Wyk45.pdf
(
420 KB
)
Pobierz
MECHANIKA KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICH
Temat: ELEMENTY DYNAMIKI. OPIS RUCHU.
Drganiami układów konstrukcyjnych nazywamy zjawisko, w
którym położenie dowolnych punktów znajdujących się na
powierzchni układu ulega zmianom a jednoznaczna identyfikacja ich
położenia jest możliwa w każdej jednostce czasu t. O ile przyjmie się
do analizy dowolny punkt takiego układ będącego w ruchu to okaże
się, iż jego przemieszczenie (współrzędna) q(t) na przemian zbliża się i
oddala od pewnej wartości przeciętnej. W dynamice budowli taka
wartość reprezentuje stan położenia równowagi statycznej inaczej
zwane jako położenie obojętne (neutralne).
ustalony (periodyczny – okresowy)
PRZEBIEG W CZASIE
nieustalony (aperiodycznynieokresowy)
nietłumione
MODEL REOLOGICZNY
tłumione
dyskretne (skończona liczba stopni
swobody)
MODEL KONSTRUKCJI
ciągłe (nieskończona liczba stopni
swobody)
liniowy
MODEL FIZYCZNY
nieliniowy
swobodne
PRZYCZYNA DRGAŃ
wymuszone
podłuŜne
FORMA PRZESTRZENNA
giętne
skrętne
giętnoskrętne
Mieszane
Deterministyczne
OPIS MATEMATYCZNY
FUNKCJI
niedeterministyczne (losowe)
MECHANIKA KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICH
Analizowany będzie układ pokazany jak na rysunku 1. Zgodnie
z zasadą d’Alemberta równanie równowagi można zapisać:
Zasada dÓAlemberta
W każdej chwili siły działające na punkt materialny w czasie ruchu wraz z fikcyjną siłą siłą
bezwładności spełniają warunki równowagi. (Analiza dynamiczna układu może być
przeprowadzona
metodami
statyki
pod
warunkiem
uwzględnienia
obciążeń
kinematycznych).
..
m
q
(
t
)
+
k
q
(
t
)
=
0
/:m,
(1)
..
2
q
(
t
)
+
w
q
(
t
)
=
0
k
,
(2)
k
2
..
2
d
w
=
gdzie
,
oraz
( =
m
2
m
dt
m – masa [kg], q – przemieszczenie zależne
od czasu, k – sztywność podpory [N/m].
q(t)
Zasada pracy wirtualnej
Jeżeli układ będący w równowadze, poddany działaniu sił zewnętrznych, będzie doznawał
przemieszczeń wirtualnych (nieskończenie małych, zgodnie z więzami układu i niezależnych
od działających sił), to całkowita praca wykonana przez siły zewnętrzne i wewnętrzne na
przemieszczeniach wirtualnych jest równa zeru.
Rozwiązaniem równania (2) jest funkcja przemieszczeń q(t) postaci:
q
(
t
)
=
q
sin
w
t
+
q
cos
w
t
®
q
(
t
)
=
A
sin(
w
t
+
j
)
, (3)
s
c
przy czym
w
t
kąt fazowy;
j
faza początkowa;
;
;
+
j
q
s
=
cos
A
j
q
c
=
sin
A
j
q
2
s
2
c
A
,
j
;
. Stałe
wyznaczamy z dwóch
c
A
=
q
+
q
j
=
arctg
q
s
warunków początkowych:
t=0
q(t)
1) t = 0 ⇒ q(0) = a
.
q(t)
.
q
(0) =
dq
R
=
0
A
2) t = 0 ⇒
.
dt
t
t
=
0
A
m
MECHANIKA KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICH
Z warunków tych otrzymujemy:
p
a
=
A
sin(
0
+
j
)
=
A
sin
j
®
A
sin
=
a
®
A
=
a
, (4)
2
dq
p
. (5)
=
A
cos(
w
t
+
j
)
w
®
0
=
A
w
cos(
w
×
0
+
j
)
®
cos
j
=
0
®
j
=
dt
2
Zatem dla warunków początkujących otrzymujemy pełne rozwiązanie
postaci:
p
q
(
t
)
=
a
sin(
w
t
+
)
=
a
cos
w
t
,
(6)
2
gdzie:
a – amplituda drgań, to max. wartość przemieszczenia (wychylenia) w
stosunku do położenia równowagi,
w – to częstość kołowa drgań własnych (założono brak czynników
zaburzających, czyli nie występuje tłumienie) [rad/s], jest cechą
indywidualną każdego ciała (jest stała !).
Uwaga ! Nie ma związku między amplitudą a częstością kołową.
Zgodnie z rozwiązaniem (6) masa powróci do swego położenia po
czasie odpowiadającym 2p. Podstawiając tą wartość do wzoru (6)
2
p
q
(
t
)
=
a
cos(
w
t
+
2
p
)
=
a
cos
w
(
t
+
)
=
a
cos[
w
(
t
+
T
)]
(7)
w
=
2
p
gdzie
to okres drgań, czyli czas dzielący dwa identyczne stany
T
w
rozpatrywanego ciała.
Zadanie 1.
Wyznaczyć częstość kołową dla elementu pokazanego na rysunku
poniżej. Zakłada się, że masa belki jest znikomo mała w stosunku do
MECHANIKA KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICH
skupionej masy (powstały w ten sposób błąd będzie bardzo mało
istotny dla dalszych rozważań). Częstość kołowa wyrażana jest
wzorem
k
w
=
,
m
P
E I
m
1,0
l
l
M(P)
P l
M
1
1
Sztywność belki można wyznaczyć korzystając z pracy wirtualnej. W
miejscu masy m należy przyłożyć taką siłę P, która spowoduje
jednostkowe ugięcie belki b) stąd d równa będzie 1. Na podstawie
wykresu momentu od zadanej siły P i od siły jednostkowej c) i d)
otrzymano:
3
M
×
M
1
1
2
P
×
l
d
=
ds
=
P
×
l
×
l
×
l
=
.
∫
E
I
E
I
2
3
3
EI
Przyrównując otrzymaną wartość do jedynki:
3
P
×
l
3
EI
3
EI
,
więc
stąd szukana częstość kołowa
1
P
=
®
=
k
=
3
l
3
EI
l
wynosi
3
EI
w
=
.
l
m
×
MECHANIKA KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICH
Zadanie 2.
Analizowana będzie belka swobodnie podparta, której masa
sprowadza się do masy skupionej umieszczonej w środku jej
rozpiętości (rys). Sposób postępowania jest analogiczny jak dla belki
powyżej. Wykonujemy wykresy momentów od zadanej siły P i siły
jednostkowej.
P
m
E I
1,0
l
P
M(P)
1
M
P l
4
l
4
3
M
×
M
1
1
l
Pl
2
l
P
×
l
Obliczono:
i przyrównano
d
=
ds
=
×
2
=
∫
E
I
E
I
2
2
4
3
4
48
EI
otrzymaną wartość do jedynki
3
P
×
l
48
EI
48
EI
,
więc
stąd szukana częstość kołowa
1
=
®
P
=
k
=
3
l
48
EI
l
wynosi
48
×
EI
, a masę określa wzór
w
=
l
m
pole przekroju poprzecznego belki.
m
=
r
×
l
×
A
A
−
Plik z chomika:
slacke
Inne pliki z tego folderu:
pomocnicze.rar
(164487 KB)
W1_MKI.pdf
(238 KB)
W2_MKI.pdf
(260 KB)
w3.pdf
(743 KB)
w6 stary płyty.pdf
(396 KB)
Inne foldery tego chomika:
projekt
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin