kurnik.pdf

(4064 KB) Pobierz
Materiały edukacyjne opracowane przez Macieja Dzwonowskiego
na Egzamin z Drgań Mechanicznych u Prof. Kurnika
1. Definicja i podstawowe parametry ruchu.
Ruch harmoniczny prosty – najprostszy przykład ruchu drgającego. Ruch ten opisany może być
równaniem:
(
)
x
=
a
cos
w+
t
j
0
Gdzie:
x – współrzędna ruchu drgającego, która może być przemieszczeniem liniowym, kątem skręcenia
(obrotu) lub jakąkolwiek wielkość fizykalną doznająca zmian o charakterze drgań;
a – amplituda,
T[s] –okres drgań,
ω[rad/s] – częstość kątowa drgań,
f[1/s=Hz] – częstość drgań.
Podstawowe zależności:
2
p
1
T
=
=
;
w
f
2
p
w
=
=
2
p
f
;
T
1 =
w
2
f
=
t
p
Ruch harmoniczny można też przedstawić w postaci:
x
=
A
cos
w
t
+
B
sin
w
t
,
Międz y A, B, a , φ 0 zachodzą związki:
2
2
a
=
A
+
B
;
B
tg
j
=
-
A
A
=
a
cos
f
0
B
=
-
a
sin
j
0
Ruch harmoniczny prosty to ruch okresowy, który spełnia ściśle warunek okresowości, to znaczy, że
dla każdego t jest słuszne:
(
)
( )
x
t
+
T
=
x
T
.
-1-
927284703.023.png 927284703.024.png 927284703.025.png 927284703.026.png 927284703.001.png 927284703.002.png 927284703.003.png
 
Materiały edukacyjne opracowane przez Macieja Dzwonowskiego
na Egzamin z Drgań Mechanicznych u Prof. Kurnika
2. Jakim
ruchem
jest
suma
drgań
harmonicznych
o
tych
samym
kierunku
i jednakowej częstości?
Suma drgań harmonicznych o tym samym kierunku i częstości to ruch wypadkowy. Ruch
wypadkowy jest ruchem harmonicznym o tej samej, co ruchy składowe częstość i amplitudzie:
( )
x
t
=
a
sin(
w+
t
j
)
;
n
n
2
2
a
=
Ł
a
sin
j
ł
+
Ł
a
cos
j
ł
=
X
+
Y
;
i
1
i
1
i
=
1
i
=
1
n
a
sin
j
i
i
tg
j
=
i
=
1
.
0
n
a
cos
j
i
i
i
=
1
3. Jakie właściwości ma suma drgań harmonicznych o zbliżonych częstościach?
Występuje wtedy zjawisko narastania i malenia amplitudy, które nazywa się dudnieniem:
A
=
a
+
a
A
=
a
-
a
max
1
2
min
1
2
Najwyraźniej zjawisko dudnienia widać, gdy
min A . Amplituda zmienia się wtedy
między wartością maksymalną a zerową. Dudnienie szczególnie zaobserwować można przy złożeniu
dwóch dźwięków, których częstości mało różnią się od siebie. Słychać wtedy narastanie i zanikanie
dźwięku.
a =
a
i wtedy
0
1
2
-2-
927284703.004.png 927284703.005.png 927284703.006.png 927284703.007.png 927284703.008.png 927284703.009.png 927284703.010.png
 
Materiały edukacyjne opracowane przez Macieja Dzwonowskiego
na Egzamin z Drgań Mechanicznych u Prof. Kurnika
4. Wykazać, że suma drgań harmonicznych o częstościach współmiernych jest
drganiem okresowym
Drgania składowe:
( )
x
t
=
a
sin
(
w
t
+
j
)
1
1
,
( )
(
) t
x
t
=
a
sin
w
+
e
2
2
Gdzie:
φ- przesunięcie fazowe między dwoma drganiami.
Superpozycja:
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
x
t
=
a
sin
w
t
+
j
+
a
sin
w
+
e
t
=
a
sin
j
+
a
sin
e
t
cos
v
t
+
a
cos
j
+
a
cos
e
t
sin
v
t
1
2
1
2
1
2
W wyniku superpozycji:
( )
( )
[
( )
]
x
t
=
A
t
sin
w+
t
y
t
Gdzie:
( )
(
j
2
1
2
2
A
t
=
a
+
a
+
2
a
a
cos
e-
t
;
1
2
a
sin
j
+
a
sin
e
t
( )
tg
y
t
=
1
2
a
cos
j
+
a
cos
e
t
1
2
W ruchu tym amplituda zmienia się okresowo, okres zmian to:
2
T
=
e
-3-
927284703.011.png 927284703.012.png 927284703.013.png 927284703.014.png 927284703.015.png
 
Materiały edukacyjne opracowane przez Macieja Dzwonowskiego
na Egzamin z Drgań Mechanicznych u Prof. Kurnika
5. Co to są figury Lissajous?
Figury Lissajous są to różnorodny tor punktu drgającego, tworzące figury zamknięte. Figury te zależą
od stosunku amplitud, stosunku częstości oraz różnicy faz.
-4-
927284703.016.png
 
Materiały edukacyjne opracowane przez Macieja Dzwonowskiego
na Egzamin z Drgań Mechanicznych u Prof. Kurnika
6. Na czym polega analiza harmoniczna drgań?
Analiza drgań polega na rozwinięciu funkcji x(t) o okresie T w szereg Fouriera:
( )
a
¥
=
(
)
x
t
=
0
+
a
cos
n
w
t
+
b
sin
n
w
t
n
n
2
i
1
Przy czym:
2
p
w
=
T
Zaś:
T
2
( )
a
=
x
t
cos
n
w
tdt
,
n
=
0
2
,...,
n
T
0
T
2
( )
b
=
x
t
sin
n
w
tdt
,
n
=
1
2
,...,
n
T
0
Kolejny wyraz szeregu nazywa się n-tą harmoniczną drgań okresowych. Wyraz zerowy nazywa się
stałą składową drgań. Pierwsza harmoniczna bywa nazywana harmoniczną podstawową.
7. Co jest widmo drgań?
Używa się je w celu scharakteryzowania składowych harmonicznych drgań okresowych. Widmo
drgań jest zbiorem par liczb, czyli kolejnych częstości oraz kwadratów odpowiadającym im amplitud,
czyli par:
2
2
2
v
;
a
+
b
=
A
n
n
n
w
Widmo funkcji przedstawia się graficznie za pomocą spektrogramu funkcji:
-5-
927284703.017.png 927284703.018.png 927284703.019.png 927284703.020.png 927284703.021.png 927284703.022.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin