W_pl str. 3.pdf

(160 KB) Pobierz
Microsoft Word - ZG_PLAS1.DOC
ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE
1
ZGINANIE BELEK Z MATERIAŁU SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNEGO
W ZAKRESIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNYM
1. MATERIAŁ SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNY
σ
R e
σ
R e
σ
R
σ
ε
ε
ε
ε
materiał idealnie
materiał idealnie
materiał idealnie
mat. ideal. spręż. z liniowym
sprężysty
sprężysto-plastyczny sztywno-plastyczny
umocnieniem plastycznym
2. ZAŁOŻENIA
1. Materiał idealnie sprężysto-plastyczny (mat. Prandtla) o jednakowych własnościach na
rozciąganie i na ściskanie
σ
R e
- ε pl
ε
ε pl
- R e
2. Obowiązuje zasada zesztywnienia
3. Obowiązuje hipoteza płaskich przekrojów (hip. Bernouli’ego)
4. Wpływ sił poprzecznych na osiągnięcie stanu plastycznego jest pomijany
5. Zginanie zachodzi jedynie w głównych płaszczyznach bezwładności
3. ROZKŁAD NAPRĘŻEŃ NORMALNYCH W PRZEKROJU ZGINANYM
z
σ x
< σ x
R
e
max =
R
e
R e
R e
R e
R e
1
2
3
4
4
5
d g
M
y c
d d
y o
dd
>
σ x
<
R
e
σ x
<
R
e
σ x
<
R
e
R e
R e
R e
1. Stan liniowo sprężysty
2. Graniczny stan sprężysty (max. naprężenie normalne w co najmniej jedn ym punkcie
przekroju osiąga wartość równą granicy plastyczności R e ; moment zginający MM
= )
3. Stan jednostronnie sprężysto-plastyczny
4. Stan dwustronnie sprężysto-plastyczny
5. Graniczny stan plastyczny (naprężenie normalne w całym przekroju osiąga wartość równą
granicy plastyczności R e ) - w uplastycznionym przekroju powstaje tzw. przegub plastyczny,
który różni się od "zwykłego" przegubu tym, że przenosi moment równy tzw. granicznemu
momentowi plastycznemu przekroju M)
d
g
266287066.015.png 266287066.016.png 266287066.017.png
ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE
2
4 . GRANICZNA NOŚNOŚĆ SPRĘŻYSTA PRZEKROJU ( graniczny moment sprężysty
M )
Granicznym momentem sprężystym M (graniczną nośnością sprężystą przekroju) nazywamy
moment zginający o takiej wartości, która jest wystarczająca do uplastycznienia przekroju w co
najmniej jednym punkcie (naprężenie normalne σ x jest równe granicy plastyczności R e )
z
σ x
=
R
e
σ x
=
M
I
z
yc
M
R
e
= max
M
I
z
yc
x
MR I
z
=
yc
e
max
MR esr
=
5. GRANICZNA NOŚNOŚĆ PLASTYCZNA PRZEKROJU ( granicz. moment plastycz. M )
Granicznym momentem plastycznym M (graniczną nośnością plastyczną przekroju)
nazywamy moment zginający o takiej wartości, która jest wystarczająca do uplastycznienia
całego przekroju (naprężenie normalne σ x w każdym punkcie przekroju jest równe granicy
plastyczności R e )
R e
z
z
M
A 1
z‘
z
y c
A 2
y o
R e
• równania równowagi
Nx
( )
=
∫∫ σ 0
x
dA
=
(1)
A
Mx
( )
=
∫∫ σ
x
zdA
=
0
(2)
A
Ad. (1)
− +
RA RA
e
1
e
2 0
=
A 1 + A 2 = A
warunek określający położenie osi obojętnej
AA
1
= =
2 12
A
Ad. (2)
M
=
∫∫ ∫∫
1
R zdA
e
−
R zdA R S A R S A
e
=
ey
o
( ) ( )
1
−
ey
o
2
A
A
2
MRSA SA
=
ey
[
o
( ) ( )
1
−
y
o
2
]
lub
M
=
∫∫ ∫∫
1
R zdA
e
'
−
R zdA R S A R S A
e
'
=
ey
c
( ) ( )
1
−
ey
c
2
A
A
2
y c - oś ciężkości ( ) ( )
SA SA
y
c
1
+
y
c
2
= ⇒
0
SA SA
y
c
( ) ( )
2
= −
y
c
1
MRSA
= 2
e c
( )
1
266287066.018.png 266287066.001.png 266287066.002.png 266287066.003.png 266287066.004.png
ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE
3
• plastyczny wskaźnik wytrzymałości przekroju
def
( ) ( ) ( )
WSASA SA
=
−
=
2
pl
y
o
1
y
o
2
y
c
1
MR el
=
• współczynnik kształtu
k
== > 1
M
M
W
W
pl
spr
6. PRZYKŁADY
• Obliczyć współczynnik kształtu dla przekroju prostokątnego i kołowego
z
bh
2
WSA b hh bh
( )
2
W
spr =
;
=
2
=
2
=
pl
yc
1
6
24 4
A 1
WSASA b hh
b hh bh
2
h
( ) ( )
=
−
= − −
=
pl
yo
1
yo
2
24
2 4
4
y c = y o
A 2
2
2
W
W
MR bh
; MR bh
M
M
pl
=
=
⇒ k
== = 1.
b
e
e
6
4
spr
z
W
spr = π
d
3
32
A 1
WSA
=
2
( )
=
2
1
24
π
dd d
2
42
3
=
3
pl
yc
1
π
6
d
y c = y o
A 2
k
= = =
W
W
pl
32
6
17
.
π
spr
• Obliczyć współczynnik kształtu dla następujących przekrojów :
2
5
2
3
6
20
k = 1.42
k = 1.52
k = 1.76
7
5
2 2 2
5 5 5
3 4 3
1
1
5
1
10
9
k = 2.38
8
k = 1.45
15
k = 2.34
1
4
2
6
9
12
266287066.005.png 266287066.006.png 266287066.007.png 266287066.008.png
ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE
4
7. NOŚNOŚĆ GRANICZNA BELEK ZGINANYCH
7.1 NOŚNOŚĆ GRANICZNA PRZEKROJU
• graniczny moment sprężysty (graniczna nośność sprężysta przekroju) M
• graniczny moment plastyczny (graniczna nośność plastyczna przekroju) M
7.2 NOŚNOŚĆ GRANICZNA BELEK
• graniczna nośność sprężysta (graniczne obciążenie sprężyste) P - jest to taka wielkość
obciążenia zewnętrznego (z reguły wyrażonego poprzez pewien parametr obciążenia), która
powoduje w co najmniej jednym punkcie belki powstanie naprężenia normalnego równego
granicy plastyczności
• graniczna nośność plastyczna (graniczne obciążenie plastyczne) P - jest to taka wielkość
obciążenia zewnętrznego, która powoduje uplastycznienie co najmniej jednego przekroju belki
(powstanie co najmniej jednego przegubu plastycznego)
• nośność graniczna P ∗ - jest to taka wielkość obciążenia zewnętrznego, która powoduje
uplastycznienie tylu przekrojów (tzn. powstanie tylu przegubów plastycznych), że belka zamienia
się w mechanizm.
7.2.1 Belki statycznie wyznaczalne
• graniczna nośność sprężysta P
MPM
( )
= ⇒
P
• graniczna nośność plastyczna P
MPM
( )
= ⇒
P
• nośność graniczna P ∗
do zamiany belki statycznie wyznaczalnej w mechanizm wystarcza powstanie jednego
przegubu, a ten tworzy się już przy obciążeniu równym granicznemu obciążeniu plastycznemu.
Tak więc w belkach statycznie wyznaczalnych graniczna nośność plastyczna i nośność
graniczna są pojęciami tożsamymi, tzn. PP
∗ =
Przykład
Wyznaczyć graniczne obciążenie sprężyste, plastyczne i nośność graniczną belki (R e =300 MPa).
4 q
q
M max = 4 q
q RW
1
4
2
MqRW
==
4
⇒ =
er
er
4
2 q
MqRW
==
4
⇒ =
q RW
el
4 q
el
4
M
A = 12 + 12 = 24 cm 2
S m = 12 × 7 +12 × 3 = 120 cm 3
oś ciężkości z c = 120/24 = 5 cm
oś obojętna A 1 = A 2 = 1/2 A = 12 cm 2 ⇒
z
2
A 1
y o
6
5
y c
y o
m
yc
= =
I
z
6 2 12 12 2 2 6 12 12 2
5
× + × + × + ×
3
2
3
2
W
=
27 2
cm
3
spr
2 2 2
max
WSA
pl
=
2
yc
( )
1
= × × =
2 12 2 48
cm
3
q
= 204
.
kN m
/
q
= 360
.
kN m
/
qq Nm
.
/
max
max
.
∗ == 360
266287066.009.png 266287066.010.png 266287066.011.png 266287066.012.png
 
ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE
5
7.2.2 Belki statycznie niewyznaczalne
• graniczna nośność sprężysta P
W celu wyznaczenia granicznej nośności sprężystej P należy po wyznaczeniu (metodami
mechaniki budowli) wykresu momentów zginających wykorzystać warunek :
( )
max = ⇒
P
• graniczna nośność plastyczna P
W celu wyznaczenia granicznej nośności plastycznej P należy po wyznaczeniu (metodami
mechaniki budowli) wykresu momentów zginających wykorzystać warunek :
max = ⇒
P
• nośność graniczna P ∗
♦ metoda ścisła
W celu wyznaczenia nośności granicznej należy po wyznaczeniu wykresu momentów
zginających „wprowadzić” do belki przegub plastyczny (wraz z obustronnie przyłożonymi do
niego momentami skupionymi, równymi M ) w przekroju maksymalnego momentu
zginającego. Powtórnie należy wyznaczyć wykres momentów dla belki o nowym schemacie
statycznym i nowym obciążeniu. Procedurę taką należy kontynuować aż do zamiany belki w
mechanizm. Oznacza to, że w belce n-krotnie statyczne niewyznaczalnej maksymalna ilość
powyższych operacji może wynosić n+1 (może też być mniejsza - zależy to od schematu i
obciążenia).
Obciążenie, przy którym belka zamienia się w mechanizm jest nośnością graniczną P ∗ .
♦ metoda kinematyczna
Metoda kinematyczna oparta jest na tzw. twierdzeniach ekstremalnych teorii plastyczności
(patrz np.: Jacek Skrzypek, Plastyczność i pełzanie, PWN, Warszawa, 1987) . Istota tej
metody polega na znalezieniu i analizie wszystkich kinematycznie dopuszczalnych (tzn.
zgodnych z więzami kinematycznymi) schematów zniszczenia belki.
W belce n-krotnie statycznie niewyznaczalnej maksymalna liczba przegubów plastycznych,
jaka prowadzi do zamiany belki w mechanizm wynosi „n+1”. W przypadku mechanizmu o
tej liczbie przegubów mówimy o tzw. pełnym mechanizmie (schemacie) zniszczenia.
W przypadku, gdy można utworzyć mechanizm obejmujący tylko część belki (co ma
miejsce przy liczbie przegubów mniejszej niż „n+1”) mówimy o tzw. niecałkowitym
mechanizmie (schemacie) zniszczenia.
Stosując zasadę prac wirtualnych należy wyznaczyć obciążenia niszczące dla każdego z
kinematycznie dopuszczalnych schematów zniszczenia. Najmniejszą z uzyskanych w ten
sposób wartości obciążenia uznajemy za nośność graniczną P ∗ .
Można wykazać, że jest to górne oszacowanie rzeczywistej nośności granicznej belki.
MPM
( )
MPM
266287066.013.png 266287066.014.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin