SIMR-AN1-EGZ-2007-02-07b-rozw.pdf
(
86 KB
)
Pobierz
Egzamin z Analizy 1, 7 II 2007 godz. 12.00
1. Wyznaczy¢
m
tak, aby funkcja
8
<
e
−
2
x
dla x
¬
0
1
dla
0
< x
¬
1
ln
x
+
m dla x >
1
była ci¡gła. Po wyznaczeniu
m
naszkicowa¢ t¦ funkcj¦.
Rozwi¡zanie:
Funkcja jest ci¡gła na zbiorze(
−1
,
0)
[
(0
,
1)
[
(1
,
1
). Pozostaje sprawdzi¢ ci¡gło±¢
dla
x
= 0 i dla
x
= 1
Dla
x
= 0
f
(0) =
e
0
= 1
lim
f
(
x
) =
:
x
!
0
−
e
−
2
x
= 1
x
!
0
−
f
(
x
) = lim
x
!
0
+
f
(
x
) = lim
x
!
0
+
1 = 1
Poniewa» 1 = 1 = 1 wi¦c funkcja jest ci¡gła w
x
= 0
Dla
x
= 1
f
(1) = 1
lim
lim
x
!
1
−
f
(
x
) = lim
x
!
1
−
1 = 1
x
!
1
+
f
(
x
) = lim
x
!
1
+
ln
x
+
m
=
m
A wi¦c funkcja jest ci¡gła w
x
= 1 gdy 1 = 1 =
m
a wi¦c dla
m
= 1
lim
2. Dla funkcji
f
(
x
) =
x
−
1
x
+ 1
wyznaczy¢ wzór Maclaurina,
n
= 4
Rozwi¡zanie:
Wzór Maclaurina dla n=4:
f
(
x
) =
f
(0) +
f
0
(0)
x
1!
+
f
00
(0)
x
2
2!
+
f
000
(0)
x
3
3!
+
R
4
R
4
=
f
IV
(
x
)
x
4
4!
, gdzie 0
< <
1
f
(0) =
−
1
f
0
(
x
) =
x
+ 1
−
x
+ 1
(
x
+ 1)
2
2
(
x
+ 1)
2
= 2(
x
+ 1)
−
2
,
f
0
(0) = 2
=
f
00
(
x
) =
−
4(
x
+ 1)
−
3
,
f
00
(0) =
−
4
f
000
(
x
) = 12(
x
+ 1)
−
4
,
f
000
(0) = 12
f
IV
(
x
) =
−
48(
x
+ 1)
−
5
St¡d:
y
(
x
) =
−
1 + 2
x
1!
−
4
x
2
+ 12
x
3
3!
+
R
4
=
−
1 + 2
x
−
2
x
2
+ 2
x
3
+
R
4
2!
gdzie
R
4
=
−
48(1 +
x
)
−
5
x
4
4!
=
−
2(1 +
x
)
−
5
x
4
3. Sformułowa¢ jedn¡ z wersji twierdzenia de l’Hospitala i obliczy¢ granic¦
e
3
x
+
e
−
3
x
−
2
x
2
Rozwi¡zanie
lim
x
!
0
e
3
x
+
e
−
3
x
−
2
x
2
=
0
lim
x
!
0
0
Stosujemy reguł¦ de l’Hospitala 2 razy
e
3
x
+
e
−
3
x
−
2
x
2
3
e
3
x
−
3
e
−
3
x
2
x
9
e
3
x
+ 9
e
−
3
x
2
lim
x
!
0
= lim
x
!
0
= lim
x
!
0
= 9
4. Wyznaczy¢ asymptoty i ekstrema funkcji
f
(
x
) =
x
2
+
x
−
2
x
−
2
Rozwi¡zanie:
Szukamy dziedziny
f
(
x
)
D
= (
−1
,
2)
[
(2
,
1
)
Asymptota pionowa mo»e by¢ w punkcie
x
= 2. Sprawdzamy:
x
2
+
x
−
2
x
−
2
4
0
−
=
−1
lim
x
!
2
−
=
x
2
+
x
−
2
x
−
2
4
0
+
lim
x
!
2
+
=
= +
1
Funkcja ma wi¦c asymptot¦ pionow¡ obustronn¡ w
x
= 2
Sprawdzamy, czy jest asympota uko±na
y
=
ax
+
b
w +
1
x
−
x
2
1
−
x
1
x
2
+
x
−
2
x
2
−
2
x
1 +
f
(
x
)
x
a
= lim
x
!1
= lim
x
!1
= lim
x
!1
= 1
3
−
x
1
−
x
x
!1
(
x
2
+
x
−
2
3
x
−
2
x
−
2
b
= lim
x
!1
(
f
(
x
)
−
ax
) = lim
−
x
) = lim
x
!1
= lim
x
!1
= 3
x
−
2
A wi¦c funkcja ma w +
1
asymptot¦ uko±n¡ o równaniu
y
=
x
+ 3
Sprawdzamy, czy jest asympota uko±na
y
=
ax
+
b
w
−1
x
2
+
x
−
2
x
2
−
2
x
x
−
x
2
1
−
x
1
1 +
f
(
x
)
x
a
=
lim
x
!−1
=
lim
x
!−1
=
lim
x
!−1
= 1
3
−
x
1
−
x
x
!−1
(
x
2
+
x
−
2
3
x
−
2
x
−
2
b
=
x
!−1
(
f
(
x
)
−
ax
) =
lim
lim
−
x
) =
lim
x
!−1
=
lim
x
!−1
= 3
x
−
2
A wi¦c funkcja ma w +
1
asymptot¦ uko±n¡ o równaniu
y
=
x
+ 3
Szukamy ekstremów:
Badamy znak pierwszej pochodnej:
(2
x
+ 1)(
x
−
2)
−
(
x
2
+
x
−
2)
(
x
−
2)
2
=
x
2
−
4
x
(
x
−
2)
2
f
0
(
x
) =
x
2
−
4
x
(
x
−
2)
2
>
0
x
2
−
4
x >
0
x
(
x
−
4)
>
0
x
1
= 0 ,
x
2
= 4
A wi¦c
f
0
(
x
)
>
0 dla
x
2
(
−1
,
0)
[
(4
,
1
)
f
0
(
x
)
<
0 dla
x
2
(0
,
4)
\
D
Czyli funkcja ma minimum lokalne w
x
= 4 i maksimum lokalne w
x
= 0
5. Wymieni¢ 4 własno±ci całki oznaczonej. Obliczy¢ pole obszaru
D
ograniczonego krzy-
wymi
y
= 4
−
x
2
,
y
=
x
2
−
2
x
. Sporz¡dzi¢ rysunek obszaru
D
.
Rozwi¡zanie:
Szukamy punktów przeci¦cia krzywych:
4
−
x
2
=
x
2
−
2
x
2
x
2
−
2
x
−
4 = 0
x
2
−
x
−
2 = 0
= 9
x
1
=
−
1 ,
x
2
= 2
Na przedziale
<
−
1
,
2
>
krzywa
y
= 4
−
x
2
le»y nad krzyw¡
y
=
x
2
−
2
x
. Pole obszaru
jest wi¦c równe:
Z
Z
2
−
2
=
−
16
3
4
−
x
2
−
(
x
2
−
2
x
) d
x
=
−
2
x
2
+ 2
x
+ 4 d
x
=
3
x
3
+
x
2
+ 4
x
S
=
+
−
1
−
1
−
1
4 + 8
−
(
2
3
+ 1
−
4) = 9
6. Obliczy¢ długo±¢ łuku krzywej
y
=
x
p
x
mi¦dzy punktami (0
,
0) , (
9
,
27
)
Rozwi¡zanie:
Długo±¢ łuku jest równa:
4
Z
q
l
=
1 + (
y
0
)
2
d
x
0
p
x
y
0
= (
x
2
)
0
=
3
2
s
4
Z
1 +
9
l
=
4
x
d
x
0
Całkujemy przez podstawienie:
8
<
:
9
=
;
t
= 1 +
4
x
d
t
=
9
4
d
x
t
= 1
dla x
= 0
t
= 2
dla x
=
4
9
Z
2
2
27
(2
p
2
−
1)
p
t
d
t
=
4
9
4
9
8
3
t
2
l
=
=
1
1
Plik z chomika:
secoalit
Inne pliki z tego folderu:
pzk.pdf
(39271 KB)
pzk(2).pdf
(39271 KB)
analiza_cz2.pdf
(14978 KB)
analiza_cz1.pdf
(6542 KB)
SIMR-AN1-EGZ-2007-05-09b-rozw.pdf
(76 KB)
Inne foldery tego chomika:
!!STUDIA!!
Analiza 2
materiały
Mechana 1
notatki
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin