4_WERYFIKACJA_HIPOTEZ.pdf

STATYSTYKA KURS PODSTAWOWY

WYKŁAD DR KRZYSZTOF TYMICKI

ZESTAW 4: WERYFIKACJA HIPOTEZ

Zadanie 1

Z dwóch wydziałów pewnego przedsiębiorstwa wylosowano dwie próby w celu zbadania jak warunki pracy na tych wydziałach

wpływają na stan zdrowia pracowników. Na wydziale o szczególnie szkodliwych warunkach pracy wśród 120 losowo wybranych

pracowników 20 pracowników skarżyło się na te warunki, na drugim wydziale na 100 wylosowanych pracowników 15 z nich

skarżyło się na warunki pracy. Zweryfikować hipotezę, że procent skarżących się pracowników na warunki pracy na wydziale

pierwszym jest większy niż na drugim.

Zadanie 2

Badając rozkład wydatków na papierosy stwierdzono, że wydatki te mogą mieć rozkład normalny o parametrach [90 zł;15 zł]. W celu

sprawdzenia tego przypuszczenia zbadano 200 losowo wybranych konsumentów, grupując wyniki w 14 przedziałów klasowych,

każdy o liczebności co najmniej 5 jednostek. Ponadto obliczono, że:

(



)

 



Czy można uznać normalność rozkładu wydatków na papierosy?

Zadanie 3

Analiza rozkładu czasu pracy w godzinach nadliczbowych w dwóch losowo wybranych grupach pracowników z każdej zmiany

dostarczyła następujących informacji:

- w grupie 100 pracowników pierwszej zmiany odnotowano średnią liczbę przepracowanych godzin nadliczbowych w tygodniu na

poziomie 4 godz. z odchyleniem standardowym 1,2 godz.,

- w grupie 120 pracowników drugiej zmiany odnotowano średnią liczbę przepracowanych godzin nadliczbowych w tygodniu na

poziomie 6 godz. z odchyleniem standardowym 2,4 godz..

Proszę określić z jakim prawdopodobieństwem błędu pierwszego rodzaju (przy jakiej istotności) można twierdzić, że średnio biorąc

pracownicy pierwszej zmiany pracują krócej w czasie nadliczbowym od pracowników drugiej zmiany.

Zadanie 4

W odpowiedzi na pewną ankietę na 300 wylosowanych pracownikach pracujących w produkcji, 52 pracowników oświadczyło, że

pragnie zmienić swe stanowisko pracy na inne. Natomiast na takie samo pytanie skierowane do 200 pracowników zaplecza

technicznego i administracji 26 wyraziło chęć zmiany stanowiska. Czy można twierdzić, że w obu grupach pracowniczych istnieje

jednakowy odsetek pracowników pragnących zmienić dotychczasowe stanowisko pracy?

Zadanie 5

Zostały przeprowadzone dwa badania ankietowe z pytaniem „Czy wybierzesz mnie w najbliższych wyborach?” dotyczące polityka A

i polityka B. Uzyskano następujące dane: wśród 1000 zapytanych osób 385 stwierdziło, że poprze kandydaturę polityka A, w innej

próbie 1000 losowo wybranych osób 413 zapowiedziało, że wybierze kandydata B. Należy zweryfikować hipotezę że kandydat B ma

większą szansę wygrania w wyborach (=0,05).

Zadanie 6

W celu ustalenia, czy marka samochodu istotnie różnicuje średnią miesięczną liczbę sprzedawanych samochodów zebrano informacje

z 23 losowo wybranych salonów sprzedaży (rozkład dziennej liczby sprzedawanych samochodów jest normalny). Uzyskano

następujące wyniki dotyczące liczby sprzedanych samochodów 3 marek: zróżnicowanie międzygrupowe, mierzone sumą kwadratów

odpowiednich różnic, wyniosło 46, zróżnicowanie wewnątrzgrupowe zaś, mierzone również suma kwadratów odpowiednich różnic

wyniosło 20. Zweryfikuj odpowiednią hipotezę przy poziomie istotności =0,05.

Zadanie 7

Radny w mieście ZZ zgłosił wniosek, że ważniejsza jest przebudowa drogi B niż drogi A. Swoje twierdzenie poparł informacją, że w

ciągu 160 losowo wybranych dni tracił w korkach na drodze A średnio 1 godzinę dziennie (przy wariancji 0,24 (godziny)2) a w ciągu

innych 160 dni na drodze B 1,08 godziny (przy wariancji 0,44 (godziny)2). Należy zweryfikować hipotezę, że na drodze B traci się

więcej czasu w korkach niż na drodze A (=0,05).

Zadanie 8

W celu ustalenia, czy marka oleju istotnie różnicuje średnią miesięczną wielkość sprzedaży zebrano informacje z 24 losowo

wybranych stacji benzynowych. Uzyskano następujące wyniki dotyczące wielkość sprzedaży czterech różnych typów olejów do

samochodów (rozkład dziennej ilości sprzedaży oleju jest normalny): zróżnicowanie międzygrupowe, mierzone sumą kwadratów

odpowiednich różnic, wyniosło 336, zróżnicowanie wewnątrzgrupowe zaś, mierzone również suma kwadratów odpowiednich różnic

wyniosło 100. Zweryfikuj odpowiednią hipotezę przy poziomie istotności =0,05.

- 1 -

Zadanie 9

Badanie 370 losowo wybranych gospodarstw domowych pod względem miesięcznych wydatków na żywność dostarczyło

następujących informacji:

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

( 2



)

n ˆ

x 0

x 1

i n

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

nie więcej niż 1250 80 80 0,00

1250 1750 120 …. 5,45

1750 2000 40 53 …….

2000 2500 70 85 2,65

powyżej 2500 60 55 0,45

------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 = ………… przy liczbie stopni swobody równej 2.

Po obliczeniu brakujących danych, zweryfikować hipotezę, że wydatki na żywność w gospodarstwach domowych mają rozkład

normalny. Przyjąć poziom istotności  = 0,01.

Zadanie 10

Zbadano 1000 osób w mieście oraz 500 osób na wsi. W mieście 350 osób wyraziło swoje poparcie dla partii „Alfa”, na wsi zaś

odsetek zwolenników tej partii wyniósł 30. Czy można twierdzić, że partia „Alfa” istotnie cieszy się większym poparciem w mieście

niż na wsi?

Zadanie 11

Na liście osób zdających egzamin wstępny na jeden z kierunków uniwersyteckich znalazły się wyniki 144 absolwentów liceów

ogólnokształcących, liceów zawodowych i techników, których poddano analizie pod względem liczby uzyskanych punktów. Poniższe

zestawienie przedstawia niektóre wyniki testu analizy wariancji (test dla wielu średnich):



(



)



8553





(



)



11976



Przyjmując założenie o jednorodności wariancji, zweryfikuj (przy  = 0,05) czy średnio biorąc oceny z egzaminu różnią się istotnie w

zależności od typu szkoły.

Zadanie 12

Zbadano 1000 osób w mieście oraz 2000 osób na wsi. W mieście odsetek zwolenników partii „Beta” wyniósł 20, na wsi zaś znalazło

się 450 zwolenników tej partii. Czy można twierdzić, że partia „Beta” cieszy się mniejszym poparciem w mieście niż na wsi?

Zadanie 13

Poniższe zestawienie przedstawia niektóre wyniki testu analizy wariancji (test dla wielu średnich) dotyczące poziomu obrotów

przedsiębiorstw zwolnionych z podatku VAT w zależności od miejsca prowadzenia działalności (Polska południowa, środkowa i

północna) przeprowadzonego na podstawie próby losowej 24 przedsiębiorstw:



(



)





362





(



)



535



Przyjmując założenie o jednorodności wariancji wymagane w teście dla wielu średnich według analizy wariancji, zweryfikuj (przy 

= 0,05) czy średni biorąc obroty firm zwolnionych z podatku VAT istotnie różnią się w zależności od geograficznego położenia

przedsiębiorstwa.

Zadanie 14

Związek zawodowy zarzucił prezesowi koncernu zawyżenie średniego zarobku jego pracowników w przedłożonym sprawozdaniu z

prowadzonej działalności. Według twierdzenia prezesa wynosi on 50 dukatów, podczas gdy średnia uzyskana na podstawie losowej

próby 200 pracowników dała wynik 48 dukatów, przy wariancji 100 dukatów. Przyjmując poziom istotności 0,05 należy sprawdzić

czy twierdzenie związkowców jest uzasadnione.

- 2 -

Zadanie 15

Pełnomocnik rządu Alfalandii d/s równego statusu kobiet i mężczyzn podejrzewa, że udział mężczyzn wśród pracowników

przedszkoli jest niższy niż minimum przewidziane w Ustawie, a wynoszące 35%. Czy, przy poziomie istotności 0,05, można uznać to

stwierdzenie za uzasadnione, jeżeli wśród losowo zbadanych 400 pracowników przedszkoli było 128 mężczyzn?

Zadanie 16

Wiadomo, że miesięczne wydatki na środki czystości w gospodarstwach domowych są zmienną losową o rozkładzie normalnym.

Wśród 10 losowo wybranych gospodarstw otrzymano 190 zł jako średni poziom wydatków z odchyleniem standardowym 40 zł.

a) proszę zweryfikować przypuszczenie, że średnie wydatki na środki czystości ogółu gospodarstw domowych istotnie różnią się od

200 zł, przy poziomie istotności 0,01.

b) Czy przy poziomie istotności 0,05 decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie?

Zadanie 17

Zbadano grupę 50 pracowników pewnej firmy ze względu na wysokość miesięcznych dochodów oraz posiadany poziom

wykształcenia, wyróżniając trzy kategorie: podstawowe. Średnie i wyższe. Na podstawie porównania wartości średniego

 

2 

wynagrodzenie osób o różnym wykształceniu ustalono zmienność międzygrupową na poziome 6,

(

xx oraz

i n



)

516

 i j

( 2 

wewnątrzgrupową na poziomie 8,

ij xx . Czy na tej podstawie można mówić o istotnej zależności poziomu



871

dochodu względem poziomu wykształcenia?

Zadanie 18

Poniższe zestawienie przedstawia niektóre wyniki testu analizy wariancji (test dla wielu średnich) dotyczące poziomu obrotów

przedsiębiorstw zwolnionych z podatku VAT w zależności od miejsca prowadzenia działalności (Polska południowa, środkowa i

północna) przeprowadzonego na podstawie próby losowej 24 przedsiębiorstw:



(



)





362





(



)



535



Przyjmując założenie o jednorodności wariancji wymagane w teście dla wielu średnich według analizy wariancji, zweryfikuj (przy 

= 0,05) czy średni biorąc obroty firm zwolnionych z podatku VAT istotnie różnią się w zależności od geograficznego położenia

przedsiębiorstwa.

Zadanie 19

Dla poziomu istotności 0,05 sprawdzić, czy prawdziwe jest stwierdzenie, iż średnie zarobki pracowników światowego koncernu

„Mosty” są wyższe od średnich zarobków pracowników światowego koncernu „Dachy”. Przy czym dla 100 losowo wybranych

pracowników pierwszego koncernu otrzymano średnia zarobków na poziomie 1550 $ i odchylenie standardowe wysokości 100 $, zaś

dla 200 losowo wybranych pracowników koncernu drugiego otrzymano średnią zarobków na poziomie 1500 $, zaś odchylenie

standardowe zarobków 200$.

Zadanie 20

Dla poziomu istotności 0,05 sprawdzić, czy prawdziwe jest stwierdzenie, iż średnie zarobki pracowników globalnej firmy

telekomunikacyjnej „NET” są niższe od średnich zarobków glovbalnej firmy medialnej „NSO”, jeżeli dla 200 pracowników pierwszej

firmy otrzymano średnie zarobki wysokości 1500 $ i odchylenie standardowe wysokości 200 $, zaś dla 100 pracowników zakładu

drugiego średnie zarobki wyniosły 1550 $, z odchyleniem standardowym 95$.

Zadanie 21

Badając opinię konsumentów na temat preferencji dotyczących wielkości opakowania proszku do prania zbadano 500 losowo

wybranych gospodyń domowych zamieszkałych w miastach oraz 450 gospodyń domowych zamieszkałych na wsi. Ustalono, że

wśród mieszkanek miast połowa z nich najchętniej wybrałaby opakowanie o wielkości 3 kg, wśród mieszkanek wsi za taką wielkością

opakowania opowiedziało się tylko 40% respondentek. Czy można twierdzić, że wśród mieszkanek miast frakcja preferujących

opakowania wielkości 3 kg jest istotnie większa niż wśród mieszkanek wsi? Jak powinno kształtować się ryzyko błędnej decyzji by

decyzja podjęte w punkcie (a) uległa zmianie?

Zadanie 22

W odpowiedzi na pewną ankietę na 600 wylosowanych pracownikach pracujących w produkcji, 104 pracowników oświadczyło, że

pragnie zmienić swe stanowisko pracy na inne. Natomiast na takie samo pytanie skierowane do 400 pracowników zaplecza

technicznego i administracji 52 wyraziło chęć zmiany stanowiska. Czy można twierdzić, że w obu grupach pracowniczych istnieje

jednakowy odsetek pracowników pragnących zmienić dotychczasowe stanowisko pracy?

- 3 -

Zadanie 23

Istnieje przypuszczenie, że średni czas oczekiwania na autobus linii 174 na przystanku „Metro Pole Mokotowskie” w godzinach

popołudniowych jest dłuższy w poniedziałek i wtorek niż w środę, czwartek i piątek. W tym celu badano przez 6 tygodni jakie było

średnie opóźnienie w kursu autobusu o godzinie 15.50 (wcześniejszych przyjazdów nie brano pod uwagę). Otrzymano następujące

wyniki:

- łączne średnie opóźnienie w tygodniu wyniosło 

1 x 4 min z odchyleniem 1,3 min;

- łączne średnie opóźnienie w week-endy wyniosło

2 x 2,5 min z odchyleniem 1 min.

Czas oczekiwania jest charakteryzowany przez rozkład normalny. Należy zweryfikować postawioną hipotezę o różnych średnich

czasach oczekiwania na autobus. Czy można przyjąć, że średnie opóźnienie w tygodniu i w week-endy jest takie samo? Poziom

istotności wynosi 0,05.



Zadanie 24

Zarząd pewnej firmy twierdzi, że ich pracownicy w godzinach pracy przeznaczają na prywatne rozmowy telefoniczne średnio 22

min. dziennie.

a) Czy na poziomie istotności 0,01 można ufać takiemu twierdzeniu, jeżeli 64 losowo wybranych pracowników rozmawiało

prywatnie średnio przez 20 minut a współczynnik zmienności wyniósł 50%.

b) Z jakim minimalnym błędem I rodzaju należy odrzucić hipotezę głoszącą, że średni czas rozmów prywatnych wśród

pracowników tej firmy wynosi 22 min.?

Zadanie 25

Zbadano losowo 1000 osób mieszkających w mieście oraz 500 mieszkańców wsi ze względu na chęć udziału w unijnym referendum.

W mieście 750 osób wyraziło chęć uczestniczenia w referendum, na wsi zaś odsetek zainteresowanych udziałem wyniósł 60%. Czy

na podstawie wyników tego badania można twierdzić, że frekwencja w referendum wśród mieszkańców miast będzie wyższa niż

wśród mieszkańców wsi?

Zadanie 26

W badaniach gospodarstw domowych w 2000r. w pewnym mieście w próbie losowej 150 gospodarstw pracowników ustalono, że

średnie miesięczne wydatki (na osobę) na usługi wyniosły 172 zł. z odchyleniem standardowym 15 zł. , a w próbie losowej 200

gospodarstw rolników średnie wydatki były równe 180 zł. i odchylenie standardowe 20 zł. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować

hipotezę, że średnie miesięczne wydatki (na osobę) na usługi są niższe w gospodarstwach domowych pracowników niż rolników.

Zadanie 27

Zważono 200 kostek masła i zbudowano rozkład ich wagi z 5 przedziałami. Średnia waga zważonych kostek wyniosła 250g a

odchylenie standardowe 0,5g. Weryfikując hipotezę o tym, że waga kostek masła ma rozkład normalny ustalono wartość testu

zgodności chi kwadrat = 1,4. Proszę podjąć decyzję weryfikacyjną przy poziomie istotności  = 0,05. Jaka jest w tej próbie

teoretyczna liczba kostek masła o wadze 249 – 250g?

Zadanie 28

Z dwóch wydziałów pewnego przedsiębiorstwa wylosowano dwie próby w celu zbadania jak warunki pracy na tych wydziałach

wpływają na stan zdrowia pracowników. Na wydziale o szczególnie szkodliwych warunkach pracy wśród 120 losowo wybranych

pracowników 20 pracowników skarżyło się na te warunki, na drugim wydziale na 100 wylosowanych pracowników 15 z nich

skarżyło się na warunki pracy. Zweryfikować hipotezę, że procent skarżących się pracowników na warunki pracy na wydziale

pierwszym jest większy niż na drugim.

Zadanie 29

Automat pakuje proszki o nominalnej wadze 3000g. Z partii proszków przygotowanych do sprzedaży wybrano losowo 144 sztuk i

zbudowano rozkład ich wagi o 6 przedziałach. Średnia waga proszku w tej próbie wyniosła 2995g a odchylenie standardowe 100g.

Weryfikując hipotezę o tym, że waga proszku ma rozkład normalny ustalono wartość testu zgodności chi kwadrat = 6,4. Podjąć

decyzję. Jaka jest w tej próbie teoretyczna liczba proszków o wadze 2975 – 3025g?

Zadanie 30

Analiza rozkładu czasu pracy w godzinach nadliczbowych w dwóch losowo wybranych grupach pracowników z każdej zmiany

dostarczyła następujących informacji:

- w grupie 100 pracowników pierwszej zmiany odnotowano średnią liczbę przepracowanych godzin nadliczbowych w tygodniu na

poziomie 4 godz. z odchyleniem standardowym 1,2 godz.,

- w grupie 120 pracowników drugiej zmiany odnotowano średnią liczbę przepracowanych godzin nadliczbowych w tygodniu na

poziomie 6 godz. z odchyleniem standardowym 2,4 godz..

Proszę określić z jakim prawdopodobieństwem błędu pierwszego rodzaju (przy jakiej istotności) można twierdzić, że średnio biorąc

pracownicy pierwszej zmiany pracują krócej w czasie nadliczbowym od pracowników drugiej zmiany.

Zadanie 31

W odpowiedzi na pewną ankietę na 300 wylosowanych pracownikach pracujących w produkcji, 52 pracowników oświadczyło, że

pragnie zmienić swe stanowisko pracy na inne. Natomiast na takie samo pytanie skierowane do 200 pracowników zaplecza

- 4 -

technicznego i administracji 26 wyraziło chęć zmiany stanowiska. Czy można twierdzić, że w obu grupach pracowniczych istnieje

jednakowy odsetek pracowników pragnących zmienić dotychczasowe stanowisko pracy?

Zadanie 32

Zostały przeprowadzone dwa badania ankietowe z pytaniem „Czy wybierzesz mnie w najbliższych wyborach?” dotyczące polityka A

i polityka B. Uzyskano następujące dane: wśród 1000 zapytanych osób 385 stwierdziło, że poprze kandydaturę polityka A, w innej

próbie 1000 losowo wybranych osób 413 zapowiedziało, że wybierze kandydata B. Należy:

a/ Zweryfikować hipotezę że kandydat B ma większą szansę wygrania w wyborach (=0,05)

Zadanie 33

Radny w mieście ZZ zgłosił wniosek, że ważniejsza jest przebudowa drogi B niż drogi A. Swoje twierdzenie poparł informacją, że w

ciągu 160 losowo wybranych dni tracił w korkach na drodze A średnio 1 godzinę dziennie (przy wariancji 0,24 (godziny)2) a w ciągu

innych 160 dni na drodze B 1,08 godziny (przy wariancji 0,44 (godziny)2). Należy zweryfikować hipotezę, że na drodze B traci się

więcej czasu w korkach niż na drodze A (=0,05).

Zadanie 34

Związek zawodowy zarzucił prezesowi koncernu zawyżenie średniego zarobku jego pracowników w przedłożonym sprawozdaniu z

prowadzonej działalności. Według twierdzenia prezesa wynosi on 50 dukatów, podczas gdy średnia uzyskana na podstawie losowej

próby 200 pracowników dała wynik 48 dukatów, przy wariancji 100 dukatów. Przyjmując poziom istotności 0,05 należy sprawdzić

czy twierdzenie związkowców jest uzasadnione.

Zadanie 35

Wiadomo, że miesięczne wydatki na środki czystości w gospodarstwach domowych są zmienną losową o rozkładzie normalnym.

Wśród 10 losowo wybranych gospodarstw otrzymano 190 zł jako średni poziom wydatków z odchyleniem standardowym 40 zł.

c) proszę zweryfikować przypuszczenie, że średnie wydatki na środki czystości ogółu gospodarstw domowych istotnie różnią się od

200 zł, przy poziomie istotności 0,01.

Czy przy poziomie istotności 0,05 decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie?

Zadanie 36

Zbadano prędkość 100 losowo wybranych samochodów ciężarowych i 100 losowo wybranych samochodów osobowych na pewnym

odcinku drogi. Średnia prędkość w tych próbach wyniosła odpowiednio 80km/h dla samochodów ciężarowych i 100km/h dla

samochodów osobowych. Odchylenia standardowe wynosiły zaś odpowiednio 30km/h i 60km/h.

a) Czy na podstawie tych wyników można twierdzić, że wartości średnie prędkości jazdy samochodów ciężarowych i osobowych są

identyczne?

b) Z jakim minimalnym błędem I rodzaju należy odrzucić hipotezę głoszącą, że wartości średnie prędkości jazdy samochodów

ciężarowych i osobowych są identyczne?

Zadanie 37

Zbadano losowo 1000 osób mieszkających w pewnym mieście ze względu na czytelnictwo prasy codziennej. Dla tej grupy ustalono

frakcję czytających gazety codzienne na poziomie 25%. Czy na podstawie tych wyników można twierdzić, że frakcja czytających

prasę codzienną w tym mieście jest mniejsza niż 30%. ?

- 5 -

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: