Własności prawdopodobieństwa

Zdarzenie jest to dowolny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych.

Zdarzeniem:

·         pewnym nazywamy całą przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω  (zdarzeniu sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne)

·         niemożliwym nazywamy podzbiór pusty przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω

(zdarzeniu nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne) 

Zdarzenia:

·         A i B są identyczne (A = B) to znaczy, że zdarzenie A zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie B

·         A i B wyłączają się (AÇB=Æ) to znaczy, że jest niemożliwe, żeby oba te zdarzenia zaszły jednocześnie

·          

Zdarzenie:

·         A pociąga za sobą zdarzenie B to znaczy, że prawdziwa jest implikacja: (zaszło zdarzenie A) → (zaszło zdarzenie B)

·         C jest sumą (alternatywą) zdarzeń A i B to znaczy, że zdarzenie C zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie A lub zdarzenie B

·         C jest iloczynem (koniunkcją) zdarzeń A i B to znaczy, że zdarzenie C zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie A i zdarzenie B

·         C jest różnicą zdarzeń A i B (C = A\B) to znaczy, że zdarzenie C zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie A i nie zachodzi zdarzenie B

·         A’ jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oznacza, że nie zaszło zdarzenie A.

A Ç A’ = Æ,                            A È A’ =W 

Przykład 1

Rzucamy sześcienną kostką do gry. Dla każdego z poniższych zdarzeń określ zdarzenia przeciwne i oblicz jego prawdopodobieństwo.

a)                  wypadnie jedynka

b)                 wypadnie nieparzysta liczba oczek.

Rozwiązanie

a)      Zdarzeniem przeciwnym jest zdarzenie polegające na wypadnięciu liczby oczek  różnej od 1, tzn.

W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {2, 3, 4, 5, 6}

P(A) =

b)     B = {2, 4, 6}

W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P(B) = .

Jeżeli zbiór Ω ma n elementów, to liczba wszystkich zdarzeń wynosi .

Przestrzeń zdarzeń jest rodziną podzbiorów zbiorów zdarzeń elementarnych.

Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia losowego jest liczbą należącą do przedziału <0;1>

Własności prawdopodobieństwa:

·         P(Æ) = 0 - prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego

·         P(W) = 1 -  prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego

·         P(A’) = 1 – P(A) - prawdopodobieństwo przeciwne do A, gdy AÌ W

·         P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB) - prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B, gdy

·         Jeżeli zdarzenia  A i B wykluczają się, to P(AÈB) = P(A) + P(B) 

·         P(AÈB) £ P(A) + P(B), gdy A, B Ì W

·         P(A) £ P(B), gdy A Ì B Ì W

·         P(A) £ 1, gdy A Ì W

Przykład 2

              Z talii 52 kart wyciągnięto losowo 3 karty. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jedna z wyciągniętych kart nie jest dziesiątką.

Rozwiązanie

A – co najmniej jedna z wyciągniętych kart nie jest dziesiątką

A’ – wszystkie wyciągnięte karty to dziesiątki (zdarzenie przeciwne do A)

                  10                               nie 10

                                          10                    nie 10             

                    10                    nie 10

Łatwiej jest obliczyć najpierw prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A, a następnie skorzystać z własności prawdopodobieństwa, by obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A.

P(A’) =

P(A) = 1 – P(A’) = 1 -

Przykład 3

W doświadczeniu polegającym na rzucie kostką do gry rozważmy następujące zdarzenia:

A – wypadła parzysta liczba oczek

B – wypadły nie mniej niż 4 oczka.

Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniom:

AÈB,                            AÇB,                            B’              A’ÈB                            A’ÈB’

oraz wyznacz ich prawdopodobieństwa.

Rozwiązanie

W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A= {2, 4, 6}

B = {4, 5, 6}

AÈB = {2, 4, 5, 6}                            P(AÈB) =

AÇB = {4, 6}                                          P(AÇB) =

A’ = {1, 3, 5}

B’ = {1, 2, 3}                                          P(B’) =

A’ÈB ={1, 3, 4, 5, 6}                            P(A’ÈB) =

A’ÈB’ = {1, 2, 3, 5}                            P(A’ÈB’) =

Przykład 4

Wiedząc, że P(A) = 0,7, P(B) = 0,6 i P(AÇB) = 0, 3 oblicz P(AÈB).

Rozwiązanie

P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB)

P(AÈB) = 0,7 + 0,6 – 0,3 = 1, 3 – 0,3= 1

              Ćwiczenie 1

              Rozwiąż  zadania 1- 18 str. 81 -84 z podręcznika.