SYMETRIA ŚRODKOWA NA PŁASZCZYŹNIE

Symetrią środkową względem punktu S nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, w którym obrazem punktu A jest punkt A` taki, że punkt S jest środkiem odcinka AA`.

Symetrię środkową względem punktu S oznaczamy

Przykłady:

1.     Punkt B jest symetryczny do punktu A względem punktu C

2. Punkt B nie jest symetryczny do punktu A względem punktu C

2.     Przykłady trójkątów symetrycznych względem punktu

·         Trójkąt GEF jest symetryczny do trójkąta ABC względem punktu D leżącego poza trójkątem ABC

·         Trójkąt EDG jest symetryczny do trójkąta ADC względem punktu D będącego wierzchołkiem trójkąta ADC

·         Trójkąt EFG jest symetryczny do trójkąta ABC względem punktu D leżącego na boku trójkąta ABC

·         Trójkąt EFG jest symetryczny do trójkąta względem punktu D leżącego wewnątrz trójkąta ABC

              Ćwiczenie 1

              Rozwiąż zadanie 12, 13 str. 124 oraz   14, 18 str. 125 z podręcznika.

SYMETRIA ŚRODKOWA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH

Twierdzenie: Jeżeli punkt A` = (x`, y`) jest symetryczny do punktu A = (x, y), względem początku układu współrzędnych, tzn. punktu (0, 0), to x` = -x i y` = -y (obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne).

Punkty G = (-2, 3) i H = (2, -3) są symetryczne względem początku układu współrzędnych, ponieważ mają przeciwne współrzędne.

Przykład:

Trójkąty EFG i HKL oraz trójkąty PQR i OMN są symetryczne względem osi rzędnych.

Trójkąty EFG i PQR oraz trójkąty HKL i OMN są symetryczne względem osi odciętych.

Trójkąty EFG i OMN oraz trójkąty HKL i PQR są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

Dwa punkty są symetryczne do siebie względem punktu S, jeżeli punkt S jest środkiem odcinka, którego końcami są te punkty. Do znajdowania obrazów punktów w symetrii środkowej możemy wykorzystać własność , która mówi, że współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi odpowiednich współrzędnych jego końców.

A=(x1,y1)                                          S=(xs, ys)                                          B=(x2, y2)

xs =                             ys =

Zadanie 1

Znajdź współrzędne  punktu, który jest obrazem punktu A = (-10,2) w symetrii o środku         S = (1,0).

Rozwiązanie

A = (-10,2)              S = (1,0)              SS(A) = A’

A’ = (x, y)             

Ponieważ punkt S jest środkiem odcinka AA’, więc otrzymujemy następujące równania po podstawieniu do powyższych wzorów

1=                            0 =

Po przekształceniach  otrzymujemy

x2 = 2+10     y2 =-2

x2 = 12        y2 =-2

Zatem obrazem punktu a jest punkt o współrzędnych A’ = (12, -2).

Zadanie 2

Znajdź środek symetrii, w której punkt A’ = (-4, -3) jest obrazem punktu A= (-2,5).

Rozwiązanie

Podstawiając współrzędne punktów A i A’ będących końcami odcinka AA’, otrzymuję

xs =               ys =

xs =                             ys =

xs = -3                            ys = 1

Zatem środek symetrii ma współrzędne S = (-3, 1).

Zadanie 3

Punkty A = (-4, -5), B = (5, -1) i C = (2, 7) to wierzchołki równoległoboku ABCD. Znajdź współrzędne środka symetrii tego równoległoboku oraz wierzchołka D.

Rozwiązanie

Niech S = (s1, s2) będzie środkiem symetrii równoległoboku. Zatem Jest to również środek odcinka AC. Wyznaczamy współrzędne punktu S, korzystając ze wzorów na współrzędne środka odcinka

s1 =                             s2=

s1=                             s2 =

s1=                             s2 =

s1=-1                                          s2 = 1

Środek symetrii równoległoboku ABCD ma współrzędne S = (-1, 1).

Niech D = (x, y).

Wówczas korzystając z tego, że punkt ten jest obrazem wierzchołka B w symetrii środkowej względem punktu S wyznaczamy jego współrzędne.

s1 =                             s2=

-1 = /×2                            1= /×2

-2 = 5 + x                            2 = -1 + y

x = - 2 – 5                            y = 2 + 1

x = - 7                                          y = 3

Punkt D ma współrzędne (-7, 3) .

              Ćwiczenie 2

              Rozwiąż zadanie 5,6 str. 134 z podręcznika.