Temat05.pdf

5. TAUTOLOGIE, KONTRTAUTOLOGIE I SCHEMATY

LOGICZNIE NIEZDETERMINOWANE

5.1. Cele i wprowadzenie

intuicyjne rozróżnienie zdań przygodnie prawdziwych (fałszywych) od zdań logicznie

prawdziwych (fałszywych)

rozróżnienie zdania i schematu zdaniowego

umiejętność skonstruowania matrycy logicznej dla dowolnego schematu zdaniowego

pojęcia tautologii, kontrtautologii, schematów logicznie niezdeterminowanych

umiejętność skonstruowania podstawy matrycy logicznej dla schematu zdaniowego o dowolnej

liczbie zmiennych

zastosowanie nieskróconej metody zerojedynkowej dla sprawdzenie, czy dany schemat logiczny

jest tautologią, kontrtautologią, czy schematem logicznie niezdeterminowanym

umiejętność sprawdzenia, czy zdanie jest przygodnie czy logicznie prawdziwe (ew. fałszywe)

5.2. Zdania prawdziwe przygodnie i logicznie

• Albo prezydent RP jest mężczyzną, albo prezydent

RP nie jest mężczyzną.

• Jeżeli cię lubię, to cię lubię.

• Albo wszyscy studenci chodzą na zajęcia z logiki,

albo niektórzy studenci nie chodzą na zajęcia z

logiki.

Wyczuwamy jednak intuicyjnie pewną różnicę między nimi. Podczas, gdy zdania po prawej stronie

mogłyby być fałszywe, zdania po prawej stronie nie mogłyby być fałszywe. Prezydentem RP jest de

facto mężczyzna, ale mogłaby ten urząd piastować kobieta. Zdanie to jest de facto prawdziwe, ale

mogłoby być fałszywe, gdyby rzeczy w świecie miały się inaczej. Podobnie jest ze zdaniem „Niektórzy

czytelnicy są znudzeni” – jest to zdanie de facto prawdziwe, choć mogłoby być fałszywe.

Natomiast zdanie „Albo prezydent RP jest mężczyzną, albo nie jest mężczyzną” jest nie tylko

prawdziwe, ale nie może być fałszywe . Niezależnie od tego jak się rzeczy w świecie de facto mają

zdanie to będzie prawdziwe.

5.3. Zdania fałszywe przygodnie i logicznie

• Śnieży i nie śnieży.

• Kocham Cię dokładnie wtedy, gdy Cię nie kocham.

• Maria jest znudzona i nie jest znudzona.

• Zosia chudnie wtedy i tylko wtedy, gdy nie chudnie

Ponownie zdania po prawej stronie są zdaniami przygodnie fałszywymi – są de facto fałszywe, choć

mogłyby być prawdziwe gdyby rzeczy w świecie miały się inaczej. Prezydent Kwaśniewski nie jest de

facto szczupły, ale mógłby być szczupły. Zdanie to jest de facto fałszywe, ale mogłoby być prawdziwe.

Natomiast zdanie „Śnieży i nie śnieży” jest nie tylko fałszywe, ale nie może być prawdziwe .

Niezależnie od tego jak się rzeczy w świecie de facto mają zdanie to będzie fałszywe.

5-1

Samouczek logiki zdań (wersja wstępna)

Wszelkie prawa zastrzeżone

Uwagi proszę kierować na adres:

Katarzyna.Paprzycka@swps.edu.pl

Każde z poniższych zdań jest prawdziwe:

• Prezydent RP jest mężczyzną.

• Niektórzy czytelnicy są znudzeni.

• Paryż jest stolicą Francji.

• Są róże są czerwone, ale nie ma róż

niebieskich.

Każde z poniższych zdań jest fałszywe:

• Prezydent Kwaśniewski jest szczupły.

• Nikt nie lubi logiki.

• Warszawa jest stolicą Francji, a nie Belgii.

• Są róże pachnące jak brudne skarpetki.

5.4.Tautologiczne, kontrtautologiczne i logicznie niezdeterminowane

schematy zdaniowe

Zanim wprowadzimy metodę rozróżniania zdań logicznie i przygodnie prawdziwych (fałszywych),

musimy odwołać się do pojęcia schematu zdaniowego. Okazuje się bowiem, że:

• zdania logicznie prawdziwe są to zdania o tautologicznych schematach zdaniowych;

• zdania logicznie fałszywe są to zdania o kontrtautologicznych schematach zdaniowych;

• zdania przygodnie prawdziwe i zdania przygodnie fałszywe są to zdania o logicznie

niezdeterminowanych schematach zdaniowych.

5.4.1. Zdania a schematy zdaniowe

Dokonując symbolizacji zdań przypisywaliśmy pewne stałe zdaniowe zdaniom prostym, i następnie

oddawaliśmy takie zdanie w języku zdań. Na przykład zdanie:

(1) Jeżeli róże pachną jak brudne skarpetki, to Jan kupi albo goździki albo gerbery, a jeżeli

róże nie pachną jak brudne skarpetki, to Jan kupi róże,

oddamy jako:

[1] (S → (Ź ∨ G)) ∧ (~S → R)

gdzie ‘S’ zastępuje zdanie ‘Róże pachną jak brudne skarpetki’, ‘Ź’ – zdanie ‘Jak kupi goździki’, a ‘G’

– zdanie ‘Jan kupi gerbery’, a ‘R’ – zdanie ‘Jan kupi róże’.

Jak pamiętamy, każde zdanie w sensie logicznym ma wartość logiczną – jest albo prawdziwe, albo

fałszywe. Aby rozróżnić prawdziwość logiczną od prawdziwości przygodnej, musimy mieć narzędzie

pozwalające nam zrozumieć, co to znaczy „zdanie prawdziwe, które mogłoby być fałszywe”, oraz

„zdanie, które musi być prawdziwe”. Do tego potrzebujemy pojęcia schematu zdaniowego.

Schematem zdaniowym (właściwym) zdania (1) jest:

(2) ( p → ( q ∨ r )) ∧ (~ p → s )

Schemat zdaniowy oddaje strukturę logiczną zdania – wszystkie zdania proste zostają uzmiennione, tj.

zastąpione zmiennymi zdaniowymi, przy czym te same zdania proste zostają zastąpione tymi samymi

zmiennymi, a różne zdania proste – różnymi zmiennymi zdaniowymi. Mówimy, że schemat zdaniowy

(2) reprezentuje zdanie (1), a zdanie (1) jest podstawieniem schematu (2). Zwróćmy też uwagę, że

schemat zdaniowy (2) reprezentuje nie tylko zdanie (1), lecz również np. zdania:

(3) Jeżeli Zuzia pójdzie na egzaminy, to obleje albo logikę, albo semiotykę, a jeżeli Zuzia

nie pójdzie na egzaminy, to zachowa twarz.

(4) Jeżeli Jan ugotuje obiad, to albo go przesoli, albo go nie dosoli, a jeżeli nie ugotuje

obiadu, to będzie głodny.

Itd. Ważną cechą schematów zdaniowych jest to, że w przeciwieństwie do zdań, schematy zdaniowe

nie mają wartości logicznych. Możemy zatem badać różne możliwe kombinacje wartości logicznych,

które mogą przyjmować zdania proste.

Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 5. Tautologie, kontrtautologie, …

5-2

Ćwiczenie 5.I.

Połącz zdania z ich schematami zdaniowymi:

Jeżeli Anna zda logikę,

to albo się zaręczy, al-

bo znajdzie sobie inne-

go chłopaka.

Jeżeli Anna zda logikę,

to nie będzie potrzebo-

wała ani pomocy, ani

miłości Antka.

Jeżeli Anna nie zda

logiki, to będzie pisać

poprawkę, a jeśli zda,

to nie będzie pisać po-

prawki.

Jeżeli Anna nie zda

logiki, to jej chłopak

Antek zrobi wszystko,

co będzie mógł, żeby

jej w logice pomóc; a

Anna nie zda logiki.

p → (~ q ∧ ~ r )

(~ p → q ) ∧ ~ p

p → ( q ∨ r )

(~ p → q ) ∧ ( p → ~ q )

Jeżeli Staszek kupi her-

batę, to nie starczy mu

pieniędzy ani na ciast-

ko, ani na orzeszki.

Jeżeli Staszek nie kupi

herbaty, to będzie mu-

siał pić kawę, a jeśli

kupi herbatę, to nie bę-

dzie musiał pić kawy.

Jeżeli Staszek kupi her-

batę, to wypije ją albo

rano albo o piątej popo-

łudniu.

Jeżeli Staszek nie kupi

herbaty, to będzie mu-

siał pić kawę; a Staszek

nie kupił herbaty

5.4.2. Schematy tautologiczne

Pewne schematy zdaniowe mają ciekawą cechę. Jakiekolwiek zdania podstawimy pod zmienne

zdaniowe, powstałe w ten sposób zdanie będzie zawsze prawdziwe. Schematy takie określa się mianem

tautologii. Przyjrzyjmy się jednej z najprostszych tautologii – tzw. prawu wyłączonego środka:

(1) p ∨ ~ p

W schemacie tym występuje jedna zmienna zdaniowa p . Może ona być zastąpiona przez dowolne

zdanie prawdziwe lub przez dowolne zdanie fałszywe. Rozważmy te dwie możliwości, aby zbadać czy

zdanie o tym schemacie zdaniowym może być fałszywe. Jeżeli zmienna p jest zastąpiona przez

jakiekolwiek zdanie prawdziwe, wówczas wartość logiczna takiego zdania złożonego będzie wynosić

1, ponieważ:

1 ∨ ~1

1 ∨ 0

Jeżeli zmienna p jest zastąpiona przez jakiekolwiek zdanie fałszywe, wówczas wartość logiczna

takiego zdania złożonego będzie wynosić 0, ponieważ:

0 ∨ ~0

0 ∨ 1

Słowem jakiekolwiek zdanie zostanie podstawione pod zmienną zdaniową p , powstałe w ten sposób

zdanie złożone będzie prawdziwe. W takiej sytuacji mówimy, że schemat zdaniowy (2) jest schematem

tautologicznym , albo tautologią .

Aby określić, czy schemat zdaniowy jest tautologią, czy nie, stosuje się tzw. (nieskróconą) metodą

zerojedynkową . Badanie przeprowadza się konstruując matrycę logiczną dla danego schematu

zdaniowego, w której rzędach rozważa się wszystkie możliwe podstawienia wartości logicznych pod

zmienne zdaniowe. Dla powyższego przykładu, matryca logiczna przybiera następującą postać:

p p ∨ ~ p

1 1 ∨ ~1 1 ∨ 0 1

0 0 ∨ ~0 0 ∨ 1 1

Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 5. Tautologie, kontrtautologie, …

5-3

Pierwsza kolumna stanowi tzw. podstawę matrycy logicznej, przedstawiającą wszystkie możliwe

kombinacje wartości logicznych zdań podstawianych pod zmienne zdaniowe. Druga kolumna to

podstawienia odpowiednich wartości logicznych pod zmienne zdaniowe badanego schematu

zdaniowego. Kolejne kolumny to kolejne kroki w obliczaniu wartości logicznej dla danych podstawień,

aż do kolumny ostatniej.

Wartość logiczna występująca w pierwszym rzędzie ostatniej kolumny przedstawia wartość logiczną

podstawienia wartości 1 pod zmienną zdaniową w schemacie (2). Prościej będzie nam mówić, że

„schemat zdaniowy jest prawdziwy w pierwszym rzędzie matrycy logicznej”.

Możemy zoperacjonalizować pojęcie tautologii w następujący sposób:

Schemat zdaniowy jest schematem tautologicznym zawsze i tylko wtedy, gdy schemat

ten jest prawdziwy w każdym rzędzie swojej matrycy logicznej.

5.4.3. Schematy kontrtautologiczne

Schematy kontrtautologiczne to takie schematy zdaniowe, które po podstawieniu jakichkolwiek zdań

pod zmienne zdaniowe, generują zawsze zdania fałszywe. Oto przykład kontrtautologii:

(2) p ∧ ~ p

O tym, że schemat zdaniowy jest kontrtautologią możemy się przekonać konstruując matrycę logiczną

dla tego schematu zdaniowego (oblicz wartości logiczne w rzędach matrycy; sprawdź z wynikami w

Rozwiązaniach):

p ∧ ~ p

1 ∧ ~1

1 ∧ 0

0 ∧ ~0

0 ∧ 1

Jeżeli dobrze dokonaliście obliczeń, to schemat p ∧ ~ p jest fałszywy w obu rzędach matrycy logicznej.

Istotnie jest to schemat kontrtautologiczny , albo kontrtautologia . Możemy zoperacjonalizować pojęcie

kontrtautologii w następujący sposób:

Schemat zdaniowy jest schematem kontrtautologicznym zawsze i tylko wtedy, gdy

schemat ten jest fałszywy w każdym rzędzie swojej matrycy logicznej.

5.4.4. Schematy logicznie niezdeterminowane

Tautologiczne schematy zdaniowe są prawdziwe we wszystkich rzędach matrycy logicznej;

kontrtautologiczne schematy zdaniowe są fałszywe we wszystkich rzędach matrycy logicznej.

Schematy pozostałe, tj. te które nie są ani tautologiami, ani kontrtautologiami, określa się mianem

„schematów logicznie niezdeterminowanych”. Przyjrzyjmy się następującemu schematowi:

(3) p ∧ ~ q

Konstruujemy matrycę logiczną dla tego schematu zdaniowego, w której rzędach rozważa się

wszystkie możliwe podstawienia wartości logicznych pod zmienne zdaniowe – w tym przypadku będą

cztery możliwe kombinacje podstawień wartości logicznych pod dwie zmienne występujące w

schemacie p ∧ ~ q . Matryca logiczna przybiera następującą postać (oblicz wartości logiczne w rzędach

matrycy; sprawdź z wynikami w Rozwiązaniach):

p q

p ∧ ~ q

1 1

1 ∧ ~1

1 ∧ 0

1 0

1 ∧ ~0

1 ∧ 1

0 1

0 ∧ ~1

0 ∧ 0

0 0

0 ∧ ~0

0 ∧ 1

Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 5. Tautologie, kontrtautologie, …

5-4

Jeżeli dobrze dokonaliście obliczeń, to schemat p ∧ ~ q jest prawdziwy w rzędzie drugim matrycy

logicznej, a fałszywy w pozostałych jej rzędach. Jest to zatem schemat logicznie niezdeterminowany –

dlatego, że wartość logiczna zdań złożonych powstałych przez podstawienie zdań prostych pod

zmienne w tym schemacie zależy od tego, jaka jest wartość logiczna podstawianych zdań prostych. Jak

zobaczymy, schematy logicznie niezdeterminowane są schematami zarówno zdań przygodnie

fałszywych, jak i zdań przygodnie prawdziwych.

Pojęcie schematu logicznie niezdeterminowanego możemy zoperacjonalizować w następujący sposób:

Schemat zdaniowy jest schematem logicznie niezdeterminowanym zawsze i tylko wtedy,

gdy schemat ten jest prawdziwy w przynajmniej jednym rzędzie swojej matrycy

logicznej, oraz gdy schemat ten jest fałszywy w przynajmniej jednym rzędzie swojej

matrycy logicznej.

5.4.5. Przykłady

Przykład 1.

Czy schemat zdaniowy [( p ∨ q ) ∧ ~ q ] → p jest tautologiczny, kontrtautologiczny, czy logicznie

niezdeterminowany?

Aby na to pytanie odpowiedzieć musimy skonstruować matrycę logiczną i obliczyć wartość logiczną

tego schematu w każdym rzędzie:

p q

[( p ∨ q ) ∧ ~ q ] → p

1 1

[(1 ∨ 1) ∧ ~1] → 1

[(1) ∧ 0] → 1

[0] → 1

1 0

[(1 ∨ 0) ∧ ~0] → 1

[(1) ∧ 1] → 1

[1] → 1

0 1

[(0 ∨ 1) ∧ ~1] → 0

[(1) ∧ 0] → 0

[0] → 0

0 0

[(0 ∨ 0) ∧ ~0] → 0

[(0) ∧ 1] → 0

[0] → 0

Schemat zdaniowy [( p ∨ q ) ∧ ~ q ] → p jest ____________________________, ponieważ ___________

__________________________________________________________________________________ .

Ćwiczenie 5.II.

Zbadaj, czy następujące schematy zdaniowe są schematami tautologicznymi, kontrtautologicznymi, czy

logicznie niezdeterminowanymi.

(a) p ∧ p

(b) p ∨ p

(d) ~ p → p

(e) ~( p ∧ ~ p )

(f) ~( p ∨ ~ p )

(g) ~p

(h) p

(i) ( p ∧ q ) → p

(j) p → ( p ∧ q )

(k) ( p ∨ q ) → p

(l) p → ( p ∨ q )

(m) ( p → q ) → ( q → p )

(n) ( p → q ) → (~ q → ~ p )

(o) ( p → q ) → (~ p → ~ q )

(p) ( p → q ) ∧ ( p ∧ ~ q )

Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 5. Tautologie, kontrtautologie, …

5-5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: