INFLAC1.DOC

INFLACYJNA FAZA EKSPANSJI WSZECHŚWIATA.

I. TRUDNOŚCI MODELI FRIEDMANNOWSKICH.

Wszystkie rozwiązania kosmologiczne Friedmanna posiadają osobliwość matematyczną w punkcie t=0 [R(t=0) = 0]. Wprawdzie rozumiemy już obecnie, że w kosmologii bazującej na OTW ostateczną granicą stosowalności jest tzw. skala planckowska:

                                                      (1)

jednak nawet startowanie z rozwiązaniami Friedmanna od chwili t = tp  powoduje pewne kłopoty. Omówimy tu najważniejsze z nich.

1. Problem horyzontu.

   W rozdziale „Horyzont kosmologiczny” zdefiniowany został tzw. horyzont cząstek jako obszar (zbiór) zdarzeń, które mogą być przyczynowo powiązane. (W obszarze takim może się np. wyrównywać temperatura) W szczególności dla modelu wszechświata „płaskiego” rozmiar horyzontu zwiększa się liniowo z czasem jak natomiast  wzajemne odległości narastają z czasem jak a więc wolniej. Zasięg horyzontu wokół wybranego punktu - pomimo ekspansji - obejmuje stopniowo coraz większy obszar.

Rozważmy dla pewnej - bardzo wczesnej - chwili ‘t1’ pewien spory obszar wszechświata o objętości . W tej samej chwili ‘t1’ objętość dowolnego obszaru przyczynowo powiązanego - czyli objętość wewnątrz horyzontu wynosi . Wielkość:

                             .                         (2)

określa, ile takich przyczynowo rozłącznych obszarów mieści się w objętości V(t1).

Ponieważ jednak (patrz formuła (7) w rozdziale „Horyzont kosmologiczny”) to ilość  rozłącznych obszarów N(t) w objętości V(t) maleje nam w czasie jak . Czyli, dzisiejszy obszar dostępnego naszym obserwacjom horyzontu składał się kiedyś (np. w erze dominacji promieniowania lub jeszcze dawniej) z wielu przyczynowo rozłącznych podobszarów. Zastanawiająca jest więc w tej sytuacji tak duża jednorodność temperaturowa promieniowania reliktowego obserwowana obecnie. W jaki sposób wyrównały się temperatury (i to z dokładnością do 0.001 K) w obszarach, które kiedyś były przyczynowo rozłączne. Trudno bowiem uwierzyć w samoistną jednorodność tej temperatury i brak jakichkolwiek większych fluktuacji w całym wczesnym wszechświecie. I tu właśnie pewną propozycją staje się koncepcja „inflacyjnej fazy ekspansji” , w czasie której tempo ekspansji R(t) było dużo większe (np. eksponencjalne) i przewyższało rozprzestrzenianie się obszarów horyzontu RH(t) . Wówczas, to co dziś obserwujemy jako nasz horyzont kosmologiczny pochodziłoby z „inflacyjnego” rozdęcia jednego z wielu dawnych niewielkich obszarów przyczynowo powiązanych.

2. Problem płaskości wszechświata.

Podstawowym parametrem, który decyduje o zachowaniu się funkcji R(t) w rozwiązaniach kosmologicznych Friedmanna, jest średnia gęstość materii we wszechświecie. Jak wiemy, istnieje tzw. gęstość krytyczna , dla której otrzymuje się model „płaski”. Wprowadza się też pomocnicze oznaczenie jako parametr charakteryzujący typ modelu kosmologicznego.

Obecna dokładność danych obserwacyjnych pozwala określić dopuszczalny zakres tego parametru jako . Ten pozornie szeroki  przedział obecnej niepewności oznacza jednak, że już pod koniec ery dominacji promieniowania parametr ten musiał być określony z dokładnością ułamka promila. Napiszmy raz jeszcze nasze równanie kosmologiczne  w postaci:

                                                                            (3)

Pomnożymy je stronami przez i podstawiając definicję gęstości krytycznej rc oraz parametr W możemy je przekształcić do formuły

                                                                                             (4)

gdzie stała . Jednocześnie wiemy, że oraz Ro =R(1+z). Stąd . (Indeks ‘o’ odnosi się jak zwykle do chwili obecnej oraz z=0 ). Możemy więc dla naszego równania napisać

                                                                                        (5a)

oraz

                                              (5b)

To zaś w prosty sposób przekształcimy do postaci

                                                                                         (6)

Łatwo policzyć, że nawet jeśli obecnie parametr Wo znany byłby z niepewnością  rzędu to dla ery promienistej, gdy z=104 mamy natomiast  w pobliżu chwili t = tp=10-44 s. parametr ten musiał być określony z fantastyczną wręcz dokładnością . Gdyby dopasowanie to było trochę mniejsze, np. to albo mielibyśmy hipersferyczny model wszechświata o czasie trwania swojego cyklu poniżej 1 mld. lat lub też model hiperboliczny ekspandujący zbyt szybko aby mogły uformować się galaktyki. Natomiast zaproponowana inflacyjna faza ekspansji wczesnego wszechświata jest w stanie usprawiedliwić to niezwykłe wręcz „spłaszczenie” globalnej geometrii przestrzeni.

3. Problem warunków początkowych wszechświata.

Obserwowalny obecnie obszar wszechświata jest rzędu kilkunastu mld. lat świetlnych czyli i ma temperaturę . Jak wiadomo (patrz formuła (5) w rozdz. „era dominacji promieniowania”) przy adiabatycznej ekspansji zachodzi związek R(t)T(t)=const czyli RoTo = R1T1 . W pobliżu warunków planckowskich, gdy T1=Tp=1032 K  otrzymamy z powyższego związku zamiast spodziewanego rozmiaru planckowskiego lp ~ 10-33 cm . Jeśli natomiast wystartujemy z warunków planckowskich jako warunków początkowych w rozwiązaniach Friedmanna to otrzymamy w rezultacie hipersferyczny model wszechświata o czasie trwania cyklu rzędu tp ~ 10-44 s. Widać więc wyraźnie, że parametry planckowskie (1)  nie mogą być warunkami początkowymi rozwiązań kosmologicznych, gdyż prowadzą do rezultatów sprzecznych z obecnymi danymi obserwacyjnymi. 

Stare idee w nowej sytuacji.

    Opisane powyżej kłopoty modeli Friedmanna stały się inspiracją dla pomysłu zaistnienia na początku Wielkiego Wybuchu fazy krótkotrwałej lecz bardzo gwałtownej ekspansji - tzw. „inflacji” (główni twórcy tej idei to A. Guth i A. Linde). Powrócono tu do dwóch starych koncepcji - do rozwiązania de Sittera (tzw. pusty i ekspandujący świat) oraz do rozwiązań ze stałą kosmologiczną (patrz rozdział: „Problem stałej kosmologicznej”), - wśród których istnieją rozwiązania z bardzo szybką (eksponencjalną) ekspansją. Koncepcje te znalazły się teraz w nowym kontekście, uzupełnione wiedzą z zakresu teorii pola.

W rozdz. „Problem stałej kosmologicznej”  mieliśmy równania kosmologiczne:

                                          (7)

                               (8)

z których przy k=0, p=r=0 oraz L>0 otrzymuje się rozwiązanie :

                                                                 (9)

W tym przypadku parametr Hubble’a .

Dla modeli z rozwiązania te mają odpowiednio postać:

                                                 (10)

We wspominanym rozdziale otrzymaliśmy też związek:

                                       (11)

gdzie: .Jednocześnie różniczkując r-nie (7) po czasie i wstawiając otrzymane  do r-nia (8) dostaniemy po uporządkowaniu:

                                                                       (12) 

W rozwiązaniu de Sittera było r=p=0 a stąd (rc2 +p)=0 (tzw. warunek zachowawczy.).

Zauważono jednak, że formalnie można przyjąć ogólniejszy warunek: r = const, p=const. Wówczas cała prawa strona równań (7) i (8) to stałe a ich rozwiązania nadal są typu de Sittera (9) i (10) , tylko stałe pod pierwiastkiem zamiast będą teraz Ponadto przyjęcie r = const oznacza, że z warunku  (rc2 +p)=0 otrzyma się osobliwe dość równanie stanu:

                                                                                                 (13)

dopuszczające ujemne ciśnienie.

Warunek ten wstawiony do (11) da nam w rezultacie

                                                         (14) 

Rozwiązania tego równania (spełniające też r-nie 7) są:

                                                      (15)

gdzie Ro = c/H zaś  . Zauważmy, że dla Ht>>1 mamy a więc wszystkie trzy rozwiązania stają się podobne. Różnica jest natomiast w pobliżu t=0, gdzie exp(Ht) oraz cosh(Ht) ---> 1 zaś

sinh(Ht)--->0 .

Okazuje się, że interwał czasoprzestrzenny przy ekspansji opisanej równaniami (15) ma postać:

            ...