85_88.pdf

K U R S

Logika odwracalna

Efektem ubocznym dzia³ania

wszystkich urz¹dzeÒ elektronicz-

nych jest zamiana zasilaj¹cej je

energii elektrycznej na ciep³o.

Musi byÊ ono nieustannie odpro-

wadzane, aby nie dopuúciÊ do

przekroczenia maksymalnej do-

zwolonej temperatury pracy uk³a-

du i†- w†konsekwencji - jego

uszkodzenia. IloúÊ ciep³a wytwa-

rzanego przez uk³ad zaleøy od

liczby elementÛw wchodz¹cych

w†jego sk³ad oraz od czÍstotli-

woúci zegara ustalaj¹cego rytm

pracy uk³adu. Fakt ten jest dob-

rze znany wszystkim w³aúcicielom

szybkich procesorÛw oraz zaawan-

sowanych kart graficznych - do

poprawnego dzia³ania zazwyczaj

wymagaj¹ one bardzo wydajnych

systemÛw ch³odzenia.

W†latach szeúÊdziesi¹tych

ubieg³ego wieku Gordon Moore za-

uwaøy³, øe wraz z†rozwojem tech-

nologii wytwarzania uk³adÛw sca-

lonych liczba tranzystorÛw moøli-

wych do wykonania na ustalonej

powierzchni kryszta³u pÛ³przewod-

nika podwaja siÍ úrednio co 18

miesiÍcy. Obserwacja ta nie ma

oczywiúcie rangi prawa fizyki,

lecz duøa zgodnoúÊ jej przewidy-

waÒ z†rzeczywistym stopniem za-

awansowania technologii pÛ³prze-

wodnikÛw uczyni³a†z†niej bardzo

wygodne narzÍdzie do szacowania

z³oøonoúci przysz³ych uk³adÛw

scalonych. Na czeúÊ odkrywcy za-

leønoúÊ tÍ nazwano prawem Mo-

ore'a.

Nieustanne d¹øenie do zwiÍk-

szania czÍstotliwoúci taktowania

oraz prawo Moore'a

prowadz¹ do wniosku,

øe iloúÊ ciep³a wytwa-

rzanego przez przy-

sz³e uk³ady scalo-

ne bÍdzie ros³a

wraz z†rozwojem

techniki.

Naukowcy i†inøy-

nierowie rozpoczÍli

wiÍc intensywne bada-

nia maj¹ce na celu opra-

cowanie nowych sposobÛw

odprowadzania ciep³a. Na podsta-

wie znacz¹cych osi¹gniÍÊ na tym

polu oraz ci¹g³ego spadku zapo-

trzebowania na energiÍ wymagan¹

do dzia³ania pojedynczego

tranzystora, bÍd¹cego efektem po-

stÍpuj¹cej miniaturyzacji, s¹dzono,

øe w†przysz³oúci produkcja ciep³a

bÍdzie mog³a zostaÊ ograniczona

w†dowolnym stopniu, co pozwoli

unikn¹Ê powaønych problemÛw

z†ch³odzeniem struktury uk³adu

scalonego.

Prezentowany artyku³, jak

na dotychczasow¹ praktykÍ

EP, jest nietypowy: autor

porusza w†nim bowiem

wy³¹cznie zagadnienia

teoretyczne (ach te wzory).

Nie da siÍ jednak inaczej,

poniewaø uk³ady, o†ktÛrych

piszemy, poza kilkoma

akademickimi opracowaniami,

jeszcze nie istniej¹...

W†artykule przedstawiono

ograniczenia fizyczne

zwi¹zane z†wykonywaniem

obliczeÒ maszynowych oraz

wprowadzenie do obliczeÒ

odwracalnych - metody

umoøliwiaj¹cej rozwi¹zanie

problemu produkcji ciep³a

przez uk³ady elektroniczne.

Przedstawiono rÛwnieø

praktyczn¹ realizacjÍ tej

techniki na przyk³adzie

doúwiadczalnego procesora

Pendulum.

Ograniczenia termodynamiczne

Przekonanie to uleg³o zmianie

po opublikowaniu przez Rolfa

Landauera z†centrum badawczego

IBM im. Watsona wynikÛw badaÒ

nad fizyczn¹ stron¹ procesu prze-

twarzania informacji. Sta³o siÍ jas-

ne, øe straty spowodowane niedo-

skona³oúci¹ budowy uk³adu scalo-

nego nie s¹ jedynym ürÛd³em

ciep³a. Drugim jego ürÛd³em oka-

za³ siÍ byÊ proces kasowania in-

formacji. Entropia informacyjna

Shannona:

na z†entropi¹ termodynamiczn¹

Gibbsa wzorem:

gdzie k B =1,380*10 -23 [J/K] jest sta-

³¹ Boltzmanna.

Definicja temperatury bez-

wzglÍdnej T† wi¹øe zmiany entro-

pii uk³adu

∆

wzorem:

uk³adu mog¹cego znajdowaÊ siÍ

w†jednym rozrÛønialnych

stanÛw, gdzie p i jest prawdopodo-

bieÒstwem znalezienia uk³adu

w†stanie o†numerze i , jest zwi¹za-

St¹d w†procesach izotermicz-

nych dostarczenie ciep³a do uk³a-

du powoduje zwiÍkszenie jego en-

tropii. Istotnie, rozwaømy urz¹dze-

Elektronika Praktyczna 11/2003

Logika odwracalna

Przełom w technice cyfrowej?

G ze zmianami za-

wartej w†nim energii cieplnej

K U R S

nie s³uø¹ce do przechowywania

jednego bitu, a†wiÍc uk³ad mog¹-

cy znajdowaÊ siÍ tylko w†jednym

z†dwÛch rozrÛønialnych stanÛw

w†danym momencie. Poniewaø nie

wiemy niczego o†pocz¹tkowym sta-

nie uk³adu, to prawdopodobieÒs-

two p 0 , øe znajduje siÍ on w†pier-

wszym stanie, jest rÛwne prawdo-

podobieÒstwu p 1 , øe znajduje siÍ

on w†stanie drugim, a†wiÍc

p 0 = p 1 =0,5. Entropia informacyjna

tego uk³adu wynosi:

wiÍcej, niø teoretyczne minimum

wynikaj¹ce z†zasady Landauera.

WartoúÊ ta jest duøa, lecz bÍdzie

ona szybko maleÊ wraz z†rozwo-

jem technologii pÛ³przewodnikÛw.

Oszacowania wynikaj¹ce z†analizy

szybkoúci spadku zuøycia energii

przez bramki na przestrzeni ostat-

nich lat wskazuj¹, øe granica Lan-

dauera zostanie osi¹gniÍta w†cza-

sie krÛtszym niø 35 lat. Z†tego

powodu w†wielu oúrodkach akade-

mickich i†przemys³owych rozpo-

czÍto badania zmierzaj¹ce do op-

racowania technik umoøliwiaj¹cych

pokonanie ograniczeÒ termodyna-

micznych.

Zgodnie z†jej definicj¹ argu-

mentem moøe byÊ dowolny ele-

ment zbioru {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.

Nie zak³adamy niczego na temat

roli pe³nionej przez tÍ bramkÍ

w†uk³adzie, a†wiÍc musimy przy-

j¹Ê, øe kaødy z†argumentÛw funk-

cji jest jednakowo prawdopodobny:

Przed wykonaniem operacji

uk³ad ma entropiÍ:

Przeniesienie systemu do nowe-

go stanu oznacza, øe prawdopodo-

bieÒstwo znalezienia go w†ø¹da-

nym stanie wynosi 1, a†prawdo-

podobieÒstwo zajmowania przez

uk³ad stanu przeciwnego jest rÛw-

ne 0. Entropia uk³adu wynosi

wÛwczas:

Przeciwdziedzin¹ funkcji jest

zbiÛr {0,1}, przy czym wartoúÊ

1†jest osi¹gana tylko dla argumen-

tu (1,1), wiÍc prawdopodobieÒstwa

przyjÍcia okreúlonego wyniku wy-

nosz¹ odpowiednio p 0 = 3 / 4 i† p 1 = 1 / 4 .

Entropia uk³adu po wykonaniu

operacji to:

Obliczenia odwracalne

Fundamentalna natura nowo

odkrytych ograniczeÒ uniemoøliwi-

³a ich bezpoúrednie pokonanie za

pomoc¹ udoskonalenia technologii

wytwarzania uk³adÛw scalonych.

Ewentualny prze³om mÛg³ nast¹piÊ

jedynie na drodze zmian w†sa-

mym sposobie prowadzenia obli-

czeÒ.

Jedn¹ z†takich alternatyw bada³

w†1973 roku Charles Bennett, rÛw-

nieø pracuj¹cy w†IBM. Na podsta-

wie zasady Landauera doszed³ on

do wniosku, øe†skoro emisja ciep-

³a jest nieod³¹cznym skutkiem

procesu kasowania informacji, to

obliczenia naleøy prowadziÊ tak,

by ca³a przetwarzana informacja

zosta³a zachowana. Pomys³ ten za-

owocowa³ powstaniem nowego

sposobu przetwarzania informacji,

nazwanego obliczeniami odwracal-

nymi.

Zmiana entropii termodyna-

micznej wynosi wiÍc:

a†wiÍc straciliúmy S przed -S po bi-

tÛw informacji. Zgodnie z†zasad¹

Landauera oznacza to, øe podczas

obliczania funkcji musia³o dojúÊ

do rozproszenia energii w†postaci

ciep³a. NierÛønowartoúciowoúÊ n -

argumentowych (dla n† > 1) fun-

kcji logicznych wy-

nika wprost ze zbyt ma³ej liczby

elementÛw przeciwdziedziny -

jest oczywiste, øe nie moøna

przyporz¹dkowaÊ kaødemu ele-

mentowi zbioru 2 n -elementowego

innego elementu zbioru dwuele-

mentowego.

Z†definicji temperatury wyzna-

czamy ciep³o poch³oniÍte przez

uk³ad:

czyli k B *T*ln 2 døuli energii zo-

sta³o wydzielone do otoczenia

w†postaci ciep³a. Obserwacja ta

nosi nazwÍ zasady Landauera

i†okreúla dolne ograni-

czenie iloúci ciep³a,

ktÛre naleøy rozproszyÊ

podczas kasowania jed-

nego bitu informacji.

W†powszechnie spo-

tykanych zakresach tem-

peratur pracy uk³adÛw

scalonych jest to nie-

zwykle ma³a energia,

np. w†temperaturze T=333 [K]

(60 o† Celsjusza) wynosi ona:

Entropia...

...informacyjna − nieokreśloność źródła,

z którego są dostarczane (wysyłane) wiadomości.

...termodynamiczna − funkcja stanu oznaczająca

miarę stopnia nieuporządkowania określonego

układu fizycznego, wynikająca z drugiej zasady

termodynamiki.

Wynika st¹d wniosek,

øe wynik odwracalnych

funkcji odtwarzaj¹cych n -

argumentowe operacje lo-

giczne bÍdzie krotk¹

sk³adaj¹c¹ siÍ nie z†jed-

nego, lecz co najmniej n

bitÛw. W†ogÛlnym przy-

padku bÍd¹ to wiÍc fun-

kcje wektorowe.

Praktyczna przydatnoúÊ funkcji

odwracalnych zaleøy bezpoúrednio

od liczby uk³adÛw cyfrowych, ktÛ-

re moøna zrealizowaÊ w†oparciu

o†nie. Sprawdümy wiÍc jak wiele

daje siÍ policzyÊ w†sposÛb odwra-

calny.

Z†logiki matematycznej wiado-

mo, øe wszystkie jedno- i†dwuar-

gumentowe funkcje logiczne moø-

na wyraziÊ za pomoc¹ operacji

NAND albo NOR (w przyk³adzie

Dwuargumentowe operacje lo-

giczne maj¹ce kluczowe znaczenie

dla techniki cyfrowej nie s¹ nie-

stety funkcjami rÛønowartoúciowy-

mi, przez co nie mog¹ byÊ one

odwracalne - podczas wykonywa-

nia obliczeÒ wystÍpuje utrata

przetwarzanej informacji. Dla przy-

k³adu rozwaømy funkcjÍ:

w†wersji zasilanej napiÍciem

1†V†zuøywaj¹ úrednio 7,1*10 -15 [J]

na zmianÍ stanu pojedynczej

bramki. Jest to oko³o 2,3*10 6 raza

Elektronika Praktyczna 11/2003

Dla porÛwnania [3], uk³ady ro-

dziny G12 firmy LSI Logic, wyko-

nane w†technologii CMOS 0,13

K U R S

Rys. 1. Bramka CN

nych. Toffoli zmodyfikowa³ wiÍc

bramkÍ CN dodaj¹c do niej kolej-

n¹ liniÍ steruj¹c¹, uzyskuj¹c po-

kazan¹ na rys. 2 . bramkÍ CCN

(od controlled controlled NOT ).

Stany wejúÊ steruj¹cych C 1

oraz C 2 s¹ przenoszone przez

bramkÍ bez zmian na odpowiada-

j¹ce im wyjúcia C 1 ' i† C 2 ' , a†wzÛr

opisuj¹cy dzia³anie inwertera ma

postaÊ:

pokazano rekonstrukcjÍ funkcji

maj¹cych najwaøniejsze znaczenie

dla techniki cyfrowej):

Rys. 3. Realizacja funkcji NAND

za pomocą bramki CCN

W†roku 1925 E. ØyliÒski udo-

wodni³, øe NAND oraz NOR to

jedyne funkcje maj¹ce tÍ w³as-

noúÊ. Wynika st¹d, øe dowolny

cyfrowy uk³ad kombinacyjny moø-

na zbudowaÊ za pomoc¹ jakich-

kolwiek bramek odwra-

calnych wtedy i†tylko

wtedy, gdy da siÍ

z†nich zbudowaÊ bramkÍ

NAND (albo NOR).

Historycznie najstar-

szym i†najprostszym roz-

wi¹zaniem umoøliwiaj¹-

cym zbudowanie odwra-

calnego urz¹dzenia licz¹-

cego jest pokazana na

rys. 1 bramka Toffolie-

go. Sk³ada siÍ ona z†li-

nii steruj¹cej stanem in-

wertera C-C' , wejúcia x

oraz wyjúcia x' . Stan

panuj¹cy na wyprowadzeniu C

jest przekazywany bez zmian na

wyprowadzenie C' . Stan wyjúcia

jest dany nastÍpuj¹cym wzorem:

Bramka CCN umoøliwia wyko-

nanie operacji NAND ( rys. 3 ),

a†wiÍc moøna za jej pomoc¹ obli-

czyÊ dowoln¹ jedno- albo dwuar-

gumentow¹ funkcjÍ logiczn¹. Wy-

nika st¹d, øe za pomoc¹ bramek

odwracalnych da siÍ odtworzyÊ

dowolny uk³ad kombinacyjny.

Rys. 4. Bramka Fredkina

w†sposÛb odwracalny, a†wiÍc teo-

retycznie bez rozpraszania ciep³a

do otoczenia. W†przypadku bar-

dziej z³oøonych obliczeÒ, np. za-

wieraj¹cych pÍtle o†ciele

wykonywanym nieznan¹

w†momencie kompilacji

liczbÍ razy, z³oøenie bra-

mek odwracalnych nie

daje siÍ niestety bezpo-

úrednio zastosowaÊ. Ko-

nieczne staje siÍ wiÍc

wprowadzenie odwracal-

noúci rÛwnieø na pozio-

mie samego algorytmu

s³uø¹cego do obliczania

interesuj¹cej nas funkcji.

OdwracalnoúÊ dowolnego

elementarnego kroku al-

gorytmu nazywa siÍ od-

wracalnoúci¹ lokaln¹, w†odrÛønie-

niu od globalnej odwracalnoúci ca-

³ego algorytmu. Pos³uguj¹c siÍ in-

dukcj¹ matematyczn¹ moøna udo-

wodniÊ, øe algorytm jest globalnie

odwracalny wtedy i†tylko wtedy,

gdy kaødy jego krok ma w³asnoúÊ

odwracalnoúci lokalnej.

G³Ûwnymi cechami odrÛøniaj¹-

cymi algorytmy odwracalne od

nieodwracalnych jest sposÛb pro-

wadzenia obliczeÒ oraz zapotrze-

bowanie na pamiÍÊ operacyjn¹.

Pierwszy etap dzia³ania algoryt-

mu odwracalnego jest taki sam, jak

w†przypadku metod klasycznych:

dane dostarczone przez uøytkowni-

ka s¹ w†odpowiedni sposÛb prze-

Funkcja f jest odwracalna, jeśli dla każdego

można jednoznacznie odtworzyć

odpowiadającą mu wartość argumentu . Dzięki

tej własności informacja zawarta w argumencie

może zostać odzyskana, a więc podczas

obliczania funkcji f nie zachodzi utrata

informacji i związana z tym emisja ciepła −

obliczenia takie mogą być więc wykonywane

przy dowolnie małym zużyciu energii. Łatwo

sprawdzić, że warunkiem koniecznym i dosta−

tecznym odwracalności funkcji f jest jej

różnowartościowość [1].

Funkcja jest różnowartościowa, jeśli dla

różnych argumentów przyjmuje różne wartości.

Kolejnym rozwi¹zaniem umoøli-

wiaj¹cym przeprowadzenie dowol-

nych obliczeÒ w†sposÛb odwracal-

ny jest bramka Fredkina ( rys. 4 ).

Ma ona dwa wejúcia: x i† y , wyj-

úcia x' i† y' oraz liniÍ steruj¹c¹ C-

C' . Podobnie jak w†przypadku bra-

mek Toffoliego, stan wejúcia ste-

ruj¹cego C jest przekazywany bez

zmian na wyjúcie C' . Stany wyjúÊ

s¹ okreúlone zaleønoúci¹:

Uk³ad ten pe³ni wiÍc rolÍ ste-

rowanego inwertera i†z†tego powo-

du nosi nazwÍ bramki CN (od

controlled NOT ). Pod wzglÍdem

funkcjonalnym odpowiada on

bramce XOR. Zgodnie z†dowodem

ØyliÒskiego bramka CN nie wy-

starcza do odtworzenia wszystkich

dwuargumentowych funkcji logicz-

a†wiÍc bramka Fredkina pe³ni ro-

lÍ prze³¹cznika sterowanego sta-

nem linii C .

Bramka Fredkina rÛwnieø

umoøliwia obliczenie funkcji

NAND, lecz realizuj¹cy j¹ uk³ad

( rys. 5 ) jest bardziej skomplikowa-

ny, niø w†przypadku implementa-

cji wykorzystuj¹cej bramkÍ CCN.

Powyøsze przyk³ady pokaza³y,

øe jest moøliwe obliczenie pros-

tych funkcji nieodwracalnych

Rys. 2. Bramka CCN

Rys. 5. Realizacja funkcji NAND

za pomocą bramek Fredkina

Elektronika Praktyczna 11/2003

K U R S

racyjnej na przechowywanie wyni-

kÛw poúrednich. Rozmiar tej pa-

miÍci zaleøy od liczby t wykona-

nych krokÛw elementarnych. Intui-

cja podpowiada, øe zaleønoúÊ ta

powinna byÊ ograniczona od do³u

przez funkcjÍ liniow¹ wzglÍdem t ,

lecz szczegÛ³owe badania teore-

tyczne [4, 5] obniøy³y†to oszaco-

wanie do

przez zaprojektowanie odwracalne-

go zbioru instrukcji, wykonywa-

nych przez odwracalny uk³ad

sprzÍtowy. DziÍki temu kierunek

przep³ywu sterowania moøe zostaÊ

zmieniony na dowolnym etapie

dzia³ania programu - wÛwczas

procesor rozpocznie proces prze-

kszta³cania wyniku na dane wej-

úciowe.

Korzystnym efektem ubocznym

moøliwoúci cofania biegu progra-

mu o†dowoln¹ liczbÍ krokÛw jest

znaczne u³atwienie wyszukiwania

b³ÍdÛw†w†jego kodzie, co jest bar-

dzo istotne dla twÛrcÛw oprogra-

mowania.

OprÛcz wykorzystania obliczeÒ

odwracalnych w†klasycz-

nych technikach przetwa-

rzania informacji pe³ni¹

one kluczow¹ rolÍ w†ob-

liczeniach kwantowych.

Ewolucja uk³adu bitÛw

kwantowych jest okreúlo-

na przez operatory uni-

tarne maj¹ce w³asnoúÊ

lokalnej odwracalnoúci,

dziÍki czemu jest ona odwracalna

globalnie.

Piotr Wyderski

Fot. 6. Pendulum − pierwszy

procesor wykonany na bazie

logiki odwracalnej

kszta³cane na wynik. Po

jego uzyskaniu procedu-

ra nieodwracalna nie-

zw³ocznie koÒczy dzia³a-

nie. Dzia³anie algorytmu

odwracalnego jest inne.

Uzyskany wynik jest ko-

piowany do úrodowiska

zewnÍtrznego i†przekazy-

wany uøytkownikowi, po czym na-

stÍpuje odwrÛcenie kierunku prze-

p³ywu sterowania i†algorytm jest

wykonywany wstecz, przekszta³ca-

j¹c wynik z†powrotem na dane

wejúciowe.

Po zakoÒczeniu tego procesu

program oraz maszyna znajduj¹

siÍ w†tym samym stanie, w†ktÛ-

rym by³y one przed rozpoczÍ-

ciem obliczeÒ. PrzywrÛcenie sta-

nu pocz¹tkowego oznacza, øe ca-

³a przekszta³cana informacja zo-

sta³a zachowana, a†wiÍc oblicze-

nia mog³y zostaÊ przeprowadzo-

ne bez wydzielenia ciep³a do

otoczenia.

PowtÛrne wykorzystanie zaso-

bÛw sprzÍtowych procesora odwra-

calnego, bÍd¹ce niezbÍdnym wa-

runkiem moøliwoúci jego praktycz-

nego zastosowania, wymusza zapa-

miÍtanie informacji potrzebnej do

odwrÛcenia obliczeÒ. Z†tego powo-

du algorytmy odwracalne wymaga-

j¹ dodatkowej porcji pamiÍci ope-

Pendulum − fakty

Mikroprocesor Pendulum składa się z 200000

tranzystorów, ma 180 wyprowadzeń (w tym 32

służą do doprowadzenia zasilania do struktury)

i może być programowany za pomocą 18

instrukcji. Jednostka sterująca Pendulum

obsługuje 74−stopniowy potok przyspieszający

obliczenia.

oznacza jednak wyk³adnicze

(w†najgorszym przypadku) wyd³u-

øenie czasu obliczeÒ, co zwykle

jest nieakceptowalne. Znaczenie

praktyczne tego wyniku jest wiÍc

niewielkie.

Bibliografia:

1. Rasiowa H., WstÍp do matematyki

wspÛ³czesnej, PWN, Warszawa, 1998

2. Smith W. D., Fundamental physi-

cal limits on computation, http://

citeseer.nj.nec.com/smith95funda-

mental.html

3. Smith W. D., Notes on reversible

computation, http://citeseer.nj.nec.-

com/smith98notes.html

4. Li M., Vitanyi P., Reversibility and

adiabatic computation: trading time

and space for energy, http://cite-

seer.nj.nec.com/li96reversibility.html

5. Lange K., McKenzie P., Tapp A.,

Reversible space equals determi-

nistic space, http://citeseer.nj.nec.-

com/lange98reversible.html

6. Abramsky S., A†structural ap-

proach to reversible computation,

http://citeseer.nj.nec.com/abrams-

ky01structural.html

Zastosowania praktyczne

Pierwsze prÛby zbudowania

doúwiadczalnych uk³adÛw scalo-

nych realizuj¹cych obliczenia od-

wracalne podjÍto w†latach 1995-

1999 w†Massachusetts Institute of

Technology. ZespÛ³ naukowcÛw

pracuj¹cy pod kierunkiem Mi-

chaela P. Franka zaprojektowa³

m.in. pierwszy odwracalny mikro-

procesor RISC, ktÛremu nadano

nazwÍ Pendulum (wahad³o).

Uk³ad ten wykonano w†technolo-

gii SCRL ( Split-level Charge Re-

covery Logic - przedstawimy j¹

w†jednym z†najbliøszych numerÛw

- Red.).

Wymaganie pe³nej odwracalnoú-

ci obliczeÒ zosta³o spe³nione po-

Elektronika Praktyczna 11/2003

(log t). Zachodzi przy

tym ciekawy zwi¹zek miÍdzy cza-

sem potrzebnym na wykonanie ob-

liczeÒ oraz zuøyciem pamiÍci -

im mniej dodatkowej pamiÍci jes-

teúmy sk³onni przeznaczyÊ, tym

d³uøej musz¹ potrwaÊ†obliczenia.

Osi¹gniÍcie teoretycznego mini-

mum zapotrzebowania na pamiÍÊ

Ω

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: