Zestaw zadań powtórzeniowych do egzaminu maturalnego z matematyki
PLANIMETRIA I GEOMETRIA ANALITYCZNA
Zadanie 1. Punkty A=(1,3) i B=(-3,6) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym ½AB½=½AC½. Podstawa BC trójkąta zawarta jest w prostej o równaniu x + y – 3 = 0. Wyznacz współrzędne wierzchołka C oraz oblicz pole trójkąta ABC. Wyznacz cos kąta CAB.
Zadanie 2. W trójkącie ABC dane są długości boków ½AB½= 2,½AC½=10 oraz cos ÐABC =
a) Oblicz odległość wierzchołka A od prostej BC.
b) Oblicz sumę długości promieni okręgu opisanego na trójkącie ABC i wpisanego w trójkąt ABC.
Zadanie 3. W trapezie równoramiennym ABCD ( ABççCD), w którym kąt ostry jest równy 450, przekątna AC o długości 2 tworzy z podstawą AB kąt 300.
a) Oblicz pole i obwód trapezu.
b) Wykaż, że długości promieni okręgów opisanych na trójkątach ABC i ACD są równe długości ramienia trapezu.
Zadanie 4. Dany jest trapez równoramienny ABCD o polu 5, w którym AB ççCD i ½AB½>½CD½. Trapez jest opisany na okręgu o promieniu 1.
a) Oblicz długości boków trapezu oraz długość jego przekątnej.
b) Oblicz długości promieni okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt ABC.
Zadanie 5. W trapezie równoramiennym ABCD dane są: ½BC½=½AD½= a, długość dłuższej podstawy ½AB½= 3a oraz miara kąta ostrego równa 300.
a) Oblicz długość przekątnej trapezu oraz wyznacz stosunek pola trójkąta BCD do pola trójkąta ABD.
b) Dla jakiej wartości a pole trapezu jest równe ?
Zadanie 6. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, gdzie ½AC½=½BC½=. Wysokość opuszczona na podstawę trójkąta jest równa odcinkowi łączącemu środek podstawy ze środkiem ramienia.
a) Oblicz różnicę między długością promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC a długością promienia okręgu wpisanego w dany trójkąt ABC.
b) Do okręgu wpisanego w trójkąt ABC poprowadzono styczną równoległą do podstawy, przecinającą ramiona trójkąta w punktach M i N. Znajdź długość odcinka MN.
Zadanie 7. W trójkącie równobocznym ABC o polu na boku BC obrano punkt M tak, że ½BM½=½MC½.
a) Oblicz sinus kąta MAB oraz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt MAB.
b) Jakie długości mają odcinki, na które symetralna odcinka AM dzieli bok AB?
Zadanie 8. W trójkącie ABC dane są długości boków: ½AB½=18, ½BC½=15, ½AC ½= 12.
Wyznacz długość środkowej trójkąta poprowadzonej z wierzchołka C oraz oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC do długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
Zadanie 9. Dany jest trójkąt ABC w którym: ½AC½= 8 cm, ½ÐBCA½=1200. Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równa długości boku AC.
Wyznacz długość środkowej trójkąta poprowadzonej z wierzchołka A oraz oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
Zadanie 10. W trapezie równoramiennym ABCD ( ABççCD ) kąty ostre mają miarę 300. Stosunek długości dłuższej podstawy do krótszej wynosi 5: 3. Przekątne trapezu tworzą z jego ramionami kąt 1350.
a) Oblicz pole i obwód trapezu jeżeli długość ramienia çBCç=2.
b) Wyznacz stosunek promienia okręgu opisanego na trójkącie ABD do promienia okręgu opisanego na trójkącie BCD.
Zadanie 11. Punkty B = (0,-6) i C = (4,1) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD. Środkiem podstawy CD trapezu jest punkt S = ( 3, ). Wyznacz współrzędne wierzchołków D i A oraz napisz równanie okręgu opisanego na tym trapezie.
Zadanie 12. W trójkącie ABC wysokość CD, której długość wynosi 12, dzieli podstawę AB na dwa odcinki o długościach 16 i 5.
a) Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
b) Przez środek okręgu opisanego na trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do odcinka AB. Oblicz pole powstałego trapezu.
Zadanie 13. W trapezie prostokątnym ABCD, gdzie AB ççCD, dane są: ôBDô=, ôCDô=, ÐDAB = 900, ÐABD = 300.
a) Oblicz pole trapezu ABCD oraz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt BDA
b) Wyznacz sumę kwadratów sinusów wszystkich kątów wewnętrznych trapezu ABCD.
Zadanie 14. W trójkącie ABC dane są długości boków: ôABô= 6, ôBCô= 2.
Przyjmując, że ôACô= wyznacz miarę kąta ABC oraz oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC do długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Oblicz sumę kwadratów sinusów kątów wewnętrznych trójkąta ABC.
Zadanie 15. Miara kąta ostrego w rombie wynosi 300, a promień okręgu wpisanego w ten romb ma długość 4. Oblicz pole rombu i długość jego przekątnych.
Zadanie 16. Dany jest trójkąt ABC, w którym długości boków są równe:ôBC½= 4,ôCAô= 8, ôABô=.
a) Wyznacz miarę kąta rozwartego w trójkącie ABC oraz oblicz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka tego kąta.
b) Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Zadanie 17. W trapezie równoramiennym dane są długości podstaw a i b ( a > b ) i kąt ostry a = 600. Środki sąsiednich boków danego trapezu połączono odcinkami. Oblicz pole czworokąta, którego bokami są te odcinki oraz wyznacz stosunek pola trapezu do pola powstałego czworokąta.
Zadanie 18. Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt BCA= 900 a kąt CAB jest dwa razy mniejszy od kąta CBA. Obwód okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi 2p. Prosta przechodząca przez wierzchołek C danego trójkąta tworzy z krótszą przyprostokątną kąt o mierze 300 i przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D.
a) Oblicz pole koła opisanego na danym trójkącie oraz wyznacz stosunek długości odcinka DB do długości odcinka DA.
b) Oblicz odległość punktu D od środka okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
Zadanie 19. W trójkącie ABC dane są współrzędne wierzchołków A i B, gdzie A = (-1,-1) i B = (7,1) oraz równanie symetralnej boku BC: x – 4y + 14 = 0. Wyznacz współrzędne wierzchołka C oraz wykaż, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Zadanie 20. Środkowe trójkąta prostokątnego poprowadzone z wierzchołków kątów ostrych mają długości 5 i . Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na nim. Oblicz długość środkowej trójkąta poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.
Zadanie 21. Promień koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest 2,5 razy większy od promienia koła wpisanego w ten trójkąt.
a) Wyznacz cosinusy kątów ostrych w tym trójkącie.
b) Określ w procentach, jaką część pola trójkąta ABC zajmuje koło wpisane w ten trójkąt.
Zadanie 22. Punkt A = (-2, -3) jest wierzchołkiem rombu, którego jeden bok zawiera się w prostej o równaniu x –2y – 4 = 0. Środkiem symetrii rombu jest punkt S = (1,1).
a) Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.
b) Napisz równanie okręgu wpisanego w ten romb.
Zadanie 23. Na okręgu o promieniu 6 opisano trapez prostokątny, którego dłuższa podstawa ma długość 24. Wyznacz pole trapezu oraz cosinus kąta rozwartego tego trapezu.
Zadanie 24. Znajdź współrzędne wierzchołków trójkąta, jeżeli boki trójkąta zawierają się w prostych o równaniach: x + 2y – 2 = 0, 2x – y – 4 = 0, x – y + 4 = 0.
a) Wykaż, że trójkąt jest prostokątny i napisz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.
b) Oblicz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola tego trójkąta.
Zadanie 25. Dane są punkty A = (4,0) i B = (8,2) oraz prosta l o równaniu x – y + 1 = 0.
a) Wyznacz współrzędne punktu P należącego do prostej l takiego, by suma kwadratów odległości punktu P od punktów A i B była najmniejsza.
b) Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie AOB, gdzie O to początek układu współrzędnych.
c) Sprawdź, czy punkt P należy do tego okręgu.
Zadanie 26. W trapezie ABCD dane są: ½AB½= 10 cm, ½BC½= 10 cm, ½ÐBAD½=½ÐADC½= i ½AC½ = . Wyznacz pole trapezu ABCD i wartość jednej z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego tego trapezu. Czy w ten trapez można wpisać okrąg? Czy można na nim opisać okrąg?
Zadanie 27. Prosta: x – 2y + 2 = 0 przecina okrąg: x2 + y2 – 6x – 16 = 0 w punktach A i B.
a) Oblicz długość cięciwy okręgu zawartej w danej prostej.
b) Oblicz pole trójkąta ABS, gdzie S jest środkiem danego okręgu.
Zadanie 28. Na kole o promieniu r = 2 opisano trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD i polu równym 20.
a) Oblicz długość przekątnej trapezu ABCD oraz pole koła opisanego na tym trapezie.
b) Wyznacz skalę podobieństwa trójkątów ABS i CDS, gdzie S jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD.
Zadanie 29. W trójkącie ABC dane są długości boków: ½AB½= 4, ½AC½= 6 i długość środkowej ½AA’½=.
a) Oblicz długość trzeciego boku trójkąta.
b) Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Zadanie 30. W trójkącie ABC dane są: ½AB½= 7, ½BC½+½AC½= 13 oraz iloczyn skalarny wektorów . Oblicz długości boków BC i AC oraz miarę kąta ACB.
Zadanie 31. Na kole opisano romb, którego jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 1500.
a) Oblicz stosunek pola rombu do pola koła.
b) Wiedząc, że pole rombu jest o 4 większe od pola koła oblicz długość boku rombu.
c) Zbadaj i uzasadnij, jaki ciąg tworzą: krótsza przekątna, bok i dłuższa przekątna rombu w podanej kolejności.
Zadanie 32. Punkty A = (-1,-2), B = (7,2) i C = (1,4) są kolejnymi wierzchołkami trapezu ABCD, w którym ½ÐCDA½=½ÐDAB½= 900. Wyznacz współrzędne wierzchołka D.
a) Oblicz pole trapezu ABCD oraz długość odcinka łączącego środki jego podstaw.
b) Wyznacz miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC.
1
jus.mucha