Dwójnik równoległy RLC w obwodzie prądu sinusoidalnego
Dwójnik jest zasilany napięciem sinusoidalnym o wartości skutecznej U i częstotliwości f.
Wartość chwilowa napięcia jest wyrażona równaniem:
Przyjęto fazę początkową napięcia
W układach równoległych na wszystkich elementach występuje to samo napięcie możemy, więc wyznaczyć prądy płynące przez opornik, cewkę, oraz kondensator wykorzystując prawo Ohma dla wartości skutecznych napięcia i prądu.
(1)
(2)
(3)
(reaktancja indukcyjna), (pulsacja) (reaktancja pojemnościowa)
G – konduktancja
BL – susceptancja indukcyjna
BC – susceptancja pojemnościowa
Prąd płynący przez opornik jest w fazie z napięciem, więc
(4)
Prąd płynący przez cewkę opóźnia się względem napięcia o ,dlatego
(5)
Prąd płynący przez kondensator wyprzedza napięcie o .
(6)
W równaniach opisujących wartość chwilową prądów pojawiła się liczba , ponieważ wartość maksymalna prądu (amplituda) wynosi
Prąd całkowity dopływający do dwójnika możemy obliczyć z I prawa Kirchhoffa dla prądu zmiennego. Jest ono prawdziwe dla wartości chwilowych prądów.
więc
(7)
Dodawanie prądów sinusoidalnych zastąpimy dodawaniem wektorów odwzorowujących te prądy.
Rysujemy wykres wektorowy dla dwójnika równoległego RLC.
Z prostokątnego trójkąta prądów o bokach IR, IL, oraz IC-IL możemy obliczyć prąd całkowity I wykorzystując twierdzenie Pitagorasa.
(8)
Jeśli w miejsce prądów wstawimy iloczyny wyrażone wzorami (1), (2), oraz (3) to po kilku prostych przekształceniach można otrzymać następujące wyrażenie:
(9)
W równaniu tym:
(10)
jest admitancją dwójnika równoległego RLC
Jeśli przyjmiemy, że
= B (11)
gdzie B jest susceptancją dwójnika, wyrażenie (10) na admitancję dwójnika przyjmie postać
a równanie (9)
( prawo Ohma) (12)
Uwzględniając, że
(13)
prawo Ohma możemy też napisać w postaci
(14)
Przesunięcie fazowe możemy wyznaczyć z trójkąta prądów wykorzystując funkcję tangens.
(15)
Ze wzoru (15) wynika, że przesunięcie fazowe między napięciem a prądem w dwójniku może być
Jeśli , obwód ma charakter indukcyjny
Jeśli , obwód ma charakter pojemnościowy
Jeśli , obwód ma charakter rezystancyjny
Niżej przedstawiono wykresy wektorowe dla , oraz
Jeśli boki trójkąta prądów podzielimy przez napięcie U otrzymamy trójkąt podobny nazywany trójkątem admitancji.
Z tego trójkąta wynikają następujące zależności:
Zadanie
Do dwójnika równoległego RLC o rezystancji R=50Ω, indukcyjności L=0,318H, oraz pojemności C=79,6µF doprowadzono napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej U=230V, i częstotliwości f=50Hz. Obliczyć:
- impedancję dwójnika
- przesunięcie fazowe
- wartości skuteczne prądów
Napisać równanie opisujące wartość chwilową prądu całkowitego.
Dane:
R=50Ω L=0,318H C=79,6µF
U=230V f=50Hz
Obliczyć:
Z φ IR, IL, IC, I i
Rozwiązanie
Obliczamy reaktancję indukcyjną i pojemnościową
Obliczamy teraz konduktancję, susceptancję indukcyjną i pojemnościową
Możemy teraz policzyć ze wzoru (10) admitancję a następnie impedancję dwójnika
0,025S
Teraz wykorzystując prawo Ohma liczymy wartości skuteczne wszystkich prądów
Prąd całkowity można było również policzyć ze wzoru (8)
Przesunięcie fazowe dwójnika liczymy ze wzoru (15)
Aby napisać równanie na wartość chwilową prądu całkowitego musimy wyznaczyć jego fazę początkową. Należy przyjąć dowolną fazę początkową napięcia np. , gdyż nie jest podana a następnie ze wzoru na przesunięcie fazowe obliczyć fazę początkową prądu.
Równanie opisujące wartość chwilową prądu ma postać
więc gdzie
megaq33