące ruch harmoniczny

·          Częstotliwość – jest to liczba pełnych drgań dookoła położenia równowagi, wykonywanych w jednostce czasu, jest odwrotnością okresu: v=1/T=ω/2Π.

·          Okres drgań – jest to czas jednego pełnego drgnięcia, T=2Π/ω.

·          Wychylenie – jest to odległość punktu wykonującego drgania harmoniczne od położenia równowagi.

·          Amplituda drgań – jest to maksymalne wychylenie ciała z położenia równowagi.

3.      Drgania oscylatora harmonicznego:

·            Tłumione, gasnące, zanikające – jeżeli możemy zanotować osłabienie się ruchu oscylatora pod wpływem czynników zewnętrznych, wówczas taki oscylator nazywamy oscylatorem tłumionym, a jego drgania nazywamy tłumionymi.

Drgania odbywane w warunkach rzeczywistych zawsze są połączone z przekazywaniem energii otoczeniu w związku z pokonywaniem sił oporu.

W wyniku wykonywanej pracy energia ciała drgającego maleje, zmniejsza się też amplituda drgań. Drgania  nie podytrzymywane siłą zewnętrzną ulegają tłumieniu, gasną, zanikają, tzn. amplituda A ruchu drgającego powoli ulega zmniejszeniu, aż do zera na skutek oporów ruchu.

·                                    Niegasnące – wystepują, gdy jest dostarczana energia równa energii rozproszonej.

Wynika to z tego, że w ruchu harmonicznym następuje ciągła zamiana energii potencjalnej na kinetyczną. W chwili, gdy wychylenie jest zerowe, energia potencjalna ma wartość zero, a energia kinetyczna przyjmuje wartośc maksymalną. W chwili, gdy wychylenie punktu materialnego z położenia równowagi jest największe, energia kinetyczna przyjmuje wartośc zero, a energia potencjalna-wartośc maksymalną. Suma energii kinetycznej i potencjalnej, czyli energii mechanicznej (całkowita) punktu materialnego wykonującego ruch harmoniczny jest stała.

4.      Wahadła matematyczne i fizyczne jako przykłady ruchu harmonicznego, długość zredukowana.

·     Wahadło matematyczne – ma postać ciała (punkt materialny) o masie m zawieszonego na końcu nierozciągliwej i nieważkiej nici o długości L. Wychylając nić o niewielki kąt β i puszczając swobodnie ciało wykonujemy jego drgania dookoła położenia równowagi.

·     Wahadło fizyczne – jest to ciało sztywne (bryła) dowolnego kształtu, które jest tak zawieszone, że może się wahać dookoła pewnej osi, poziomej osi obrotu pod wpływem siły ciężkości, przechodzącej przez to ciało. Oś obrotu nie może pokrywać się ze środkiem ciężkości wahadła, bo wówczas drganie by nie występowało. Ruch wachadła fizycznego może być wywołany działaniem różnych sił.

·     Długość zredukowana - parametr wahadła fizycznego, jest to taka długość wahadła matematycznego, które wykonuje drgania o takim samym okresie jak opisywane wahadło fizyczne.

Jej wartość wyraża się równaniem:
L0=I/ml gdzie:
I - moment bezwładności wahadła względem osi obrotu [kg m2]
m – masa wahadła [kg]
l – odległość od osi obrotu do środka ciężkości [m]
 

5.      Budowa i zastosowanie wahadła rewersyjnego.

Wahadło rewersyjne składa się  z metalowego pręta, dwóch ostrzy O i O`, na których można je zawieszać oraz z dwóch lub trzech metalowych brył w kształcie soczewki (by zmniejszyć opory powietrza), z których jedna może być przesuwana po pręcie, pozwala to na zmianę okresu drgań wahadła.

Zastosowanie takiej konstrukcji pozwala na wyeliminowane ze wzorów wielkości trudno mierzalnych, takich jak moment bezwładności i odległość do środka masy.

Wahadło rewersyjne jest powszechnie wykorzystywane w dydaktyce fizyki do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego.

Chcąc wyznaczyć przyśpieszenie ziemskie g należy oprócz okresu drgań i masy wahadła, które można zmierzyć bezpośrednio, znać również inne wielkości, których pomiar jest kłopotliwy. Aby tych trudności uniknąć stosuje się wahadło fizyczne o dwóch osiach obrotu, umieszczonych po przeciwnych stronach środka ciężkości. Jest to tzw. wahadło rewersyjne dla którego okresy drgań są takie same dla obu zawieszeń wahadła.

Przy odpowiednio dobranym położeniu masy ruchomej okres drgań wahadła dla obu zawieszeń jest jednakowy i odpowiada okresowi drgań wahadła matematycznego o długości równej odległości między osiami obrotu. Odległość ta jest nazywana długością zredukowaną wahadła.

Wahadło pozwala wyznaczyć dokładnie wartość przyspieszenia ziemskiego:

gdzie:

l - odległość między punktami zawieszenia wahadła (osiami),

T - okres drgań wahadła.

W doświadczeniu wyznacza się okresy drgań dla obu zawieszeń, przesuwa się soczewkę ruchomą, dążąc do wyrównania okresów drgań względem ostrza O z drganiami względem ostrza O`. Uzyskanie jednakowych okresów drgań jest bardzo trudne, dlatego wyznaczenia równego okresu drgań dokonuje się przez interpolację oraz znalezienie przecięcia dwóch wykresów funkcji okresu drgań od położenia przesuwanej masy (graficznie lub analitycznie).

6.      Przyśpieszenie ziemskie i jego zależności od długości od środka Ziemi i współrzędnych geograficznych.

Przyspieszenie ziemskie to przyspieszenie ciał swobodnie spadających na Ziemię, bez oporów ruchu (np: opór aerodynamiczny).Wartość przyspieszenia ziemskiego zależy:

·                      od szerokości geograficznej,

·                      wysokości nad poziomem morza i miejsca.

Przyspieszenie ziemskie normalne (na szerokości geograficznej 45° i poziomie morza)
gn= 9,80665 m/ s2.

Przyspieszenie ziemskie jest spowodowane grawitacją, czyli zjawiskiem przyciągania się wszelkich ciał obdarzonych masą. Planeta Ziemia ma masę wielu miliardów bilionów ton, więc przyciąga do swojego środka wszystko w jej pobliżu - czyli każde ciało znajdujące się pobliżu jej powierzchni. Okazuje się, że dzięki temu przyciąganiu wszystkie ciała spadają (jeśli zaniedbamy opór powietrza) na ziemi mniej więcej z tym samym przyspieszeniem.

Ludziom wydaje się, że kierunek przyspieszenia jest wszędzie taki sam - czyli w dół. Jednak patrząc z perspektywy całej planety przekonujemy się, że kierunek wektora przyspieszenia ziemskiego po prostu wskazuje środek Ziemi (a i to tylko w przybliżeniu, bo obecność złóż ciężkich i lekkich minerałów może minimalnie modyfikować kierunek i wartość wektora g). W pewnym drobnym stopniu przyciąganie grawitacyjne na Ziemi modyfikuje siła odśrodkowa wynikająca z ruchu wirowego naszej Planety. Siła ta jest największa dla ciał znajdujących się w pobliżu równika, co powoduje, że wartość g może się wahać od 9,82 m/s2 (na biegunie) do 9,80 m/s2 (na równiku).

Wraz z wysokością przyspieszenie maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości do środka Ziemi i jest wynikiem zmniejszania się siły grawitacji zgodnie z prawem powszechnego ciążenia.

Zmniejszanie się przyspieszenia ziemskiego wraz z zmniejszaniem szerokości geograficznej jest spowodowane działaniem pozornej siły odśrodkowej, która powstaje na skutek ruchu obrotowego Ziemi. Ponieważ siła ta jest proporcjonalna do odległości od osi obrotu, stąd największą wartość osiąga na równiku. Ponieważ siła odśrodkowa ma tu zwrot przeciwny do siły grawitacji, przyspieszenie ziemskie na równiku osiąga najmniejszą wartość. Dodatkowe zmniejszenie przyspieszenia ziemskiego w okolicach równika spowodowane jest spłaszczeniem Ziemi (większą odległością od środka Ziemi).

Nie obserwuje się zależności przyspieszenia ziemskiego od długości geograficznej.

Poza ruchem obrotowym Ziemi i jej niesferycznym elipsoidalnym kształtem, również inne czynniki powodują zróżnicowanie przyspieszenia ziemskiego. Dokładne jego pomiary wykazują wahania wartości, w zależności od położenia. Jest to m.in. spowodowane różnicami w ,rzeżbie terenu, gęstości skał podłoża i rozkładzie tej gęstości w skorupie ziemskiej. Pewną zmienność przyspieszenia grawitacyjnego w czasie powoduje oddziaływanie innych ciał Układu Słonecznego- Księżyca i Słońca.

Literatura:

1. M.Skorko                                                     Fizyka

2. D.Halliday, R.Resnick                                 Fizyka t.I

3. Strony internetowe