Granice ,ciągłość, pochodna - v.dla stud.pdf

(1424 KB) Pobierz
1
GRANICE FUNKCJI .
Przykład 1
Gdy argumenty funkcji   1
xf dążą do 2 z którejkolwiek strony, wówczas wartości funkcji
x
3
  1
xf przybliżają się nieograniczenie do liczby 7, tzn. mogą być dowolnie blisko liczby 7 .
x
3
Przykład 2.
Przykład 3.
797714453.043.png 797714453.044.png 797714453.045.png 797714453.046.png
 
2
DEFINICJA.
1. Sąsiedztwem o promieniu 0
r punktu R
o x nazywamy zbiór
def
 
o xS
,
r
o x
r
,
o x
o x
o x
r
.
,
[prawostronne] o promieniu 0
r punktu R
o x :
2. Sąsiedztwo lewostronne
def
 
def
o , , .
o xS ,
, 
r
o x
r
o x
xS o
r
x
x
r
o
def
3. Sąsiedztwem nazywamy zbiór   
, gdzie R
b .
S
,
b
def
S , gdzie R
4. Sąsiedztwem nazywamy zbiór    
a .
 ,
a
DEFINICJA. (granicy właściwej funkcji w punkcie).
Niech f będzie funkcją określoną na  
o xS . Mówimy, że liczba a jest granicą funkcji f dla
  a
lim , wtedy i tylko wtedy, gdy
f
x
x dążącego do o
x , co oznaczamy symbolem
xx o
 
a
f
x
a
.
 
0
0
x
x
,
x
x
,
x
o
o
o
o
Powyższe nie jest przypadkowe. Dobór wyjaśniamy poniżej.
797714453.001.png 797714453.002.png 797714453.003.png 797714453.004.png
3
1) Bierzemy 0
2) Kreślimy linie o rów- 3) Dobieramy tak, by
równaniach
ay fragmenty wykresu funkcji
ay .  
xf dla
x
S
o x
,
oraz
leżały
ay .
między prostymi
Jeżeli dla każdego 0
można dobrać opisane powyżej , to definicja zachodzi.
Definicja granicy jest dynamiczna, gdyż bierzemy pod uwagę nieskończenie wiele wartości
. Dla każdego takiego każe ona dobrać właściwe :
0
DEFINICJA (granicy niewłaściwej funkcji w punkcie). Niech funkcja f będzie określona
przynajmniej na sąsiedztwie  
o xS .
def
 
 
lim
f
x
x
o x
f
x
x
x
 
o 0
0
x
S
x
o
797714453.005.png 797714453.006.png 797714453.007.png 797714453.008.png 797714453.009.png 797714453.010.png 797714453.011.png
 
4
Obrazowo: funkcja f ma granicę niewłaściwą , gdy x dąży do o
x , jeżeli jej wartości są
x (i są od niego różne).
dowolnie duże, o ile tylko argumenty leżą dostatecznie blisko punktu o
x zastąpimy sąsiedztwo obustronne
o xS ,
r
Jeżeli w definicji granicy funkcji w punkcie o
r
r
o xS , lub prawostronne
o xS , , to otrzymamy definicje
przez sąsiedztwo lewostronne
x oraz
x .

tzw. granic jednostronnych. Rozpatrujemy także granice funkcji przy
r
DEFINICJA . Niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
o xS , , 0
r .
def
 
 
lim
f
x
a
a
f
x
a
x
x
0
0
x
x
,
x
o
o
o
DEFINICJA . Niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na  
S .
def
 
 
lim
f
x
x
f
x
 
x
0
R
x
S
797714453.012.png 797714453.013.png 797714453.014.png 797714453.015.png 797714453.016.png 797714453.017.png
5
Granice funkcji - przykłady
I. c
y , R
c
.
y 1 .
II.
x
y
8
6
4
2
y 1
x
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
1
1 ,
lim 0

, co symbolicznie zapisujemy

x
0
x
1
1 ,
lim 0
, co symbolicznie zapisujemy
x
0
x
1
1
1
1
gdzie 0
0 x .
lim 
lim
0
lim
,
,
 x
x x
x
0 x
x

x
o x
TWIERDZENIE
dla
a
0
a
dla
a
0
a
lim 0 a
0
lim 0 a
0
,
.
x
dla
x
dla
x
x
797714453.018.png 797714453.019.png 797714453.020.png 797714453.021.png 797714453.022.png 797714453.023.png 797714453.024.png 797714453.025.png 797714453.026.png 797714453.027.png 797714453.028.png 797714453.029.png 797714453.030.png 797714453.031.png 797714453.032.png 797714453.033.png 797714453.034.png 797714453.035.png 797714453.036.png 797714453.037.png 797714453.038.png 797714453.039.png 797714453.040.png 797714453.041.png 797714453.042.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin