ARYT-ZAD+ROZW.pdf

Lista nr 1

Rok I

ARYTMETYKA KOMPUTERÓW

c) a 2 =301 x , d) b 2 =562 x

1. Znajd ź podstaw ę x systemu naturalnego, w którym: a)

, b)

2. Znajd ź podstaw ę

systemu naturalnego, w którym liczby naturalne x 1 oraz x 2 s ą rozwi ą zaniami

równania ax 2 + bx + c = 0. Wykonaj obliczenia dla x 1 = 5 b , x 2 = 8 b i równania 5 b x 2 – 50 b x +125 b = 0

systemu naturalnego, w którym równanie ax 2 + bx + c =0 ( a,b,c Î

3* Znajd

podstaw

) ma pierwiastki

całkowite. *Rozwi

ąŜ

zadanie zakładaj

e a,x 1 ,x 2 s

liczbami jednocyfrowymi, b = b 1

+ b 0 jest liczb

2 + c 1

dwucyfrow ą , za ś c = c 2

+ c 0 , c 2 = 0 lub 1. Wykonaj obliczenia dla x 1 = 5 b , x 2 = 8 b oraz a = 1 i 3.

4. Wyka Ŝ , Ŝ e w standardowym systemie naturalnym o podstawie

suma warto ś ci cyfr iloczynu liczby

jednocyfrowej przez

b - 1

jest stała. Ułó Ŝ tabliczki mno Ŝ enia w systemach o bazie

= 5, 7, 9, 11, 13.

5. Wyka Ŝ , Ŝ e w dowolnym systemie naturalnym suma cyfr iloczynu dowolnej liczby jednocyfrowej przez

najwi ę ksz ą liczb ę dwucyfrow ą |{

–1,

–1}| b jest stała. *Uogólnij wynik dla k

–1, … ,

–1,

–1}| b

2 ,

6. Oblicz metod ą pisemn ą iloczyn 0,324 b ´

2,41 b

i iloraz 43,4 b : 3,2 b dla

= 5, 7, 9, 11, 13 oraz dla

korzystaj ą c z tabliczki mno Ŝ enia w systemie o podstawie

= 3, 4.

ęś

7. Przeprowad

konwersje podstawy (bazy), z dokładno

do 4 cyfr cz

ci ułamkowej wyniku:

a) 674,581 10 = (…) 16 = (…) 4

b) 0CD,12 16 = (…) 2 = (…) 10

c) 3,012 8 = … (…) 2 …= (…) 16

2 –5 = (…) 2 = (…) 16

5 –2 = (…) 5

5 –3 = (…) 10

d) 34,56 10

e) 102,21 3

f) 0BACA 16

15 –2 = (…) 5

g) 6745,81 9 = (…) 7 = (…) 10

h) 0AA,12 11 = (…) 10 = (…) 9

i) 102,21 3

j) 34 7 /56 7 = (…) 2

k) 234,(56) 9 = (…) 7

l) 12,3(45) 7 = (…) 10 = (…) 11

8* Wyka Ŝ , Ŝ e je ś li istnieje nierozkładalny podzielnik podstawy ź ródłowej, który nie jest podzielnikiem

podstawy docelowej, to wynikiem konwersji ułamka sko ń czonego w systemie o danej podstawie, na

reprezentacj ę w innym systemie naturalnym jest ułamek okresowy.

9. Znajd

system o najmniejszej podstawie, w którym reprezentacja danego ułamka jest sko

czona:

a) 0,(27) 10

b) 0,(101) 2

c) 1 – 0,(56) 9

d) 0,0(0011) 2

e) 0,(35) 11 – 0,(2) 11

f) 0,1(23) 7

A. Wyka Ŝ , Ŝ e w systemie naturalnym przeniesienie otrzymane podczas dodawania lub po Ŝ yczka podczas

odejmowania na ka Ŝ dej pozycji s ą zawsze równe 0 lub 1.

B. Opracuj algorytm dodawania i odejmowania liczb zapisanych w systemie znak-moduł (SM). Przyjmij,

e znak liczby jest kodowany standardowo (0 – plus, 1 –minus).

C* Opracuj algorytm dodawania i odejmowania w systemie naturalnym z niestandardowym zbiorem cyfr.

D. Oblicz odpowiednio warto ś ci najwi ę kszej i najmniejszej liczby całkowitej, reprezentowanych przez

ła ń cuch k cyfr w systemie: a) naturalnym o podstawie

, b) negabazowym, c) z cyframi znakowanymi,

d)* uzupełnieniowym pełnym i niepełnym, e)* spolaryzowanym „+ 1 / 2 b

k –1 ” oraz „+ 1 / 2 b

k –1 –1”.

E* Wyka Ŝ , Ŝ e w systemach uzupełnieniowych pełnych o bazach skojarzonych konwersj ę podstawy mo Ŝ na

S ) lub dekompozycj ę cyfr (

wykona ć przez grupowanie (

b ® b

® b

5 pa

dziernika 2005

Lista nr 2

Rok I

ARYTMETYKA KOMPUTERÓW

1. Zapisz w systemie uzupełnieniowym do 2 (U2) z o ś mioma bitami cz ęś ci ułamkowej liczby:

a) – 674,581 10

b) – 0A,12 16

c) – 3,012 8

d) + 34,56 10

e) 4,56 10 – 4,5(6) 10

Porównaj otrzymane kody z notacj ą w systemie uzupełnieniowym do 1 (U1) i systemie znak-moduł.

2. Dodaj i odejmij liczby 4-cyfrowe podane w dziesi ę tnym uzupełnieniowym systemie pełnym (U10):

a) 6745

8123

b) 9,745

0,8(23)

c) 31,56

84,23

d) 9,994

9,916

ść

ywaj

c lewostronnego rozszerzenia zweryfikuj poprawno

wyników otrzymanych na 4 pozycjach.

3* Wyka Ŝ , Ŝ e w dodawaniu lub odejmowaniu w systemie stałobazowym i uzupełnieniowym u Ŝ ycie cyfr

lewostronnego rozszerzenia operandów wystarczy do wykrycia nadmiaru (przekroczenia zakresu).

4. Wykonaj zmian ę znaku liczby danej w quasi-symetrycznym kodzie spolaryzowanym +2 k oraz +2 k

a) 10101001

b) 0101010

c) 1100001

c) 00110101

5. Zakładaj

e podane 8 - bitowe sekwencje zero-jedynkowe reprezentuj

liczby w kodzie

a) naturalnym (NB)

b) uzupełnieniowym pełnym (U2)

c) uzupełnieniowym niepełnym (U1)

e) spolaryzowanym „+2 8–1 –1”

f) spolaryzowanym „+2 8–1 ”.

d) znak-moduł (SM)

oblicz sum

i ró

nic

liczb o kodach: i) 10011101 i 01111001, ii) 11011101 i 10111101. Sprawd

poprawno

ść

wyników wykonuj

c działanie odwrotne (suma – argument, ró

nica + odjemnik)

6. Znaj ą c kilka najbardziej znacz ą cych bitów liczb n -bitowych w kodzie uzupełnieniowym U2, sprawd ź ,

czy w ich dodawaniu i odejmowaniu wyst ą pi nadmiar:

a) 11101010..??

10011110..??

b) 1011010..??

1001110..??

c) 011101..??

11011001..??

7. Korzystaj ą c z zale Ŝ no ś ci

i zakładaj ą c, Ŝ e liczby s ą dane w systemie naturalnym, oblicz:

a) 6745 – 8123

b) 9,745 – 0 , 823

c) 34,56– 81,23

d) 10011101 2 – 01111001 2

Sprawd ź otrzymane wyniki wykonuj ą c działania odwrotne (ró Ŝ nica + odjemnik).

8. Wyka Ŝ , Ŝ e w systemie naturalnym lub uzupełnieniowym pełnym mno Ŝ enie liczb m –pozycyjnych nie

powoduje nadmiaru, je ś li wynik jest kodowany na co najmniej 2 m pozycjach.

9. Wynik mno

enia m –bitowych liczb w kodzie U2 jest kodowany na 2 m –1 bitach. Czy jest mo

liwe

wyst ą pienie nadmiaru, a je ś li tak to przy jakich warto ś ciach mno Ŝ nej i mno Ŝ nika?

A. Wykonaj mno Ŝ enie liczb w dwójkowym kodzie uzupełnieniowym pełnym (U2) u Ŝ ywaj ą c bitów

rozszerzenia i stosuj ą c przekodowanie iloczynów cz ęś ciowych eliminuj ą ce rozszerzenia:

a) 110101

011011

b) 011101

110111

c) 101001

111111

d) 1101010

1111101.

B. Poka

e w systemie naturalnym dwójkowym i systemie uzupełnieniowym do 2 mno

enie przez stał

która jest sum ą lub ró Ŝ nic ą pot ę g dwójki mo Ŝ na wykona ć jako dodawanie skalowanej mno Ŝ nej.

C. Oblicz iloczyn liczb 4-cyfrowych podanych w uzupełnieniowym systemie pełnym (U10/U8):

a) 6745 U10

8123 U10 b) 9745 U10

0823 U10

c) 3156 U10

8423 U10

d) 9994 U10

9916 U10

e) 5745 U8 ´

7123 U8

f) 7745 U8 ´

0723 U8

g) 3156 U8 ´

6423 U8

h) 7774 U8 ´

7716 U8

5 pa

dziernika 2005

Lista nr 3

Rok I

ARYTMETYKA KOMPUTERÓW

1. Zakoduj na 8 bitach według prostej i alternatywnej reguły Booth’a i Booth’a-McSorley’a:

a) –817 10

b) +1321 10

c) 10111101 2

d) 1011101 U2

e)* 1011101 (–2)

2. U Ŝ ywaj ą c przekodowania Booth’a oraz Booth’a-McSorley’a i przyjmuj ą c, Ŝ e operandy s ą w kodzie

A) dwójkowym naturalnym, B) uzupełnieniowym U2, C)* dopełnieniowym U1, oblicz iloczyny:

a) 11000101

01110011 b) 011101

11011110

c) 101001

1011111

d) 010011

010111110.

3. Wykonuj

c dzielenie odtwarzaj

ce (metod

sekwencyjn

„kolejnych reszt”) oblicz z dokładno

do 4

pozycji znacz ą cych iloraz liczb reprezentowanych w systemie uzupełnieniowym pełnym

a) 01010011 U2 : 1011 U2

b) 1010011 U2 : 01011 U2

c) 576 U10 : 176 U10

d) 424 U10 : 824 U10

e) 6465 U10 : 353,5 U10

f) 6465 U8 : 353,5 U8

g) 5465 U10 : 150,7 U10

h) 2465 U8 : 753,5 U8 .

Sprawd ź poprawno ść otrzymanych wyników wykonuj ą c mno Ŝ enie.

4. Wykonaj w kodzie U2 z dokładno ś ci ą do 5 cyfr znacz ą cych ilorazu dzielenie nieodtwarzaj ą ce liczb:

a) 110101 : 011011

b) 011101 : 110111

c) 101001 : 11111

d) 101001 : 10011,

e) 1,10101 : 01101,1

f) 0,11101 : 110,111

g) 1010,01 : 111,11

h) 101001 : 100,11.

Sprawd

, wykonuj

c mno

enie, poprawno

ść

otrzymanych wyników.

5. Oblicz metod

nieodtwarzaj

z dokładno

do 4 cyfr znacz

cych iloraz liczb naturalnych (NB):

a) 110101 2 : 011011 2

b) 011101 2 : 110111 2

c) 101001 2 : 11111 2

d) 101001 2 : 10011 2 ,

e) 1,10101 2 : 01101,1 2

f) 0,11101 2 : 110,111 2

g) 1010,01 2 : 111,11 2

h) 101001 2 : 100,11 2 .

6. Oblicz metod ą sekwencyjn ą („kolejnych reszt”) pierwiastek kwadratowy z liczb

a) 123456 7 , b) 1010 0010 0111 1100 2 , c) 987654321 10 d) 123,456 7 , e) 10100 0100,1111 100 2

z dokładno ś ci ą do jednej, dwóch i siedmiu cyfr znacz ą cych oraz podaj trzeci ą i czwart ą reszt ę .

7. Dane s

3 cyfry przybli

enia pierwiastka kwadratowego i trzecia reszta. Podaj dwie kolejne cyfry, je

li:

a) Q 3 =123 7 , r 3 =3456 7 , b) Q 3 =123 10 , r 3 = 3456 10 , c) Q 3 =101 2 , r 3 =11101 2 ,

8. Dane jest przybli Ŝ enie pierwiastka kwadratowego z dokładno ś ci ą do 4 cyfr znacz ą cych i czwarta reszta

równa 0. Oszacuj warto ść liczby pierwiastkowanej, je ś li: a) Q 4 =12,34 7 , b) Q 4 =1,234 10 , c) Q 4 =1101 2 .

9. Oblicz metod

nieodtwarzaj

z dokładno

do 5 cyfr znacz

cych pierwiastek kwadratowy z liczb:

a) 1010 0010 0111 1100 2 , b) 123,456 8 , c) 10100 0100,1111 100 2 d) 0,0000000371 b ( b = 2, 8, 10)

A* Poka Ŝ , Ŝ e w naturalnym systemie dwójkowym dzielenie przez stał ą , która jest sum ą lub ró Ŝ nic ą

dwóch pot ę g dwójki, mo Ŝ na wykona ć przez odejmowanie, je ś li dzielenie nie wytwarza reszty.

B. Analitycznie i na podstawie wykresu dzielenia dwójkowego: a) odtwarzaj

cego, b) nieodtwarzaj

cego

wyznacz 3 kolejne cyfry ilorazu, je

eli znormalizowany dzielnik (1 £ D < 2) ma warto

ść

i) D = 1,101 2 ,

ii) D = 1,1101 2 , a bie

Ŝą

reszt

(przed skalowaniem) jest: a) 0,3 D , b)

0,2 D , c) +0,7 D.

C* Narysuj wykresy P - D dla dzielenia w bazie 4 (

= 4) i dzielnika z zakresu [1,2). Podaj ile bitów musi

by ć porównywanych w celu wyznaczenia cyfr ilorazu.

5 pa

dziernika 2005

Lista nr 4

Rok I

ARYTMETYKA KOMPUTERÓW

1. Wyka Ŝ , Ŝ e najwi ę kszy wspólny podzielnik dwóch liczb jest podzielnikiem ich ró Ŝ nicy.

2. Korzystaj

c z twierdzenia Euklidesa znajd

najwi

kszy wspólny podzielnik liczb:

d) 2 20 –1 oraz 2 5 +1

a) 6745 i 8123

b) 9994, 92 i 9916

c) 375, 243, 345 i 126

3. Poka Ŝ , Ŝ e liczby 2 k + 1 i 2 k +1 +1 s ą wzgl ę dnie pierwsze ( k

N – jest liczb ą naturaln ą ).

*Wyka Ŝ , Ŝ e liczby 2 n +1, 2 2 n +1 +2 oraz 2 n

1 s ą wzgl ę dnie pierwsze z liczb ą 2 2 n +1 ( n

N ).

*Kiedy prawdziwe jest twierdzenie, Ŝ e liczby 2 k + 1 i 2 r + 1 ( k

N ) s ą wzgl ę dnie pierwsze?

4. Na podstawie twierdzenia Eulera lub małego twierdzenia Fermata oblicz:

a) 13 267 mod 63,

b) 17 2167 mod 19

c) 40 167 mod 41

d) (17 267 13 267 )mod 55

5. Nie wykonuj ą c dzielenia wyznacz reszt ę z dzielenia liczby d 1011 0011 0111 1101 U2 ( d =0, 1) przez

a) 1111 2

b) 10001 2

c) 11111 2

d) 10000001 2

e) 101 2 .

6. Stosuj

c reguły arytmetyki resztowej oblicz najmniejsze reszty całkowite (dodatnie lub ujemne) sumy,

ró Ŝ nicy i iloczynu liczb 4652 8 i 0ABCD 16 wzgl ę dem modułów: 257 10 , 7 8 , 65 10 , 3F 16 , 11 16 , 0FF 16

7. Podaj reprezentacj ę liczby 23456 10 w bazie RNS: a) {29, 30, 31}, b) {99, 100, 101}, c) {63, 64, 65}.

8* Znajd ź odwrotno ś ci multyplikatywne iloczynów par modułów bazy systemu resztowego ( a –1, a , a +1)

wzgl

dem trzeciego z nich, zakładaj

e a jest liczb

parzyst

9. Znajd

jedynki resztowe w zbiorze kongruencji naturalnych ( x Î[0, M)) w systemie RNS:

a) {29, 30, 31}

b) {99, 100, 101}

c) {63, 64, 65}

d)* {11, 13, 15, 16}

Znajd ź liczb ę , której reprezentacj ą resztow ą jest ((a),b),c)): (1, 2, 3), (d): (1, 2, 2, 1).

**Rozwi ąŜ zadanie w zbiorze kongruencji całkowitych ( x

–(M–1)

/2,

M–1

/2))

A. Zapisz w 32-bitowym formacie zmiennoprzecinkowym standardu IEEE 754 liczby o warto ś ciach:

8 -51

4 -61

a) 674,531 8

b) 0,12 8

c) – 0ABC,DE 16

d) 10,1010101010 U2

B. Zapisz w 32-bitowym formacie zmiennoprzecinkowym IEEE 754 pierwiastki kwadratowe z liczb:

a) 1010 0010, 0111 1100 2 , b) 123,456 8 , c) 10100 0100, 1111 100 2

C. Oblicz i zapisz w 32-bitowym formacie zmiennoprzecinkowym standardu IEEE 754 z dokładno

5 cyfr znacz ą cych pierwiastki kwadratowe z liczb danych w tym formacie:

a) 0 0100 0100 111 1100 1010 0010 0111 1100, b) 0 1010 0101 1111 1010 0100 1111 1111 100 2

c) 0 0100 0101 111 1100 1010 0010 0111 1100, d) 0 1010 0100 1111 1010 0100 1111 1111 100 2

E. Wyznacz z dokładno

do 4 bitów ułamka zaokr

glenia argumentów 1,10111101101 i 1,1011110010

uzupełnione bitami G, R, X. Wykonaj ich mno Ŝ enie i porównaj z wynikiem pełnego mno Ŝ enia.

F* Wyka Ŝ , Ŝ e w dodawaniu (mno Ŝ eniu) zmiennoprzecinkowym znormalizowanych operandów, bit X dla

znormalizowanej sumy (iloczynu) mo Ŝ e by ć wyznaczony przed wykonaniem działania.

G* Oszacuj maksymalny bł

d przybli

enia ró

nicy podczas odejmowania znormalizowanych operandów

obliczonych z tak ą sam ą dokładno ś ci ą bezwzgl ę dn ą znacznika (mantysy).

5 pa

dziernika 2005

Lista nr 5

Rok I

ARYTMETYKA KOMPUTERÓW

1. Stosuj ą c reguły działa ń w algebrze Boole’a upro ść poni Ŝ sze wyra Ŝ enia

a) x +( x Å y )

b) xyz +( x Å y )+( z Å y )

c) x +~ xy + xyz

d) zy +( x Å y ) e) zx + z ( x Å 1) f) x + xy +( x Å yz )

g) [ z × f ( x )+( z Å f ( x ))] f ( x )

h) ( g ( x )+ z Å f ( x ))+ z f ( x )(1 Å g ( x )

2* Poka Ŝ , Ŝ e ka Ŝ d ą funkcj ę logiczn ą mo Ŝ na wyrazi ć za pomoc ą funkcji NOR albo funkcji NAND.

3. Wyznacz funkcje dualne i komplementarne do funkcji

(

)

(

)

(

)

oraz ( f 1 + f 2 )( x ) i ( f 1 f 2 )( x ). Narysuj stosowne sieci logiczne. Na podstawie twierdzenia Shannona rozwi

funkcje ( f 1 + f 2 )( x ), ( f 1 f 2 )( x ) i ( f 1 Å f 2 )( x ) wzgl

dem zmiennej x 3 .

4* Poka Ŝ , Ŝ e charakterystyki AT sieci realizuj ą cych funkcj ę dualn ą i komplementarn ą s ą jednakowe.

5* Narysuj schemat logiczny sumatora 1-bitowego, którego wyj ś cia sumy i przeniesienia s ą wytwarzane

z u

ciowym na podstawie funkcji sumy

i przeniesienia zerowego i jedynkowego s 0 , s 1 , c 0 , c 1 . Wyznacz charakterystyki AT tego układu.

yciem multiplekserów sterowanych przeniesieniem wej

6. Oblicz charakterystyki AT uniwersalnych sumatorów kaskadowych RCA dla kodów k -bitowych:

a) uzupełnieniowego pełnego (U2)

b) uzupełnieniowego niepełnego (U1)

c) znak-moduł,

d) spolaryzowanego ujemnie „+2 k –1 ”

e) spolaryzowanego dodatnio „+2 k –1 –1”

7. Zaproponuj sposób kodowania cyfr i zaprojektuj sumator jedno- i cztero-pozycyjny dla systemu

a) U10 z kodowaniem cyfr w kodzie „+3” i kodzie BCD

b) dwójkowego negabazowego (

= –2),

c)* naturalnego trójkowego (

= 3) i dwójkowego z cyfr ą znakowan ą SD (D={–1,0,+1})

8. Oblicz charakterystyki AT sumatora 24-bitowego z przeniesieniami przeskakuj

cymi ( carry-skip ) je

ma on struktur ę a) 3-4-4-3-4-4-2, b) 3-3-4-4-4-3-3, c) 4-4-4-4-4-4, d) 6-6-6-6, e) optymaln ą .

9. Zaprojektuj 4- i 8-bitowy sumator sum warunkowych i wyznacz ich charakterystyki AT.

A* Zaprojektuj 4- i 8-bitowy sumator prefiksowy PPA w strukturze Ladnera-Fischera i Hana-Carsona .

Wyznacz funkcje wytwarzania ( G * ) i przekazywania ( P * ) przeniesie

na kolejnych poziomach bloku

generowania przeniesie ń . **Wyznacz charakterystyki AT sumatora k -bitowego.

B. Zaprojektuj 8-bitowe układy inkrementacji i dekrementacji liczby zakodowanej w kodzie U2. Wyznacz

charakterystyki AT zaprojektowanych układów.

C. Zaprojektuj uniwersalny układ realizuj

cy skalowanie liczby 8-bitowej w kodzie U2 przez 2, ½ oraz ¼.

Wyznacz charakterystyki AT tego układu. Wskazówka : Zrealizuj układ jako przesuwnik kaskadowy

( barrel shifter ) z u Ŝ yciem multiplekserów 2-wej ś ciowych. Pami ę taj o pozycjach rozszerzenia.

D* Zaprojektuj uniwersalny sumator, którego wej ś cia s ą zakodowane w dwójkowym kodzie naturalnym,

a wyj

cia w kodzie znak-moduł.

5 pa

dziernika 2005

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: