DRGANIA WACHADEŁ SPRĘŻYSTYCH.pdf
(
84 KB
)
Pobierz
Badanie drgań wahadeł sprzężonych (M21)
31
1.4 Badanie drgań wahadeł sprzężonych (M21)
Celemćwiczeniajestwyznaczenieokresówdrgańnormalnychorazczęstościdudnień
w ruchu dwóch jednakowych wahadeł sprzężonych i porównanie uzyskanych wyników
z wartościami przewidywanymi na podstawie teorii. Można również badać zależność
okresududnieńododległościpunktuzaczepieniasprężynysprzęgającejwahadłaodosi
obrotu wahadeł.
Zagadnienia do przygotowania:
– dynamika bryły sztywnej: przyspieszenie liniowe, przyspieszenie kątowe, moment
bezwładności, moment bezwładności pręta i walca, twierdzenie Steinera, moment
siły, II zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego;
– oscylator harmoniczny: ruch harmoniczny, ruch wahadła zycznego przy małych
wychyleniach zpołożenia równowagi (okres,częstość,amplituda, wychylenie,mo
ment kierujący);
– opis ruchu wahadeł sprzężonych dla małych wychyleń z położenia równowagi:
drgania normalne, dudnienia.
Literaturapodstawowa:[9]§11.611.9,12.5;[25]§18.7,16.6,16.216.4;[11]§1str.1722,
2933, 4452; literatura dodatkowa: [2].
1.4.1 Podstawowe pojęcia i denicje
Rozważmydwaidentycznewahadłazyczne,połączonesprężyną,zaktórejpośred
nictwem energia drgań będzie przekazywana od jednego wahadła do drugiego. Układ
taki, przedstawionyschematycznie narysunku1.4.1, nazywamywahadłamisprzężony
mi.Ograniczymysiętutajdodrgańoniewielkichwychyleniachzpołożeniarównowagi,
tak aby możnaje byłorozważać jako drganiaharmoniczne. Opisruchu takiego układu
w przypadku ogólnym może być dość skomplikowany. Układ dwóch wahadeł ma dwa
stopnieswobodyczylidoopisujegoruchupotrzebujemydwóchzmiennych,dlaktórych
otrzymujemy dwa równania ruchu. Zazwyczaj w każdym z równań występują jedno
cześnie obie zmienne i równań tych nie można rozwiązywać niezależnie. Jeżeli jednak
równania ruchu, oprócz wyrazów z drugą pochodną, zawierają wyrazy liniowe w oby
dwu zmiennych (tzn. wyrazy wprost proporcjonalne do tych zmiennych), to możliwa
jest transformacja do dwóch nowych zmiennych. Dla nowych zmiennych otrzymuje się
dwaniezależnerównaniaruchu,tzn.każdeztychrównańzależytylko odjednejzmien
nej. Nowe zmienne opisują tzw. drgania normalne (drgania własne) układu. Układ
ma tyle rodzajów drgań własnych ile ma stopni swobody, tj. tyle ile jest zmiennych
niezależnych opisujących jego ruch. Dowolne drganie każdego elementu układu można
opisać jako pewną kombinację drgań normalnych, czyli ich superpozycję (złożenie).
Doopisuruchuwahadełsprzężonychnajwygodniejjestwybraćkątyichwychylenia
z położenia równowagi '
a
i '
b
, stosując przybliżenie małych kątów, tzn. SIN '
'
oraz COS '
1. Rozważmy ruch jednego wahadła (dla drgań swobodnych omówiony
wrozdziale1.2).Ruchwahadłaswobodnegojestpowodowanyprzezdziałaniemomentu
siły N
g
pochodzącego od siły grawitacji:
32
Mechanika
S
L
j
B
j
A
Rys. 1.4.1: Schemat układu do badania drgań wahadeł sprzężonych.
N
g
= mgl SIN(−'
a
)
−mgl'
a
=−D'
a
,
(1.4.1)
gdzie m jest masą wahadła, l jest odległością środka masy wahadła od punktku za
wieszenia, g to przyspieszenie grawitacyjne, natomiast D = mgl jest momentem kie
rującym. W przypadku występowania sprzężenia dodatkowo działa także moment siły
sprzężenia N
s
. Wahadła zawieszone są w takiej odległości, że dla położenia równowa
gi sprężyna nie jest rozciągnięta. Przy wychyleniu wahadeł o kąty '
a
i '
b
sprężyna
rozciąga się o
x:
x = s SIN '
a
−s SIN '
b
s ('
a
−'
b
) ,
(1.4.2)
gdzie s jest odległością punktu zawieszenia sprężyny od punktu zaczepienia (długości
sprzężenia). Jeżeli sprężyna ma stałą sprężystości k to moment siły pochodzący od
sprężyny działający na wahadło a wynosi:
N
s
=−sk
x COS '
a
−ks
2
('
a
−'
b
) .
(1.4.3)
Analogiczne rozważania można przeprowadzić dla drugiego wahadła, pamiętając,
żemomentsiłyodsprężynydziałającynaniemaprzeciwnyznak.Oznaczającmoment
sprzęgający przez D
s
= ks
2
otrzymujemy sprzężony układ równań opisujący ruch
wahadeł:
J '
a
=−D'
a
−D
s
('
a
−'
b
)
J '
b
=−D'
b
−D
s
('
b
−'
a
)
.
(1.4.4)
Badanie drgań wahadeł sprzężonych (M21)
33
Po podstawieniu
D/J = !
0
i D
s
/J = K
(1.4.5)
i odpowiednich przekształceniach otrzymujemy następujący układ równań:
'
a
+ !
0
'
a
+ K ('
a
−'
b
) = 0
'
b
+ !
0
'
b
+ K ('
b
−'
a
) = 0
.
(1.4.6)
Każde z nich składa się z części znanej z równania dla wahadła swobodnego wykonu
jącego drgania harmoniczne oraz z drugiej części zawierającej obie zmienne '
a
i '
b
.
Właśnie ta część sprzęga oba równania ze sobą i nie pozwala na niezależne ich roz
wiązanie w zmiennej '
a
lub '
b
. Jeżeli najpierw dodamy, a potem odejmiemy te dwa
równania stronami to otrzymamy dwa nowe, równoważne im równania:
'
a
+ '
b
+ !
0
('
a
+ '
b
) = 0
'
a
−'
b
+ !
0
('
a
−'
b
) + 2K ('
a
−'
b
) = 0
.
(1.4.7)
Używając nowych zmiennych
1
2
('
a
+ '
b
) i '
2
=
1
2
('
a
−'
b
)
'
1
=
(1.4.8)
otrzymujemy dwa niezależne równania dla każdej z tych zmiennych:
'
1
+ !
0
'
1
= 0
'
2
+
.
(1.4.9)
!
0
+ 2K
'
2
= 0
Każde z tych równań ma postać równania oscylatora harmonicznego, którego częstość
wynosi odpowiednio:
!
1
= !
0
dla drgań opisywanych zmienną '
1
p
.
(1.4.10)
!
0
+ 2K dla drgań opisywanych zmienną '
2
!
2
=
Rozwiązania równań tego typu są nam już znane:
'
1
(t) = A COS(!
1
t +
1
)
'
2
(t) = B COS(!
2
t +
2
)
.
(1.4.11)
34
Mechanika
Każdeztychrównańopisujepewneniezależnedrganieharmoniczne,sątotzw.drgania
normalnewahadełsprzężonych.Pierwszedrganienormalneodbywasięzczęstością !
1
,
równą częstości drgań własnych wahadła swobodnego !
0
, a drugie drganie normalne
odbywa się z większą od !
1
częstością !
2
p
!
0
+ 2K. Aby zobaczyć te drgania
w ruchu dwóch identycznych wahadeł sprzężonych musimy wiedzieć jak wprawić je
wruch.Wtymcelumusimypowiązaćzmienne '
1
i '
2
zezmiennymi '
a
i '
b
,będącymi
kątami wychylenia wahadeł z położenia równowagi. Ponieważ, na mocy wzoru (1.4.8),
'
a
= '
1
+ '
2
i '
b
= '
1
−'
2
, to jako rozwiązania otrzymujemy:
=
'
a
(t) = A COS (!
1
t +
1
) + B COS (!
2
t +
2
)
'
b
(t) = A COS (!
1
t +
1
)−B COS (!
2
t +
2
)
.
(1.4.12)
Aby układ wykonywał pierwsze drganie normalne potrzeba, aby w dowolnej chwili
'
2
= 0, co jest spełnione gdy B = 0. Wtedy
'
a
(t) = A COS (!
1
t +
1
) = '
b
(t),
(1.4.13)
czyli każde wahadło drga z częstością !
1
= !
0
i w dowolnej chwili mamy '
a
= '
b
.
Podobnie, aby układ wykonywał drugie drganie normalne w dowolnej chwili '
1
= 0,
co jest równoważne wymaganiu aby A = 0. Wtedy
'
a
(t) = B COS(!
2
t +
2
) =−'
b
(t)
(1.4.14)
p
!
0
+ 2K i w każdej chwili '
a
=−'
b
.
Rozważmy przypadek, gdy dwa drgające jednakowe wahadła sprzężone nie wyko
nujądrgańnormalnych.Dowolnerozwiązanieukładurównańruchumożnaprzedstawić
jako kombinację liniową znalezionych rozwiązań (1.4.12). Jeżeli, dla prostoty rachun
ku, przyjmiemy równość amplitud drgań normalnych i fazy początkowe równe zero
(A = B,
1
=
2
= 0) to z równań (1.4.12) otrzymamy:
i każde z wahadeł drga z częstością !
2
=
!
2
−
!
1
2
!
2
+!
1
2
!
2
+!
1
2
'
a
(t) = 2A COS
t
COS
t
= A
mod
(t) COS
t
!
2
−
!
1
2
!
2
+!
1
2
!
2
+!
1
2
.
(1.4.15)
'
b
(t) = 2A SIN
t
SIN
t
= B
mod
(t) COS
t
Powyższe zależności przedstawione są w postaci gracznej na rysunku 1.4.2.
Opisując zachowanie wahadeł na podstawie powyższych równań, możemy powie
dzieć, że każde z nich wykonuje dragania o częstości ! = (!
2
+ !
1
)/2 i amplitudzie
zmieniającej sięwczasie zczęstością !
mod
= (!
2
−!
1
)/2. Jednakże,gdyjednozwaha
deł ma maksymalne wychylenie, drugie w tym momencie spoczywa. Następnie ampli
tudapierwszegowahadłastopniowo maleje, a drugiegorośnie,aż sytuacjasięodwróci.
Następnie amplituda drugiego wahadła stopniowo maleje, a pierwszego rośnie i sytu
acja powtarza się cyklicznie. W ciągu jednego okresu modulacji amplituda każdego
Badanie drgań wahadeł sprzężonych (M21)
35
A
MOD
( )
T
j
A
T
j
B
B
MOD
( )
T
T
Rys. 1.4.2: Zależność wychylenia od czasu dla wahadeł sprzężonych wykonujących dudnienia
(przy założeniu jednakowych amplitud drgań normalnych i faz początkowych równych zero).
wahadładwukrotnieosiągawartośćmaksymalną.Mówimy, żewahadławykonujądud
nienia z częstością !
d
= !
2
−!
1
. Dudnienia w układzie wahadeł sprzężonych polegają
na okresowym wzmacnianiu i wygaszaniu amplitudy drgania początkowego, są więc
wynikiem superpozycji drgań normalnych układu.
Zjawisko dudnień dwóch jednakowych wahadeł sprzężonych jest bardzo ładnym
przykłademprzekazu energii. Wprzypadku,gdyniemastratenergii (dyssypacjiener
gii) wahadła na zmianę przekazują sobie stopniowo całą energię i przekaz ten odbywa
się z częstością dudnień.
Zadanie 1. Pokaż, że prawdziwy jest związek:
T
0
T
2
T
0
−T
2
T
d
=
,
(1.4.16)
gdzie
T
0
jest okresem drgań swobodnych wahadeł,
T
2
jest okresem drugiego drgania
normalnego układu jednakowych wahadeł sprzężonych, a
T
d
jest okresem dudnień.
Zadanie 2. Wykaż, że w przypadku słabego sprzężenia (tj. dla
K << !
0
) dla układu
jednakowych wahadeł sprzężonych możemy zapisać:
J
T
d
T
0
.
D
s
= 4
2
(1.4.17)
P
1
Uwaga: skorzystaj ze wzorów (1.4.5) i (1.4.10) oraz przybliżenia
1 + x
1 +
2
x
dla
małych wartości
x
.
Plik z chomika:
palusinski1991
Inne pliki z tego folderu:
Mały Poradnik Mechanika t.I.pdf
(230784 KB)
Drgania.ukladow.mechanicznych.Giergiel.pdf
(15187 KB)
Hendzel, Żylski - Mechanika Ogólna - Kinematyka.pdf
(15080 KB)
Niezgodziński zbiór zadań z mechaniki ogólnej.pdf
(116287 KB)
d_Alembert.pdf
(194 KB)
Inne foldery tego chomika:
Pliki dostępne do 27.02.2021
►Filmy Iphone - Ipod
Abaqus
AERODYNAMIKA
ANALIZA MATEMATYCZNA
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin