Rozdz_10B.pdf
(
275 KB
)
Pobierz
PrimoPDF, Job 11
V
V
x
+
V
V
x
=
U
d
U
+
1
t
,
Í
Û
x
x
y
y
d
x
r
y
Í
(10.49)
V
V
Í
Ü
x
y
+
=
0
.
Í
x
y
- Ponadto rwnania te majĢ
postaę identycznĢ z rwnaniami Prandtla, toteŇ ich zerowy moment jest identyczny
co do formy ze zwiĢzkiem caþkowym Karmana (9.43).
r
V
x
V
y
*
Zbadamy teraz strukturħ turbulentnej warstwy przyĻciennej dla
U = const
przyjmujĢc, Ňe oĻ x pokrywa siħ ze ĻciankĢ oraz Ňe przepþyw nie zaleŇy od zmien-
nej x, tzn.:
V V y V
x
=
( ),
y
=
0 (10.50)
Przy tych zaþoŇeniach ukþad (10.49) redukuje siħ do rwnania
t
=
0
,
y
z ktrego wynika, Ňe
t y
(
)
=
t
0
=
const
,
(10.51)
gdzie t
0
oznacza naprħŇenie na Ļciance; na mocy (10.38), (10.41) i (10.48) mamy
wiħc
d
V
Ä
d
V
Ô
2
m
+
r
l
2
Æ
Ö
=
t
.
(10.52)
d
y
d
y
0
W zwiĢzku z tym, Ňe skþadnik reprezentujĢcy naprħŇenie turbulentne jest maþy
w pobliŇu Ļcianki - i odwrotnie - w duŇej odlegþoĻci od Ļcianki turbulencja jest
w peþni rozwiniħta i naprħŇenia laminarne sĢ maþe w porwnaniu z turbulentnymi,
nasuwa siħ koncepcja rozbicia rwnania (10.52) na dwa prostsze rwnania asymp-
totyczne. Pierwsze z nich
m
d
V
=
t
(10.53)
d
y
0
294
Ú
Dziħki dokonanym uproszczeniom trzeba do niego doþĢczyę tylko jednĢ zaleŇnoĻę
dodatkowĢ dla naprħŇenia turbulentnego
( )
.
opisywaę bħdzie ruch cieczy w pobliŇu Ļcianki, drugie zaĻ
Ä
d
V
Ô
2
r
l
2
Æ
Ö
=
t
(10.54)
d
y
0
r d z e n i e m t u r b u l e n t n y m
.
Pomiħdzy tymi obszarami znajduje siħ
o b s z a r
p o Ļ r e d n i (przejĻciowy), w ktrym naprħŇenia laminarne i turbulentne sĢ tego sa-
mego rzħdu.
PomijajĢc istnienie obszaru przejĻciowego ázszyjemyÑ rozwiĢzanie rwnania
(10.53) z rozwiĢzaniem rwnania (10.54). Z rwnania (10.52) i warunku brzegowe-
go (9.5) wynika, Ňe rozkþad prħdkoĻci w podwarstwie laminarnej jest liniowy
V
(
y
)
t
= (10.55)
m
0
y
.
ZakþadajĢc dodatkowo
l
=
k
y
,
(10.56)
z rwnania (10.54) mamy
d
V
=
1
0
r
t
.
(10.57)
d
y
k
y
Po jego scaþkowaniu otrzymamy rozkþad prħdkoĻci w rdzeniu turbulentnym
( ) ln ,
= +
*
k
y C
(10.58)
w ktrym symbol
V
*
oznacza prħdkoĻę dynamicznĢ
V
=
0
r
.
StaþĢ
C
wyznaczymy z warunku, aby prawe strony (10.55) i (10.58) byþy sobie rw-
ne dla pewnego y = d
C
=
t
0
d
-
V
ln
d
.
(10.59)
m
k
295
w duŇej odlegþoĻci od Ļcianki.
Obszar, w ktrym obowiĢzuje rwnanie (10.53) nazywamy
p o d w a r s t w Ģ
l a m i n a r n Ģ
natomiast obszar, w ktrym ruchem cieczy rzĢdzi rwnanie (10.54) -
V
V y
t
WprowadzajĢc ponadto skalħ dþugoĻci
L (10.60)
=
n
*
V
*
oraz zmienne bezwymiarowe:
j
=
V
,
h
=
y
=
y
V
*
,
a
=
d
,
(10.61)
V
L
n
L
*
*
*
uzyskujemy ostatecznie, jako wynik rozwiĢzania rozpatrywanego zagadnienia, dwie
funkcje postaci:
j h
=
dla 0
h a
, (10.62)
j
= + -
1
ln
h a
1
ln dla
a h a
>
. (10.63)
k
k
WartoĻci liczbowe staþych k oraz a muszĢ byę zaczerpniħte z odpowiednich do-
Ļwiadczeı. Otrzymane rozwiĢzanie dla:
k
=
0 4
. ,
a
=
115
. (10.64)
oraz wyniki badaı eksperymentalnych zostaþy przedstawione na rys. 10.4.
Rys. 10.4
296
Na rys. 10.4 zaznaczono teŇ wykres funkcji potħgowej
j h
= 8 47
.
1 7
, (10.65)
przybliŇajĢcej funkcjħ (10.63) (10.64) - czħsto bowiem w celu uproszczenia obli-
czeı rozkþady logarytmiczne sĢ aproksymowane uniwersalnymi rozkþadami potħgo-
wymi, opisywanymi oglnym wzorem
j
=
C h
(
n
)
1 n
.
(10.66)
W warstwie przyĻciennej ázszytejÑ z podwarstwy laminarnej i z rdzenia turbu-
lentnego o logarytmicznym rozkþadzie prħdkoĻci, droga mieszania jest þamanĢ.
W rzeczywistoĻci droga mieszania zmienia siħ w sposb ciĢgþy w poprzek warstwy.
StĢd teŇ w wielu obliczeniach droga mieszania aproksymowana jest wielomianem
trzeciego stopnia postaci
Ä
y
Ô
Ä
y
Ô
2
Ä
y
Ô
3
( ) ( )
,
l
=
k
Æ
Ö
-
2
k
-
3
a
Æ
Ö
+
k
-
2
a
Æ
Ö
d
1
d
1
d
gdzie
a , podobnie jak k
,
jest staþĢ empirycznĢ.
10.5. Przepþywy turbulentne w przewodach
Przepþywy turbulentne w przewodach o dowolnych przekrojach poprzecznych
stanowiĢ jeden z najstarszych dziaþw mechaniki pþynw i znajdujĢ siħ w centrum
zainteresowania praktyki inŇynierskiej ze wzglħdu na swe zastosowania techniczne.
MoŇna je zaliczyę do grupy przepþyww przyĻciennych ze wzglħdu na obecnoĻę
powierzchni ograniczajĢcych, ktre wywierajĢ dominujĢcy wpþyw na ksztaþt prħdko-
Ļci Ļredniej oraz na rozkþady wielkoĻci charakteryzujĢcych turbulencjħ przepþywu.
ĺcisþe jednak podobieıstwo miħdzy przepþywem w swobodnej warstwie przyĻcien-
nej, a przepþywami w przewodach wystħpuje tylko w bliskim sĢsiedztwie Ļcianek.
Poza tym obszarem oba rodzaje przepþyww rŇniĢ siħ wzajemnie odrħbnoĻciĢ wa-
runkw brzegowych, gdyŇ poza obszarem warstwy przyĻciennej przepþyw wykazuje
cechy przepþywu potencjalnego (warstwa swobodna), a w przewodzie przepþyw
potencjalny praktycznie nie wystħpuje (za wyjĢtkiem odcinka wstħpnego - rys. 5.20),
poniewaŇ w centralnej czħĻci przewodu zachodzi z reguþy interakcja warstw przy-
Ļciennych utworzonych na przeciwlegþych jego Ļciankach.
Ze wzglħdu na powszechnoĻę wystħpowania, najczħĻciej rozwaŇanym w literatu-
rze przedmiotu jest przepþyw przez przewody o przekrojach koþowych, w ktrym -
podobnie jak w swobodnej warstwie przyĻciennej - moŇna wyrŇnię kilka stref:
- podwarstwħ laminarnĢ znajdujĢcĢ siħ w bezpoĻrednim sĢsiedztwie Ļcianki,
- strefħ przejĻciowĢ ujmowanĢ wraz z obszarem poprzednim wsplnĢ nazwĢ
warstwy lepkiej (0.3 0.4 % Ļrednicy kanaþu); jest to obszar, w ktrym lepkoĻę mo-
297
lekularna odgrywa znaczĢcĢ rolħ w wartoĻci naprħŇeı stycznych i w ktrym odbywa
siħ znaczna czħĻę zmian prħdkoĻci Ļredniej i zmian wielkoĻci charakteryzujĢcych
turbulencjħ przepþywu,
- strefħ w peþni rozwiniħtego przepþywu turbulentnego (jej grna granica jest
okreĻlona wspþrzħdnĢ y R = 0.15 0.20), tworzĢcĢ wraz z warstwĢ lepkĢ obszar
przyĻcienny przepþywu w przewodzie; obowiĢzuje w niej logarytmiczne prawo roz-
kþadu prħdkoĻci Ļredniej (10.63),
- turbulentny rdzeı przepþywu (80 85 % Ļrednicy przewodu), nie znajdujĢcy siħ
juŇ pod bezpoĻrednim wpþywem Ļcianek przewodu; jego znamiennymi cechami sĢ:
nieznaczna zmiana prħdkoĻci Ļredniej oraz praktyczna staþoĻę wspþczynnika lepko-
Ļci turbulentnej w Ļrodkowym obszarze kanaþu.
Rys. 10.5
V = w rurze w przepþywie
laminarnym (przykþad 8.3) i w przepþywie turbulentnym (opartych na wynikach
doĻwiadczeı Nikuradsego) - przedstawia rys. 10.5. Z postaci tych rozkþadw prħd-
koĻci moŇemy þatwo wywnioskowaę, Ňe skþadowa normalna gradientu prħdkoĻci na
Ļciance jest w przypadku przepþywu turbulentnego znacznie wiħksza, niŇ w przypad-
ku przepþywu laminarnego - co oznacza, Ňe
V
(y
)
t
ZakþadajĢc, Ňe wzr (10.63) stosuje siħ do przepþywu przewodem osiowosyme-
trycznym, dla osi przewodu mamy
0
turb
>>
t
0
lam
.
V
max
=
1
ln
R
V
*
+
a
-
1
ln
a
.
(10.67)
V
k
n
k
*
298
Porwnanie uĻrednionych rozkþadw prħdkoĻci
Plik z chomika:
t500
Inne pliki z tego folderu:
Rozdz_12B.pdf
(133 KB)
Rozdz_12A.pdf
(128 KB)
Rozdz_11C.pdf
(121 KB)
Rozdz_11B.pdf
(301 KB)
Rozdz_11A.pdf
(205 KB)
Inne foldery tego chomika:
Mechanika płynów
Mechatronika
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin