Oblicz wartość ułamka:
Oblicz liczby:
liczby to razy :
Zamień na centrymetry kwadratowe:
a)
b)
c)
d)
Zamień na milimetry:
Zamień na milimetry kwadratowe:
Wskaż trójkąty przystające:
Trójkąty przystające zostały otoczone czerwoną kreską. Są to trójkąty a) b) c) na zasadzie przystawanie trójkątów: bok kąt bok (bkb). Wszystkie te trójkąty mają równe boki o długościach a oraz b, a także zawarty między nimi kąt o mierze 40 stopni.
Trójkąt d) nie jest przystający do pozostałych trójkątów gdyż ma inną miarę kąta między bokami o długościach a oraz b.
Miary brakujących kątów zostały obliczone wykorzystując fakt, że suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni i zaznaczone na rysunku kolorem czerwonym.
Trójkąty przystające zostały otoczone czerwoną kreską. Są to trójkąty a) oraz d) na zasadzie przystawanie trójkątów: kąt bok kąt (kbk). Obydwa trójkąty mają równe kąty o miarach 60 stopni, 80 stopni oraz bok zawarty miedzy tymi kątami ma identyczną długość w obu trójkątach.
Trójkąt z podpunktu b) ma kąty identyczne jak pozostałe trójkąty jednak, żeaden z jego boków nie ma identycznej długości z którymkolwiek z pozostałych trójkątów więc nie możemy powiedzieć, że jest on przystający do jakiegokolwiek innego trójkąta.
Bok zawarty między kątami 60 stopni 80 stopni nie jest równy 2 (przynajmniej nam nic o tym nie wiadomo) byśmy mogli skorzystać z cechy kbk (kąt bok kąt). Odcinek o długości 2 jest w trójkącie z podpunktu c) w zupełnie innym miejscu niż w trójkątach a) oraz d).
Mając dane długości odcinków i miary kątów jak na rysunku, oblicz długości boków poniższych trójkątów:
Z sumy kątów trójkąta (180o) wynika, że: Miara trzeciego kąta w trójkącie a) wynosi: 180o - 80o - 85o = 15o Miara trzeciego kąta w trójkącie b) wynosi: 180o - 80o - 15o = 85o Miara trzeciego kąta w trójkącie c) wynosi: 180o - 85o - 15o = 80o
Trójkąty a) oraz b) są przystające na zasadzie kbk (kąt bok kąt) gdyż mają dwa kąty o równych miarach 80o i 15o i bok zawarty między tymi kątami w obu trójkątach ma identyczną długość 10. Zatem: Bok naprzeciwko kąta 80o w trójkącie a) ma długość 9 - tak jak bok naprzeciwko kąta 80o w trójkącie b) Bok naprzeciwko kąta 15o w trójkącie b) ma długość 6 - tak jak bok naprzeciwko kąta 15o w trójkącie a)
Trójkąty a) oraz c) są przystające na zasadzie kbk (kąt bok kąt) gdyż mają dwa kąty o równych miarach 85o i 15o i bok zawarty między tymi kątami w obu trójkątach ma identyczną długość 9. Zatem: Bok naprzeciwko kąta 85o w trójkącie c) ma długość 10 - tak jak bok naprzeciwko kąta 85o w trójkącie a) Bok naprzeciwko kąta 15o w trójkącie c) ma długość 6 - tak jak bok naprzeciwko kąta 15o w trójkącie a)
Trójkąty a) oraz d) są przystające na zasadzie bkb (bok kąt bok) gdyż mają dwa boki o tej samej długości (9 oraz 6) i kąt zawarty między tymi bokami w obu trójkątach ma miarę 85 o. Zatem: Bok naprzeciwko kąta 85o w trójkącie d) ma długość 10 - tak jak bok naprzeciwko kąta 85o w trójkącie a) Dodatkowo zaznaczono miary kątów w trójkącie d) odpowiadające miarom katów w trójkącie a) leżącym naprzeciw tych samych odcinków.
Udowodnij, że jeżeli wysokość i środkowa trójkąta poprowadzone z jednego wierzchołka dzielą kąt przy tym wierzchołku na trzy kąty o równych miarach to trójkąt ten jest prostokątny.
Posługując się przystawaniem trójkątów i własnościami trójkąta (suma kątów trójkąta wynosi 180 stopni) obliczymy wszystkie kąty w zależności od kąta alfa i ustalimy proporcje odcinków w zależności od odcinków a oraz b.
Kluczem jest dorysowanie wysokości CF w trójkącie CEB i zauważenie, że trójkąt BEF jest połową trójkąta równobocznego.
Ponieważ trójkąt równoboczny ma wszystkie kąty równe 60 stopni, więc możemy obliczyć miarę kąta alfa.
Z warunków zadania wynika, że alfa = |<ACD| = |<DCE| = |<ECB|
Trójkąt CDA jest przystający do trójkąta CDE na zasadzie przystawania trójkątów kbk (kąt bok kąt), gdyż: alfa = |<ACD| = |<DCE| Bok h = |CD| wspólny dla obu trójkątów Kąty CDA i CDE są proste (CD wysokość)
Z przystawania trójkątów CDA i CDE otrzymujemy: a = |DA| = |DE| b = |CA| = |CE| 90 stopni - alfa = |<DAC| = |<DEC|
Odcinek EB ma długość 2a, gdyż jest równy długości odcinka AE (CE jest środkową)
Dorysowując odcinek EF - wysokość w trójkącie BEC otrzymujemy, że trójkąty CEF i CED są przystające na zasadzie kbk (kąt bok kąt), gdyż: alfa = |<DCE| = |<ECB| Odcinek b = |CE| jest wspólny dla obu trójkątów 90 stopni - alfa = |<CED| = |<CEF|
Z przystawania trójkątów CEF i CED wynika, że a = |EF| gdyż odcinki naprzeciw równym kątów są równe w przystających trójkątach. W trójkącie CED naprzeciw kata alfa jest odcinek długości a, zatem, w trójkącie CEF naprzeciw kąta alfa jest również odcinek długości a.
Przedłużając odcinek EF o długość a otrzymujemy trójkąt FGB przystający do trójkąta FEB na zasadzie przystawania trójkątów bkb: |EF| = |FG| = a (odcinek EF został przedłużony o odcinek FG o długości a) 90 stopni = |<BFE| = |<BFG| Odcinek FB jest wspólny dla obu trójkątów
Z przystawania trójkątów FGB i FEB wynika, że odcinek |GB| = |EB| = 2a (obydwa odcinki leżą naprzeciw kąta 90 stopni). Zatem trójkąt GEB jest równoboczny - wszystkie boki mają długość 2a.
Zatem kąt GEB ma miarę ...
sir_matin