Teoria - Wahadło matematyczne.doc

Fizyka - Teoria - Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne (wahadło proste) jest to ciało o masie punktowej zawieszone na cienkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi, zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy. Znajdziemy okres tego ruchu.

Rysunek przedstawia wahadło o długości l i masie m, odchylone od pionu o kąt α. Na masę m działa siła przyciągania grawitacyjnego (siła ciężkości) wyrażana wzorem Q = mg oraz siła naprężenia (naciągu) nici N.
Siłę ciężkości rozkładamy na składowe:
- jedna składowa równoważy siłę naprężenia

- druga składowa dostarcza niezbędnego przyspieszenia dośrodkowego do utrzymania ruchu po łuku okręgu; siła ta jest zwrócona przeciwnie do przesunięcia, więc

Minus oczywiście nie oznacza, że wartość siły jest ujemna, tylko to, że zwrot działania siły jest przeciwny do zwrotu przesunięcia.

Jeżeli kąt α jest mały, to sinα jest bardzo bliskie α mierzonemu w radianach:

Przemieszczenie wzdłuż łuku wynosi

i dla małych kątów ruch jest w przybliżeniu prostoliniowy. Przyjmując, że

otrzymujemy:

Zauważ, że stała mg/l określa stałą k w równaniu F = -kx

Przy małej amplitudzie okres wahadła matematycznego wynosi więc

Zauważ, że okres nie zależy od masy wahadła.

Ponieważ okres wahadła prostego nie zależy praktycznie od amplitudy, więc takie wahadło stosujemy do mierzenia czasu. Gdy siły hamujące zmniejszą amplitudę wahań, okres pozostanie prawie zupełnie niezmieniony. Dla wyrównania strat spowodowanych tarciem do wahadła zegarowego energia dostarczana jest automatycznie przy pomocy odpowiedniego mechanizmu. Wahadło zegarowe z takim mechanizmem wynalazł Christian Huygens (1629-1695).
Wahadło matematyczne jest również wygodnym narzędziem pomiaru przyspieszenia ziemskiego g. Zamiast wykonywać doświadczenie ze spadkiem swobodnym ciał, wystarczy po prostu zmierzyć l i T.