LOGIKA
Aksjomatyczna postać rachunku zdań
Systemy aksjomatyczne nowoczesnej nauki charakteryzuje nie tylko lista twierdzeń pierwotnych. Drugim składnikiem każdego z takich systemów jest zbiór zasad dowodzenia, nazywanych regułami inferencji. Pierwszym stadium konstrukcji pełnego systemu aksjomatycznego logiki formalnej jest aksjomatyzacja rachunku zdań.
Zgodnie z ogólnymi zasadami aksjomatyzacji, każdy system aksjomatyczny rachunku zdań scharakteryzowany jest przez:
- zbiór aksjomatów danego rachunku zdań
- zbiór zasad dowodzenia dalszych formuł rachunku zdań na podstawie tych aksjomatów – zbiór reguł inferencji tego systemu
W twierdzeniach pierwotnych aksjomatycznego rachunku zdań nie muszą występować wszystkie spójniki prawdziwościowe mające swe odpowiedniki w językach, które rachunek zdań pod tym względem opisuje. Dla formuły posiadającej spójniki prawdziwościowe można podać jej równoważnik, zawierający tylko niektóre z nich.. Jeżeli chce się ograniczyć liczbę spójników prawdziwościowych w tezach danego systemu, to należy uczynić je terminami pierwotnymi tegoż systemu lub wprowadzić je do systemu jako terminy pochodnie – za pośrednictwem definicji, które charakteryzują ich znaczenie za pomocą terminów występujących w aksjomatach. W drugim przypadku należy nadto przyjąć regułę inferencji.
Oto system aksjomatyczny rachunku zdań, w którym wszystkie spośród spójników: Ú, Ù, ®, «, º, ~ są terminami pierwotnymi. Aksjomatyka tego rachunku zdań jest więc stosunkowo obszerna.
Aksjomaty systemu S:
A1 - (p ® q) ® [(q ® r) ® (p ® r)]
A2 - p ® (q ® p)
A3 - [p ® (p ® q)] ® (p ® q)
A4 - p ® ~~p
A5 - ~~p ® p
A6 - (p ® q) ® (~q ® ~p)
A7 - (p Ù q) ® p
A8 - (p Ù q) ® q
A9 - (p ® q) ®{(p ® r) ® [p ® (q Ù r)]}
A10 - p ® (p Ú q)
A11 - q ® (p Ú q)
A12 - (p ® r) ® {(q ® r) ® [(p Ú q) ® r]}
A13 - (p º q) ® (p ® q)
A14 - (p º q) ® (q ® p)
A15 - (p ® q) ® [(q ® p) ® (p º q)]
Reguły inferencji systemu S:
1. reguła podstawiania – podstawiając w dowolnej formule, która jest tezą systemu, za któryś z jej symboli zdaniowych (wszędzie tam, gdzie ten symbol występuje) inny symbol zdaniowy lub formułę, otrzymuje się tezę systemu;
symbolicznie:
2. reguła odrywania – jeśli formuła implikacyjna i jej poprzednik są tezami systemu, to również następnik tej formuły jest tezą systemu;
Dowodzenie twierdzeń pochodnych systemu S można zilustrować wykazując, że tezą tego systemu jest formuła:
· p ® p
W aksjomacie 1 podstawiamy formułę „~~p” za „q” i „p” za „r”, otrzymujemy:
(p ® ~~p) ® [(~~p ® p) ® (p ® p)]
Poprzednik otrzymanej implikacji jest aksjomatem A4 systemu S. Na mocy reguły odrywania otrzymujemy, że tezą tego systemu jest również formuła:
(~~p ® p) ® (p ® p)
I ta formuła jest implikacją, której poprzednik stanowi aksjomat A5. Na mocy reguły odrywania:
p ® p
Zostało udowodnione, że formuła „p ® p” jest tezą systemu S.
Hel-Mag