funkcja liniowa.pdf

Zaj¦cianr.5:

Funkcjaliniowa

6maja2005

1Poj¦ciapodstawowe.

Deﬁnicja1.1 (funkcjaliniowa) . Niech a i b b¦d¡dowolnymiliczbamirzeczywistymi.Funkcj¦

f : R ! R dan¡wzorem: f ( x )= ax + b nazywamyliniow¡.

x − 1 ,cho¢dajesi¦sprowadzi¢dowzorufunkcji

liniowej f ( x )= x +2,tojednakniejestfunkcj¡liniow¡gdy»jejdziedzin¡jest D f = R \{ 1 } .

Zdrugiejstrony,je±lipodanyjestjedyniewzórfunkcji,toprzyjmujemy,»ejejdziedzin¡jest

tzw.dziedzinanaturalna,czylizbiórtychwszystkichliczbrzeczywistych,dlaktórychten

wzórmasens.

2Wykresfunkcjiliniowej.

Wykresemfunkcjiliniowej f ( x )= ax + b jestliniaprostaorównaniu y = ax + b .Aby

narysowa¢wykresfunkcji f ( x )= ax + b wystarczyznale¹¢conajmniejdwadowolnepunkty

tegowykresu.

Przykład2.1. Niechdanab¦dziefunkcjiliniowa f ( x )=2 x − 3.Narysujemyterazjej

wykres.Wybierzmydwapunktynale»¡cedowykresu.Dla x =0,mamy f (0)= − 3,st¡d

pierwszympunktemjest(0 , − 3),natomiastdla x =1,otrzymujemy f (1)= − 1,czylidrugim

punktemb¦dzie(1 , − 1).Obapunktyzaznaczamywukładziewspółrz¦dnychiprowadzimy

prost¡któraprzeztepunktyprzechodzi.Wtensposóbotrzymamywykresfunkcjiliniowej

f ( x )=2 x − 3.

Uwaga1.2. Wdeﬁnicjifunkcjiliniowejwa»nejestto,»edziedzin¡tejfunkcjijestcały

zbiórliczbrzeczywistych(zwró¢uwag¦nazapis f : R ! R ,czywieszcoonoznacza?).Na

przykładfunkcjadanawzorem: f ( x )= ( x +2)( x − 1)

Innymsposobemrysowaniawykresuzadanejfunkcjiliniowejjesttzw.„szybkiwykres”

stosowanyszczególniewtedy,gdyparametry a i b s¡całkowite.Wystarczyzda¢sobiespraw¦,

»eparametr b okre±la,wktórymmiejscuwykresprzecinao± OY (bo f (0)= b ),natomiast

parametr a mówinamoilewzrasta(lubmaleje)warto±¢funkcji,gdyargument x zwi¦kszamy

o1.

Przykład2.2 (szybkiwykres) . Abyzatemnarysowa¢wykresfunkcji f ( x )=2 x − 4zazna-

czamynaosi OY punkt − 4(bo b = − 4).Odnarysowanegopunktuidziemyjedn¡kratk¦

wprawoidwiekratkidogóry(bo a =2)izaznaczamykolejnypunkt.Odzaznaczonego

punktuznówporuszamysi¦ojedn¡kratk¦wprawoidwiedogóryiotrzymujemykolejne

punkty.

Ł¡cz¡cotrzymanepunktyotrzymujemyprost¡którajestwykresemnaszejfunkcji f .

Przykład2.3 (szybkiwykres) . Je±liparametr a jestujemny,towrazzewzrostemargumentu

x ,warto±¢funkcjib¦dziemalała.Zatemrysuj¡cwykresnp. f ( x )= − 3 x +2zaznaczamyna

osi OY punkt2(bo b =2)iporuszamysi¦ojedn¡kratk¦wprawoiotrzykratkiwdół(bo

a = − 3)otrzymuj¡cnowypunkt.Powtarzaj¡cprocedur¦otrzymujemykolejnepunkty:

Uwaga2.4. Zauwa»,»eu»ywaj¡cmetodyszybkiegowykresuotrzymujemydokładniejszy

rysunek,gdy»dostajemywielepunktów,coniepozwalana„rozchwianie”si¦rysowanej

prostej.

Problem 2.1 . Zauwa»my,»eje±liparamter a niejestliczb¡całkowit¡,toszkicowaniewykresu

metod¡„szybkiegowykresu“niejestju»takieproste.Naprzykładje±li f ( x )= 3 4 x − 2,to

naosi OY zaznaczamy − 2,anast¦pniepowinni±myprzenie±¢si¦ojedn¡kratk¦wprawoi

4 kratkiwgór¦.Jesttodo±¢trudnedowykonaniachyba,»e ... zauwa»my,i»otrzymamyt¡

sam¡prost¡poruszaj¡csi¦4kratkiwprawoi3kratkidogóry:

3Współczynnikkierunkowy.

Deﬁnicja3.1 (współczynnikkierunkowy) . Parametr a wewzorzefunkcjiliniowej f ( x )=

ax + b nosinazw¦współczynnikakierunkowego.

Powcze±niejszychrozwa»aniachdotycz¡cychszkicowaniawykresówfunkcjiliniowychna-

zwatanikogoniedziwi.Rzeczywi±cie,toparametr a decydujeotym,czywykresopadaczy

wznosisi¦iczyjestbardziejstromyczyraczejniewieleodbiegaodprostejpoziomej.Je±liw

jednymukładziewspółrz¦dnychumie±cimywykresyfunkcji: f 1 ( x )=2 x +1, f 2 ( x )=3 x +1,

f 3 ( x )= − x +1, f 4 ( x )= − 4 x +1, f 5 ( x )=1,tozobaczymy,»¦cho¢wszystkieprzechodz¡

przezpunkt(0 , 1),tojednak„rozbiegaj¡si¦”wró»nychkierunkach.

Fakt3.2 (monotoniczno±¢funkcjiliniowej) . Ka»dafunkcjialiniowajestmonotoniczna,a

rodzajjejmonotoniczno±cizale»yodjejwspółczynnikakierunkowego.

Fakt3.3. Je±liwspółczynnikkierunkowyfunkcjiliniowejfjestró»nyodzera(tzn.a 6 =0 )

tofunkcjatajestró»nowarto±ciowa,posiadafunkcj¦odwrotn¡(którajestfunkcj¡liniow¡),

jejzbioremwarto±cijestcałyzbiórliczbrzeczywistychimadokładniejednomiejscezerowe.

Fakt3.4. Je±liwspółczynnikkierunkowyfunkcjiliniowejjestrównyzero,tzn.f ( x )= b,to

funkcjataniejestró»nowarto±ciowa,niemafunkcjiodwrotnej,jejzbiórwarto±cijestpostaci

{ b } ,awykresemjestprostapozioma(równoległadoosiOX).Je±liwi¦cb 6 =0 ,tofunkcjanie

posiadamiejsczerowych,aje±lib =0 ,tofunkcjamaniesko«czeniewielemiejsczerowych.

Wniosek. Zpodanychwy»ejfaktówwynika,»efunkcjaliniowamo»emie¢jednomiejsce

zerowe(gdy a 6 =0),mo»eniemie¢miejscazerowego(gdy a =0oraz b 6 =0)lubmo»emie¢

niesko«czeniewielemiejsczerowych(gdy a = b =0).

Fakt3.5 (k¡tnachyleniaprostej) . Współczynnikkierunkowyfunkcjiliniowejfjestrówny

tangensowik¡tanachyleniawykresutejfunkcjidoosiOX(dokładniejmówi¡c,doprawej

stronytejosi).

Fakt3.6 (prosterównoległe) . Dwieprosteorównaniachy = a 1 x + b 1 iy = a 2 x + b 2 s¡

równoległewtedyitylkowtedy,gdya 1 = a 2 .

Fakt3.7 (prosteprostopadłe) . Dwieprosteorównaniachy = a 1 x + b 1 iy = a 2 x + b 2 s¡

prostopadłewtedyitylkowtedy,gdya 1 a 2 = − 1 .

Wykresemka»dejfunkcjiliniowejjestliniaprosta.Jednaknieka»daliniaprostajest

wykresemfunkcjiliniowej.Wszczególno±ciwszystkieprosteorównaniach x = c ,gdzie

c 2 R ,nies¡wykresamifunkcji.Ka»dazpozostałychprostychjestwykresemjakiej±funkcji

liniowej.

Przykład3.8. Znajdziemyterazwzórfunkcji,którejwykresjestprost¡przedstawion¡na

rysunku:

Poniewa»wykresemjestliniaprosta,któraniejestpionowa,zatemszukanafunkcjajest

liniowaimaposta¢ f ( x )= ax − 1(sk¡dwiadomo,»e b = − 1?).Poniewa»wykresprzechodzi

przezpunkt(1 , 2),zatem f (1)=2,czyli a − 1=2,codaje a =3.Ostatecznieszukana

posta¢funkcjito f ( x )=3 x − 1.

4Zadania

Zadanie1. Którazpodanychfunkcjijestfunkcj¡liniow¡?

a) f ( x )=3 − 4 x ,

b) f ( x )= ( x 2 +1)( x − 2)

x 2 +1 ,

c) f ( x )= g ( 1 x ),gdzie g ( x )= 1 x ,

d) f ( x )= ( x − 1)( x +2)

Zadanie2 ( ? ) . Podajalgorytm„szybkiegorysowania”wykresówfunkcjipostaci f ( x )=

Zadanie3 ( ? ) . Dlaczegoprosteorównaniach x = c ,gdzie c 2 R nies¡wykresamifunkcji?

Zadanie4. Znjad¹wzórfunkcjiodwrotnejdopodanejiobiefunkcjenarysujnajednym

wykresie.

a) f ( x )=3 x − 1,

b) f ( x )= − 2 x +1,

c) f ( x )= 1 2 x +2,

d) f ( x )= − 1 3 x − 4 3 .

Zadanie5. Narysujwykresyfunkcji:

a) f ( x )= ( x − 2)( x +1)

b) f ( x )= ( x − 2)( x +1)

c) f ( x )= g ( 1 x ),gdzie g ( x )= 1 x ,

d) f ( x )=2 x +1,dla x 0.

Zadanie6. Je±lifunkcja f jestdanawzoremfunkcjiliniowej,alejejdziedzin¡niejestcały

zbiórliczbrzeczywistych,tocomo»napowiedzie¢ojejwykresie?

Zadanie7. Przezktórez¢wiartekukładuwspółrz¦dnychprzechodziwykresfunkcji f ( x )=

ax +1,gdzie a 2 R ?Czyzale»ytoodparametru a ?

Zadanie8. Przezktórez¢wiartekukładuwspółrz¦dnychprzechodziwykresfunkcji f ( x )=

2 x + b ,gdzie b 2 R ?Czyzale»ytoodparamteru b ?

Zadanie9 ( ) . Wzale»no±ciodparamterówwarto±ciwspółczynnikakierunkowegoiwyrazu

wolnegoomów:

a)monotoniczno±¢,

b)parzysto±¢,

c)ró»nowarto±ciowo±¢,

d)posta¢zbioruwarto±ci,

funkcjiliniowej.

Zadanie10. Ilemiejsczerowychmo»emie¢funkcjaliniowa?Podajprzykładnaka»d¡z

mo»liwo±ci.Jakmy±liszjakib¦dzietomiałowpływnaliczb¦rozwi¡zanrównanialiniowego.

Zadanie11. U»ywaj¡ctablicmatematycznych,kalkulatoraalbokomputera,podajdokład-

n¡(lubprzybli»on¡)warto±¢k¡tanachyleniapodanychprostychdoosi OX :

a) f ( x )=2 x +1,

b) f ( x )= − x +3,

x 2 + x − 2 .

k x + b ,gdzie n,k,b s¡liczbamicałkowitymi.

x − 2 ,

x +1 ,

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: