matematyka - zadania z wektorow i plaszczyzn.pdf - Matematyka wyższa - migottkaa

~ ..

~ -,

•.. .r

~ . ""

••

1 196• Przez punkt P p'oprowadZić proet, r6wno~gl, do pł"O-':

.teJ i ,.

o" o"

~ ~

.Jl 1!

•..

x ~'l-t Y:2t~ z":::

!197. P,zoz punkt p poprowedZ1ć pro.t. p•.•••t_d~'

1::

~ ~

. :J.c

00/.\

...,.

~ :.

· ·

'h~

-:-

:Jl ~

:::

· !

do p.•.••.•

o.l

""H

stej 1. 1 pol1ad_jł!Cf :z:n1, punkt trOp6lnv .J

-t ~ ..•

-e

ol P(2,-5,3)

1'~'

" ~

" ~;

g.,

~"ę"

•..

...

p (0,-17,-5),

.•..

.1.t: pro. t, l dan•• postaci kr_tddOWllJ

t 19B. prz.dau ••.

af!

· ·

poatec;1 par •• otrycznej ,

t zx- y+2%-

~ I./l

2-D,

•..

j .

{2.x"

'/ .• 32: -: ~ •• O

~ 1!.

" .

x • By - 6. - 12 " O

',,/':.

!-210. ~l;.o~~ Ac,t. Jaki. two"zy pro.t~ l z pbI.EC~"...

~i;·l.• { ·3x .•. ~ .• 2: • o. 'Ir. 2x .• V .• :r: .•••• O .'

. :",

.~..

y-l.

O ,

-, -,

b/'ll x.e. Y.-l •• t

'itI ~ ~x -.7y. - 4Z •. 7 ",lO O

! 211. Zn8lat6 rzut pro. teJ l ne pAazczyzn, 1[. I

z •• 3t

rr o

... :t

!;'

....• '

~ ~

-U

, o-

r !" ~

!"~

;. . it

~:;

!i !:

i b/ ls X" 3 .• Bt

l ']r. Z·o.

I .' .

J U2. zn.l.~~ równ.nie pleezcz:yzny p,.nchodqcej przez p~ % :l

y • 4 + et

.z: • 6 • 8t

. -e

, -c

•. a~ Ilt ~

:: g

. ' .

~ ..• o ~ ~

eta '.r6wnoleg1:. 1 1 1 12' .

. t.łl

a' 1 1, . x lO 3+t. y •• 1ft , % '. -1 _ 2t .'~ fi

1 2' X" -Sw t y •• -1+", • z •• -211 • [ !ł

bl li' !;! .. ł ..~ . lz: ę .-Xj1. ł . :.

2i3. lhaleźć róWnanie plNxc:zyzny. na:kt6reJ ht, pro.tu ~! ..••

.n :t

~l!.

. H

N !i

.. ·

.•.

216. ol P ( 5,.,-2);

1- .ł ;

0uq"

bl (8,4,5),

x • 2y ~ 3.z: - 3O'~~'O ,-

--------~.

167.

9X-Y+7z-40 ' •• o

17t •• " -'1/7.

168 •

" 17•• 'al ,.:+2z-4 • O :

• o: ol 2x+y-z-i-o.

2x+3y+4z.-3 • o ~

- -b);:,'

4lf9 a.) ł(j, t69. ol X-2y•.•~-8o(l, bl x-yno(l '"

j tra q/j' <8/, (6 )fS'i.c.)"i~~' rr

:215 •• 1 P 1(3.3·,3) 211.a~~-:t+o7; 2-;.." b) ~"'1)'

cI 2x-y•• -6 " O.

Jt;~.

;

196.

1117 ol ~"

x-2

" ~ 'j'

bl P (3 1 1)

• t)~<~,;ooJ!=O .::r.J~'

_. -» ••~~ 2.

)

«:

-ŻrÓn

,~'

1 ,-,

r.~'7;

! .

b/ X. -ee ,

y " -17+8t,

.• " -6.t " ( 202. ol f22; bl 7:

203.

-/ 7

b/.S.x "Sy+z-11

21a •• /4x-y-7z+9-oJ

• 0. </ ~2..1..

b.l t:'L MK, t1ł.' ,,_:~'1tt '

•• ~

•

204. './13:

770. "Znaleźć rzut prostej I:

x y-l z+[.

2=-=1=:2

738. Znalefć nut pllllktiJ.A(I, -2,1) nil p~

(d{·.1, O) i

x+1 =!.:!:! ..• %-2.

-I

na. płaszczyznęa: x+y+z~o.

739. Żnaidć punkt B symetryo:mydo punktu ·.A{2, -I, 3) wzgl~.,;,1

'771.~aJcźć rzut prostej

('t,'-J, ':> J

promj ,. ••31;,=51-7; %.-21+2.

.)1

x~3 v-4 =-6

0..\ ...

740. Zna1d6 .punkt aymcIryczny do puaIctUA(4"3,IO) wzgl;dcm'j'

~=6=T

prostej

. x-I Ly-2 ..:z.-3. [e, '3 t' J

na płaszczyznę xOy.

. .

~ l

m. Znalefć rzut prostej

11.:p

. 2

x~3; y+ l =-4 '~I!.

! .,'

Sb l

741. Przez punkt przebicia plas=yzny ,,+y-z •• 1 prostą.

.. '$.::1....,. ~ 4+~· na płaszczyznę2x-2,+3~-5:",0. __ .__

=['".

I: %-0"",,0,

'-,c-)}, -I to ~.,..~.:::.O

poprowadzić prostą l, przecinającą oś Oz pod kątem~l<. Ą.

. ~ , .

f),'

t-34""5" ~ .~- "-1

.. 74 Znalefć rzutpunktu.A(2, 3, -6) na płaszczyzn~x+2y+%+4-0: (~~{

-t,1(' -~

1, ..

. 743. z.na!d.ć punkt B sylDCtryaDIdo punktu' A(S, 2, -I) wzgIędcmJ 787. Wyznaczyć równanie pI"'Fny

"5,6 1 -/'}1

«» )

..\

przechodzącej przez. punkt,!

płuzczyzny 2>:-,+3z+23-0.

,1(0,1,1), rzutpunktu B(O,I,S) na prostą .

~7<-t)* o,a

744. ZnaIefć odle8/ość punktu 2, -I., l} od prostej,

x-I y_I z-I

3·r~tlz..L,~o

1=-=1='2'

r '7:'

. .

T=i=-=r

rr:

'i.-

p. . .

i . i oddaloną od początku układu o d.~lIv 14..

.7.as. Znalefć odleglołć punktu A~I, -I, -2) odpreste] 181. Przez nut punktu ,1(2, -1,1) na P[()Stą,

x+3 y+2 %-8 : 'C-%. J . x' y-l 'z

T=T"'~' r J l,: 1-"=l=2

7~ Znaleź;jod1eglołć.mi~ nasts;pującymipro.!ym.irównoIeglymi: '1 poprowadzić.prostą prostopadłą do pr';tcj .f, i przecin.iJ\cą prostą

. x:"1 y-3 z+1

"y.·t

--r.v;-

f?,

'. I . x-f-z+2~O

. ..i.-:-i-·_ J

l,: .---=2-3' I,: ----.,-.

v-=~~ .:!2.... ?- ~

a- "x-2y+4=O.

4 -2 3 '. t,~

":J

-1

'l--'- r

.'7~,. Zna1efó równania dwusiecznych kątów mi~ prostymi .

l,: "'-1.,+1=,:"

I,: ic-I_,+I_.:.,

~W".i ,

2 .,.2 ,. I

2 2

O -1

l :; Pp(~~:~~~~),'

I bl'

t 3x .• 2y •. 6z.. 1 •• O

- .•.

"'...44.')'

x-3

. .

x-ł-I y-I z

__ •._..,.~_" _- __ 00 o

.: 165; .f~r..o•• punkty A(1•-5,4) i a!-.,3;'). !'Mpl"ć"

.r~n.nl. p!.,,~;::Z'~.)o'r,'f pM!G-chcdąccj pt"":ez po.;.nkł A

p"rottop.dl_J do t1i)$:tora

;:s~

166. Na~1•.• ~ rÓlflUlnlo p~•• zczVzny r6Ifnol&g'ł., "0 oeJ. Ox

1 prz.ChDdqcej pM!.z pUnkty AC2 •.c.6)

1 8(0,1,.3).

"er rzut wektora ADn. kierunek boku Tliwiedząc: 1< D jest-środkiem !: ,[ 1,-\t]

~~E ~

179, Dao~są;trzyp~ty~{2,-I,2).B(I,2,-I);C(3,2,1}.ZnaleŹĆ (6 ~ eJ

wspólrzl!dne wektora AB, x AC. ,- I

180. Dane są wektory: _ - [3. - l, - 21. b - [I, 2, -'1]. ZnaId:ó współ- ( .f O t f '<]

rzędne wektora (;20+lt)xb.

nut wektora -=oP, I, -I) na oś o kierunku. wektora[~ 1 .1..]

,c..'

l tf

167 •. ~.~c:':l.~ "'~~,ld Pl •• ~~y, pn:~OcsLfc.3 pn:.z

p,:",kty 0:-Ą(2;~1!'3.>, 8(3.1,2) 1orĆWlOagł:ęJ odo -...

ktoro '~", [..3 •• ,:'J,~ ',' .- '

168. ~i.~.Ćo~Ó"~"10 P~~~~zYŻnY p.rz:ee~dz.o~J przez ~on.•

kty , ~O;~,'l ~', 8, (~';O;lJ ,i proo<opodł~j.do '';b~

azczyzny' o x • y _" z ,. Q~ . o

""rftU,)Dane są trzy punkty A(I,I,I), B(2,-3,2) i C(-I,2,-I}.

181.Dane są wektory _-[1,2,3). b~[2, -3. J), e=[-3.1,2].l.1- -t't ~J

Obliczyć _ X (b X c).

J I

• 1

A'C":.O,1) .-

p foo~O~O) •

iqi;~i;21.

8 (0;0;2:) •

Q '(-1;0.1);

oN ("2 •. 1.2)"~

c (2;.;2) ,

,Ii(2.'.~') ,

O (1.1.~)

(er)

' ,-r-

;

Jl82. Obliczyć sinus kąta zawartego między wektorami .=[0,1, -l]

,170. Dl. J~k'1C.h~rt~6cl pa~~t;-o~~

.• ic ..,: '3yo ,+ ',~bo:i-o'; 8: .:~ • '

". J. b . pł •• Żc~my"

'bJe + Y _o -4z .• .4 o. ~O'

i b=[2, I, I).

'ł..

••~ol",ł.,.

l' 133. Znaleźć tangens kąta zawartego

,.'.12, - I, O].,

1-71', .ut c

_x + y .• 3% .~ 1 .~ '0 0

.żł;jean1. p,""°t~.d1e'-

płlr";lIIetru a

°płp'szc2yżn"v.

!7i. - 2"'1 - z • O

.,'

(.. 184. Obli':YĆ pole równolegIoboku zbudowanego na we~o[1lch 'i łr.}

,_31+21+1< • b=I-I+2k·

t ·w. Obliczyć pole trój!<llta o wi=holkach A(3,4, -3), B(6.2.3)l~,J,

-1,5).

. .• _i .••••••• A( 3 I l) B(6 2 S)"

17.9. ZnaU1ć odleglo4ć punkt D p od, pl •• 2;.czyzny 1T ,

.,. 116. Dane 54 wierzchołki uuJ~ - •• -, ,- ,- • lin - /..-

, I. -2,'-1). ObliczyĆ długoŚĆ,wYsokości opuw:zonej z wierzchołlta!1P' - 1/

'.;,~:.!' A(2.'I,-I).B(4,2. 1)

ol 'p (-1.2.S').

71,

x + 2y - 5z + l' o

i C(~.3)

SIl Wie!2ChOlltamic.~/-!f,-!Y}

bl P(S,1.-1).

'K,

x_2y._2Z+

4.0

S ~ J

~'<' oleg1o~ku. Znaleźć wektor wysokości CK togo równolegloboku

.1.

l r I'

r~t21flttt.

f!iiiois= ol1<ł na bok AD.

!: • ,'1-71. u....J-e..t. t j-.,.;I~

I -.

. A.I ,/

•..

pI.O.}U?..)U1.)

~')88. Zoaleić wektor jednOstkowY m prostopadły do wektorów: 0-

fii(~-I,l]ib=[I,2,-I).

(

.:' ..., I., .1/: I [-1/-J/5j _ny

-",,-

- .I.

"".kt p • r6wnologloj do pl ••• ze~ «,

x ,

"5". "''Olf:ov,c.- r _

~tl,

I ć)/jf..t.,.lt.Q'f. 'ta.; Qfr~1..~

ol P(-1,6.7),

",,-y.Sz-1'O

•• ~ ~

bl pc a,2.-2/ •

'Jf ,

• - 2y - 3•• O

""'.y. z-2.0

,\(1.2,3),

8(4,"6),

C(-1,3.2),

cI P(0;2.'}.

'}f",

J\ (l,o,e),

B (7.3.4).

C (4,5,-2).

174. :rn.I..16 "ÓllMnl. PU8Uzyuty

~"1::.ched7.\.eI'lJ

(:1'"<.":..",

pu.-.kt p 1 proBtop.dlej

do pb!lzcr/;:~'(.1T' l ' 1T ~.-

Ba. l10zyt dlugo,t iloczynu •••ktorowego wektOrcSl1I'l

al p C 2.-1.1), 1!1

ł 2x .• Ż + '1 • O f

ł y-a;

x .• 2y + 11:" -4 • O •

ol O' [1"2.2].

•. _ (l,~.8J,

bl p (- •• -l.Z).

""'1'

-. r 0,-5.3 J.

\Se. lnłI1e~ .-.ktor j.&ao.tkowy, x pł"O.tapedły do ••• kto-

. _ O' [1.2.-1] 1 b. [2,-1.1] •

{fi- "Ot.llC~ oa.3fto'~ o••••roMl •••• %bvd_o na •• ~

roch .-(

o • [ s , 2.0),

'Jf 2'

' • • 2y'- Zz • ~ • O

180. ObUczyć octl."ło,U .19(i%y pb-.zez.y~ • .1 ,

1&x .• 15y + 121 _ 26 • O :1 3!)J: - 32y + 2Az .•. 7:i • 3. 1

s ,o •• J. b'[-l

181. Obl1ezyt ocn.gla.6 wntt'u

P ( 4,3,0 ) -od plauczyzny

•••• [. C.[2 ••• 0J

przechodzIee" przez punkty

A (1.3,0).

e(3.0.1}.

ohodQoyoh z ,ednego punktu.

r:r;l Wyk.Z8~, ;te _ktary

C('.-1.2) •

b: -;; ~

-;,

koapIaMl",e.

Wyzna-

cryć l1ftJ.owt ulatno'ć

.:1tdzy 1.,.1 •• ktor •• 11

al ••• [2._3"'].

b- [-•. 3.2] •••.•• [-3.12 •• ],

b/,a-[.;"~]..'

b'. [ s,-2.0J. c-.r3.-3.~J.

159.

! .

<r "

-o

f1łX ć (ak)('). ,ry" 2. Sl,~=[l, -I,3H<=[-2.2, lJ.

: 193. Sprawdzić czy wektory __ [3, -2 ,l 'b-

,-13, -l, -2).ą komplanarne. • l., -[2, l, 2J 'c~

: 194, Wykazać, U punkty A(l 2 '

li D(2.1~) l~ w jednej plaszczy:!~ie: -I), B(O, 1,5), C(-l.l, l)

; ~ any Jest czworościan o wierzchełka h" '

:A(, ,O); B(2, S,.o) i C(t, 2.4). ObHczyć .' c ";..puoJctacn 0(0, O, O), V -:.I{~

fP"pr,owadzoną z wierzchołka O.

f--~

f.': " 192. ane są trzy wektor a=[3 -

~I --.ł:!

'1 ~(,

~! Pl

(-f)

lY~

...,.

Jego o ~~tość oraz wYSOkość

l\'::'~'("

.c.-

Dany .jest czworościan o . h' lita

;.B(l, ,1), C(J,I, 7) i D(3,4,9).W~6:~

_ch ,w punktach A(3,I,I),

',JlQprowadzolillz, wierzchołka D.

Jego obJ~tość oraz wysokość (I,:". J i

k~J7;

PQpi. •• ć r6tman1illl proetej prx.c:hodZ4cej przaz punkt p

1 równoległej do •••ktora •• ,

pC 2,~.,.)•

-: - [3,2._2}:

bl P( ••3.0).

-:,' [-1 ••;.].

I .;~akźć

'~I).

~C(O'

,'"

matematyka - zadania z wektorow i plaszczyzn.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: