Analiza częstotliwości drgań własnych powłoki mostu gruntowo stalowego przed zasypaniem.pdf

V Ogólnopolska Konferencja Mostowców – Konstrukcja i Wyposażenie Mostów

Wisła, 5-6 listopada 2008 r.

Damian BĘBEN 1

Zbigniew MAŃKO 2

ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH POWŁOKI

MOSTU GRUNTOWO-STALOWEGO PRZED ZASYPANIEM

W pracy przedstawiono analizę częstotliwości drgań własnych powłoki mostu gruntowo-stalowego wykonanej z blach

falistych przed zasypaniem jej gruntem. Częstotliwości własne oraz odpowiadające im postacie drgań własnych są

najistotniejszymi parametrami charakteryzującymi te konstrukcje podczas ich realizacji, których istota polega na

znacznym zróżnicowaniu sztywności poszczególnych elementów w stosunku do gruntu oraz w porównaniu do

tradycyjnych mostów stalowych.

1. Wstęp

Duża popularność oraz gwałtowny wzrost liczby budowanych mostów stalowo-gruntowych w

ostatniej dekadzie na całym świecie, przyczynia się do poszukiwań szczegółowych problemów i

zakresów ich analiz [1]. Polegają one na uwzględnieniu niekorzystnych warunków obciążenia i

wytrzymałości oraz na respektowaniu bezpieczeństwa tych obiektów, ale również na ekonomicznym

ich projektowaniu. Dość znaczne rozpiętości teoretyczne przęseł oraz pewna specyfika mostów

stalowo-gruntowych (np. z uwagi na dużą podatność elementów konstrukcyjnych, ustrój powłokowy,

przekrój falisty elementów, itp.) klasyfikują je do kategorii konstrukcji charakterystycznych, m.in. ze

względu na ich skomplikowane formy drgań.

Częstotliwości własne oraz odpowiadające im postacie drgań własnych są najistotniejszymi

parametrami charakteryzującymi te obiekty, których komplikacja polega na znacznym zróżnicowaniu

sztywności poszczególnych ich elementów w stosunku do gruntu oraz tradycyjnych mostów stalowych,

wktórychwystępują, np. dźwigary główne, elementy pomostu, warstwy podbudowy drogi lub układ

torowisko – podsypka w mostach kolejowych. Mosty stalowo-gruntowe mają na ogół wysokie wartości

drgań własnych i są wwększym stopniu narażone na dynamiczne obciążenie wywołane, np.

uderzeniami bocznymi szyn od pojazdów trakcyjnych bądź zasypywaniem gruntem podczas ich

budowy niż, np. typowe stalowe konstrukcje prętowe, belkowe lub nawet płytowe. Dlatego też, pojawia

się potrzeba prowadzenia obliczeń w zakresie analizy modalnej, stanowiącej istotny czynnik w

rozważaniach teoretycznych, obliczeniach projektowych, a przede wszystkim w trakcie eksploatacji

takich obiektów mostowych, co dzisiaj związane jest także z korelacją wielkości drgań w zależności od

etapu budowy takich mostów [5].

Prezentowany problem drgań własnych dotyczy mostu w Gimån (Szwecja), o średniej rozpiętości

teoretycznej przęsła jak na mosty drogowe budowane w Polsce czy Skandynawii, dla którego

przeprowadzono szczegółową analizę modalną konstrukcji powłoki w układzie przestrzennym.

Ustalono przede wszystkim wartości częstotliwości drgań własnych przy wykorzystaniu modelu 3 D ,w

zależności od sposobu zamodelowania (dyskretyzacji) przęsła, tj. traktując powłokę o połączeniach

poszczególnych elementów jako przegubowe, a pomiędzy powłoką i wzmocnieniami oraz ławą

fundamentową jako sztywne. Tak przyjęte rozwiązania modelu były podyktowane m.in. wnioskami

uzyskanymi na podstawie rezultatów otrzymanych z analizy statycznej i dynamicznej konstrukcji tego

mostu przeprowadzanej w zakresie nieliniowym [1] i badań doświadczalnych [2], [3], [6], [7], [8].

Istotne jest zwrócenie uwagi także na drgania powłoki, związane z etapem montażu powłoki

(bezpośrednio przed fazą zasypywania gruntem). Przedstawienie modelu obliczeniowego drgań

własnych powłoki mostu uwypukla warunki i przyczyny pojawienia się odpowiednich właściwości

Dr inż., Wydział Budownictwa Politechniki Opolskiej

Dr hab. inż.InstytutInżynierii Lądowej Politechniki Wrocławskiej

dynamicznych takich obiektów. Aby zbadać kompleksowo źródło energii dynamicznej należałoby

zarejestrować, np. w drodze pomiarów, zmiany prędkości drgań i amplitudy przyspieszeń

poszczególnych elementów konstrukcji takiego mostu. Ciekawą byłaby również analiza układu drgania

powłoki – wymuszenie warstwami gruntu (np. w czasie realizacji budowy mostu) prowadzona metodą

funkcji koherencji pozwalającą określić wpływ grubości (wysokości) wykonywanej zasypki wokół

powłoki na drgania całej konstrukcji, a tym samym na jej stateczność ogólną.

W pracy ograniczono się do porównania wybranych wartości częstotliwości i form własnych

powłoki mostu stalowo-gruntowego dla przyjętego typu modelu obliczeniowego 3 D wraz z podaniem

analizy zbieżności otrzymanych rozwiązań. Specyfiką rozwiązania przyjętego dla tego obiektu było

uwzględnienie w modelu obliczeniowym cienkościennej powłoki układu grunt – stal o właściwościach

podatnych. Analizowana powłoka podparta jest na ciągłych ławach fundamentowych, które

umieszczone są pod jej konstrukcją.

2. Opis konstrukcji powłoki mostu

Analizowany most drogowy w przekroju podłużnym stanowi ustrój statyczny złożony z

wyprofilowanych elementów blach falistych w postaci jednoprzęsłowej sztywno utwierdzonej w

ławach fundamentowych powłoki stalowej o rozpiętości teoretycznej przęsła L = 12,315 m. Powłoka

oparta jest za pomocą stalowych nierównoramiennych ceowników spoczywających na dwóch

żelbetowych ławach fundamentowych (rys. 1).

Zasadnicza powłoka mostu została wzmocniona w trzech miejscach, tj. w kluczu oraz w dwóch

narożach konstrukcji przy ławach fundamentowych od strony gruntu z obu jej stron, za pomocą

dodatkowych arkuszy blachy falistej, tzw. żeber. W kluczu wzmocnienie jest ciągłe na całej szerokości

powłoki, a w narożach w rozstawie co 380 mm. Dodatkowe żebra miały na celu zapewnienie większej

sztywności poprzecznej przęsła w przewidywanych niekorzystnych przekrojach powłoki. Ustrój nośny

WIDOK AKSONOMETRYCZNY

PROFIL BLACHY FALISTEJ

=7,10

RZUT Z GÓRY

= 380

TYP A

TYP B

1 14 3

Śruby 19x75 mm do połączenia

żeber narożazpowłoką

A8S

8S 7S

Naroże

Żebra

w narożu

7S U

Klucz

Żebra

w kluczu

11S

Klucz

10S

Żebra

wkluczu

11S

Klucz

Żebra

w narożu

Naroże

6S 8S

7S 8S

27 pierścieni @ 762 = 20574

Rys. 1. Schemat stalowej konstrukcji powłoki mostu gruntowo-stalowego w Gimån (Szwecja):

a) widok aksonometryczny i b) rzut z góry

Rys. 2. Widok z góry na zmontowaną powłokę

wykonaną ze stalowych blach falistych

wykonstruowano jako powłokę złożoną z arkuszy

stalowych blach falistych o grubości t = 7,10 mm i

wymiarach fal a × h = 380 × 140 mm,

połączonych między sobą na szerokości powłoki

przęsłazapomocąśrub sprężających, obsypaną

warstwami gruntu (o grubościach po około 0,20–

0,30 m) odpowiednio zagęszczonymi (według

skali Proctora Normalnego I D = 0,95 dla gruntu

bezpośrednio stykającego się z konstrukcją

stalową oraz I D = 0,98 dla pozostałej części

zasypki gruntowej), umożliwiającymi ułożenie

nawierzchni drogowej na podłożu z tłucznia.

Wysokość elementu blachy falistej wynosi h =140

mm. Szerokość powłoki mostu wynosi górą b g =

12,915 m, natomiast dołem b d = 20,574 m. W

planie obiekt usytuowany jest prostopadle w

stosunku do nurtu rzeki, a jego światło pionowe

wynosi h o = 3,555 m (rys. 2).

Most w Gimån, którego konstrukcję opisano szczegółowo m.in. w pracach [1], [7], [8], poddano

analizie modalnej za pomocą metody elementów skończonych (MES), uzyskującczęstotliwości i

postacie drgań własnych konstrukcji powłoki przed zasypaniem gruntem. Przeprowadzona

kompleksowa analiza modalna stanowi interesujący materiał odnośnie zachowania się tego typu

konstrukcji powłok zwłaszcza pod obciążeniem dynamicznym [3], [8].

3. Analiza drgań własnych

Podstawowym praktycznym problemem, który w pierwszej kolejności powinien być rozwiązany jest

ustalenie rodzaju i kolejności następujących po sobie drgań własnych, po to, aby wyeliminować lub

ograniczyć niepożądane i nieprzewidziane częstotliwości drgań w ostatecznej formie konstrukcyjnej

[12].

Metoda obliczeń drgań własnych oraz ich postaci dla modelu konstrukcji powłoki zwana jest analizą

modalną lub analizą form własnych. Postać macierzową dynamicznych równań różniczkowych w

metodzie elementów skończonych dla danej konstrukcji powłoki można zapisać w formie (1) [12]:

[ {} [ {} [ {}

({}

(1)

gdzie [ K ]i{ F }są globalnymi macierzami sztywności i sił, otrzymanymi przez odpowiednie dodawanie

współczynników sztywności elementów i sił występujących w tych elementach od znanych obciążeń

zewnętrznych, naprężeń początkowych itp., zaś [ M ] jest macierzą masy układu, [ C ] jest macierzą

tłumienia konstrukcji, a { U } – wektorem przemieszczeń węzłów poszczególnych elementów. W

przypadku drgań własnych układu, równanie (1) przybiera formę (2):

[ {} [ {} [ {} { 0

(2)

Kiedy do konstrukcji sprężystej, bez uwzględnienia tłumienia, wprowadzi się wstępne

przemieszczenia, osiąga ona wówczas pewną odkształconą postać,którabędzie nieustannie oscylowała

(drgała) w granicach identycznego stanu odkształconego, lecz o zmiennych amplitudach. Kształty drgań

noszą nazwę postaci modalnych, a odpowiadające im częstotliwości – drgań własnych.

W przypadku, gdy nie uwzględnia się tłumienia w konstrukcji sprężystej powłoki, i nie poddaje się

jej obciążeniu zewnętrznemu, będzie ona drgała swobodnie w postaci harmonicznej zdefiniowanej

przez równanie w postaci (3):

(

)

sin

(

)

(3)

–kątem fazowym, a φ odpowiadającą jej postacią modalną,w

której amplituda drgań ulega zmianom w zakresie niezmiennej formy odkształconej [4].

jest częstością kątową,zaś

wktórym

Po podstawieniu równania (3) do zredukowanego wyrażenia (2) otrzymuje się problem

standardowych wartości własnych lub tzw. problem wartości charakterystycznych, który w ujęciu MES

przyjmuje postać (4):

[] [ ] {} {}

−

(4)

,dla

których wyznacznik macierzy staje się zerem. Ponieważ wyznacznik ten jest rzędu n (przy wymiarze

macierzy n

Rozwiązanie powyższego równania jest możliwe tylko dla pewnych określonych wartości

n ), stąd istnieje na ogół n pierwiastków będących rzeczywistymi wartościami

2 .

Pierwiastki te określają drgania własne układu. Samo zagadnienie określania

nazywa się

wyznaczaniem wartości własnych i polega na rozwiązaniu równania (5):

det

[] [ ]

−

(5)

} n , którego składowe

zachowują stały wzajemny stosunek, lecz wartości każdej z nich mogą być dowolne. Wektory te

określają tzw. postacie drgań układu [11].

Jakwiadomo,drganiaciałasprężystego są funkcją sztywności na zginanie EJ ,jakrównież jego

masy M . Gdy wzrasta sztywność elementu, można ogólnie założyć, że amplituda drgań maleje, a

wzrasta jego częstotliwość. W przypadku drgań własnych, zależnych od sił bezwładności, jedyne siły

działające na ciało pochodzą od rozkładu jego masy. Swobodnie drgający ustrój powłoki zachowuje się

wtakiwłaśnie sposób dla jednej lub większej liczby jego drgań własnych [5].

Jeśli układ zmiennych sił zewnętrznych (np. pochodzący od pojazdu i warstw gruntowych)

przyłożony jest do konstrukcji, wówczas drga ona z częstotliwością odpowiadającą przyłożonej sile.

Kiedy drgania układu przyłożonych sił zbiegną się zjedną zczęstotliwości własnych konstrukcji

powłoki, wówczas zachodzi zjawisko rezonansu. W przypadku jego wystąpienia, drgania z określoną

amplitudą osiągają nieskończoną wartość w czasie, co może przyczynić się do zniszczenia konstrukcji

powłoki tego mostu.

W celu przeprowadzenia analizy modalnej, badanej pod względem podatności konstrukcji powłoki

mostu, wykorzystano metodę obliczeniową,opaą na iteracji podprzestrzennej, przy założonej

optymalnej wartości dla tolerancji zbieżności rozwiązania układu [9].

4. Model obliczeniowy powłoki i procedura rozwiązania

W celu przeprowadzenia parametrycznej analizy modalnej tego stalowo-gruntowego mostu

opracowano model obliczeniowy powłoki w układzie przestrzennym 3 D zachowującprzytym

oryginalną geometrię tej konstrukcji, dla których wykonano obliczenia. Przęsło dyskretyzowano

elementami powłokowymi o 6 stopniach swobody w każdym węźle. Równocześnie, każdemu

elementowi przypisano własności izotropowe. Modelując powłokę mostu elementami powłokowymi

przyjęto ich przekroje poprzeczne jako pryzmatyczne oraz symetryczne (rys. 3a). Założono, że

wszystkie połączenia pomiędzy elementami są przegubowe, a połączenia powłoki z ławą

fundamentową uznano za sztywne (rys. 3b).

W rozpatrywanych modelach obliczeniowych wprowadzono takżemimośrodowe połączenia między

elementami blach na stykach (zakładki). W obliczeniach numerycznych przyjęto dla konstrukcji

stalowej: moduł Younga E= 205,05 GPa, współczynnik Poissona ν = 0,30, gęstość materiału 7,85

Mg/m 3 , natomiast dla gruntu: E =28,5GPaoraz v = 0,17. Analizę drgań własnych konstrukcji powłoki

mostu przeprowadzono w zakresie liniowym.

Model obliczeniowy składał się znastępujących zadanych parametrów sterujących:

•

48960 elementów powłokowych,

•

49489 węzłów,

W dziedzinie drgań mechanicznych pierwiastki rozwiązania powyższego równania są rzeczywiste.

Każda wartość własna (częstotliwość) spełniająca równanie (5) określa wektor {

W celu przeprowadzenia analizy modalnej w zakresie ustalenia częstotliwości oraz form modalnych

(drgań własnych) dla badanej stalowej powłoki mostu posłużono się pakietem opartym na MES o

nazwie COSMOS ,umożliwiającym rozwiązywanie wybranych zagadnień ze statyki i dynamiki

konstrukcji w zakresie liniowym i nieliniowym. Dzięki jego zastosowaniu można było uzyskać wiel-

kości przemieszczeń dla każdego węzła modelu oraz wartości częstotliwości f iczęstości kątowych

Rys. 3. Przyjęty dyskretny model przestrzenny 3 D zastosowany do numerycznej analizy przęsła mostu: a) widok ogólny, b)

widok na siatkę dyskretyzacyjną oraz szczegół zamodelowania podparcia powłoki na fundamencie

292026 stopni swobody.

Zastosowane parametry obliczeniowe to:

•

liczba obliczonych częstotliwości drgań własnych modeli – 50,

•

maksymalna założona liczba iteracji – 100,

•

narzucona tolerancja obliczeń – 1,0

10 –5 ,

•

założona tolerancja zbieżności rozwiązania – 0,1×10 –04 ,

•

częściowe usztywnienie połączeń konstrukcji powłoki (założono dodatkowe usztywnienie

układu typu soft spring –1×10 –6 ),

•

maksymalna liczba iteracji przy założonej tolerancji zbieżności rozwiązania – 51,

założono masy skupione w elementach skończonych.

Przyjęto, że model obliczeniowy stalowo-gruntowego mostu drogowego został obciążony ciężarem

własnym z zastosowaniem średniej wielkości przyśpieszenia ziemskiego ( g = 9,81 m/s 2 ). W celu

rozwiązania problemu wartości własnych konstrukcji powłoki oraz aby umożliwić analizę obszernych

zadań numerycznych (jak w przypadku tego mostu) wykorzystano metodę iteracji podprzestrzennych

[11], [12]. W przypadku modeli przestrzennych zastosowano 50 iteracji, chociaż, jak wynika z

przeprowadzonych analiz innych podobnych konstrukcji, już po 4 iteracjach otrzymane wyniki wartości

własnych były wystarczająco zbieżne z przyjętą tolerancją rozwiązania, ustaloną na poziomie 1,0

•

10 –5 .

5. Wyniki obliczeń drgań własnych oraz ich analiza

W wyniku przeprowadzonej analizy modalnej dla modelu dyskretnego typu 3 D uzyskano

charakterystyki dla wybranych 50 pierwszych postaci własnych. Zestawienie wartości częstotliwości

drgań własnych, częstości kątowych i okresu drgań dla poszczególnych postaci (form) drgań (od1do

50) dla modelu obliczeniowego powłoki stalowej podano w tabeli 1.

Na rysunku 4 przedstawiono osiem pierwszych postaci drgań własnych oraz odpowiadających im

charakterystyk własnych, natomiast kolejne postacie zawarto w pracy [1].

Analiza otrzymanych wyników pozwala na wyciągnięcie zasadniczego wniosku, żepierwsze

częstotliwości drgań własnych (rys. 4) mają charakter giętny oraz giętno-skrętny w całej konstrukcji

powłoki.

Na ogół, w praktyce inżynierskiej w mostach, klasycznie przyjętym postępowaniem w analizie

dynamicznej jest rozważanie tylko kilku pierwszych postaci własnych, głównie po to, aby zredukować

czas obliczeń. W konstrukcjach mostów stalowo-gruntowych jednak, wysokie stosunkowo wartości

drgań własnych mogą występować bezpośrednio obok siebie, a tzw. współczynnik udziału, czyli

odpowiedź powłoki mostu na określony kierunek wzbudzania, możebyć znaczący dla wyższych form

własnych badanego ustroju [3]. Dlatego zdecydowano się na przyjęcie w analizie 50 pierwszych

częstotliwości drgań własnych, jednakże wnikliwszej uwadze poświęcono tylko 16 pierwszym

postaciom własnym w przyjętym modelu (rys. 4).

Jednak, aby zapewnić przejrzystość oraz skondensowaną formę prezentowanych wyników,

zdecydowano się na analizę porównawczą kolejno następujących po sobie (tzn. sąsiadujących ze sobą)

częstotliwości drgań (tabela 1) oraz kilkunastu wybranych postaci własnych modelu obliczeniowego

powłoki mostu (rys. 4).

•

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: