rachunek błędów.pdf

Politechnika Warszawska

Wydział Fizyki

Laboratorium Fizyki 1 „P”

Piotr Jaśkiewicz

Paweł Zabierowski

Andrzej Kubiaczyk

ZASADY OPRACOWYWANIA WYNIKÓW POMIARÓW

1. Pomiary wielkości fizycznych

Pomiar wielkości fizycznej polega na przyporządkowaniu tej wielkości pewnej określonej

wartości liczbowej. Przyporządkowanie to odbywa się w trakcie eksperymentu fizycznego

(doświadczenia) poprzez wyznaczenie liczbowego stosunku badanej wielkości fizycznej do jej

jednostki. Od czasów starożytnych wprowadzano w tym celu rozmaite systemy jednostek, które

ewoluowały wraz z rozwojem nauk przyrodniczych. Współczesne definicje podstawowych jednostek

wielkości fizycznych podawane są w publikacjach Międzynarodowej Konferencji Miar, odbywającej

się cyklicznie od końca XIX wieku w Genewie. Obecnie obowiązującym jest Międzynarodowy

Układ Jednostek SI . Równolegle z nim, w niektórych dziedzinach nauki współistnieją inne układy

jednostek, jak CGS, CGSES, CGSEM, Gaussa czy układ ciężarowy. W praktyce inżynierskiej,

obowiązującej w Laboratorium Fizyki, stosujemy jedynie Międzynarodowy Układ Jednostek SI.

Obejmuje on podstawowe jednostki wielkości fizycznych. Jednostki pozostałych wielkości

fizycznych, noszące nazwę jednostek wielkości pochodnych, tworzone są poprzez znane prawa fizyki i

definiowane na specjalistycznych konferencjach naukowych.

Tabela 1. Międzynarodowy układ jednostek SI

L.p. Wielkość

Symbol

wielkości

Jednostka Symbol

jednostki

Wielkości podstawowe

Długość

l, h, r, s

metr

Masa

m, M

kilogram kg

Czas

t, τ

sekunda s

Liczność materii (ilość substancji)

N, n

mol

Natężenie prądu elektrycznego

I, i

amper

Temperatura (termodynamiczna)

T, Θ

kelwin

7 Światłość

I, J

kandela

Wielkości uzup ełniające

Kąt płaski

α , β , γ , ϕ radian

rad

Kąt bryłowy

Ω , ω

steradian sr

Jednostki wielkości fizycznych wtórnych tworzone są przez dodanie nazwy mnożnika

(wielokrotności) do jednostki podstawowej, według zasad podanych w tabeli 2.

Definicje jednostek układu SI

Jednostki podstawowe

m e t r (m) jest to długość drogi przebytej w próżni przez światło w czasie 1/299792458 s

(XVII Gen. Konf. Miar 1983 r.)

k i l o g r a m (kg) jest to masa międzynarodowego wzorca tej jednostki masy

przechowywanego w Międzynarodowym Biurze Miar w Sevres (III Gen. Konf. Miar 1901 r.).

Z asady opracowywania wyników pomiarów

s e k u n d a (s) jest to czas równy 9 192 631 770 okresom promieniowania odpowiadającego

przejściu między dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu podstawowego atomu cezu 133 Cs (XII Gen.

Konf. Miar 1964 r.).

k e l w i n (K) jest to 1/273,16 część temperatury termodynamicznej punktu potrójnego wody

(XIII Gen. Konf. Miar 1967/68 r.).

m o l (mol) jest to liczność materii występująca, gdy liczba cząstek jest równa liczbie

atomów zawartych w masie 0,012 kg węgla o masie atomowej 12, 12 C (XIV Gen. Konf. Miar 1971 r).

a m p e r (A) jest natężeniem prądu nie zmieniającego się, który płynąc w dwóch

równoległych prostoliniowych przewodach nieskończenie długich o przekroju kołowym znikomo

małym, umieszczonych w próżni w odległości 1 m, wywołuje między tymi przewodami siłę równą

2*10 -7 niutona na każdy metr długości przewodu (IX Gen. Konf. Miar 1948 r.).

k a n d e l a (cd) jest to światłość, jaką ma w określonym kierunku źródło emitujące

promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540*10 12 Hz i którego natężenie w tym kierunku

jest równe 1/683 W/sr (XVI Gen Konf. Miar 1979 r.).

Jednostki uzupełniające

r a d i a n (rd) jest to kąt płaski, zawarty między dwoma promieniami koła, wycinającymi z

jego okręgu łuk o długości równej promieniowi tego koła.

s t e r a d i a n (sr) jest kątem bryłowym o wierzchołku w środku kuli, wycinającym z jej

powierzchni część równą powierzchni kwadratu o boku równym promieniowi tej kuli.

Tabela 2. Zasady tworzenia jednostek wtórnych.

Przedrostek Oznaczenie

Mnożnik

Eksa

10 18 = 1 000 000 000 000 000 000

Peta

10 15 = 1 000 000 000 000 000

Tera

10 12 = 1 000 000 000 000

Giga

10 9 = 1 000 000 000

Mega

10 6 = 1 000 000

Kilo

10 3 = 1 000

Hekto

10 2 = 100

Deka

10 1 = 10

Decy

10 -1 = 0,1

Centy

10 -2 = 0,01

Mili

10 -3 = 0,001

Mikro

10 -6 = 0,000 001

Nano

10 -9 = 0,000 000 001

Piko

10 -12 = 0,000 000 000 001

Femto

10 -15 = 0,000 000 000 000 001

Atto

10 -18 = 0,000 000 000 000 000 001

Z asady opracowywania wyników pomiarów

2. Źródła i rodzaje błędów pomiarowych

Każdy pomiar wielkości fizycznej dokonywany jest ze skończoną dokładnością, co oznacza,

że wynik tego pomiaru dokonywany jest z niepewnością pomiarową, zwaną błędem pomiaru . Fakt

ten związany jest nie tylko z niedoskonałością działań człowieka, lecz także z niedoskonałością

wykonania przyrządów pomiarowych, przypadkowym stanem materii w chwili dokonywania pomiaru,

wpływem procesu pomiarowego na wielkość mierzoną oraz przybliżonym charakterem modeli

rzeczywistości opisywanych w postaci praw fizyki. Zasady obliczania lub pomijania błędów

pomiarowych, a także oceny wyników pomiarów zawarte są w teorii analizy błędu pomiarowego.

Teoria ta - jak każda teoria naukowa - jest na bieżąco uzupełniana i modyfikowana. Jej podstawy

oparte są o metody statystyki matematycznej. W niniejszym opracowaniu zostaną podane algorytmy

postępowania dla potrzeb I Laboratorium Fizyki i wystarczające w znakomitej większości przypadków

do analizy wyników pomiarów wielkości fizycznych dokonywanych w praktyce inżynierskiej.

W ostatnich latach coraz częściej do definiowania, oceny i zapisu niepewności pomiarowych

stosuje się normy zalecane przez ISO (International Organization for Standarization). Jednakże

w Laboratorium Fizyki 1 pozostajemy przy tradycyjnych nazwach niepewności pomiarowych

stosowanych przez dziesięciolecia i oddających sens opisywanych pojęć: błąd nazywany w standardzie

ISO niepewnością typu A będziemy określać jako błąd średni kwadratowy wartości średniej, natomiast

niepewność typu B jako błąd maksymalny pojedynczego pomiaru.

Ponieważ wykonanie bezbłędnego pomiaru jest niemożliwe, zatem rzeczywistej wartości

wielkości mierzonej nie poznamy nigdy. W związku z tym poprawny sposób zapisu wyników

eksperymentu wymaga podania najlepszego przybliżenia wielkości mierzonej oraz przedziału,

w którym ta wielkość leży, co możemy zapisać jako:

wyznaczona wartość x = x np ± δ x ,

gdzie x np jest najlepszym przybliżeniem rzeczywistej wartości x, a δ x jest przedziałem w którym ta

wielkość zwanym niepewnością lub błędem pomiaru. Nasuwają się tu od razu następujące pytania: Jak

znaleźć najlepsze przybliżenie mierzonej wielkości? W jaki sposób wyznaczyć przedział niepewności

δ x ? Jak rozumieć powyższy zapis, to znaczy, jaką mamy pewność, że wartość rzeczywista mieści się

w przedziale (x np -δ x ; x np +δ x )? Odpowiedź zależy od sposobu, w jaki pomiary zostały przeprowadzone,

między innymi od tego czy wykonaliśmy pojedynczy pomiar czy też serię pomiarową, bądź czy liczba

pomiarów w serii była duża, czy mała? W kolejnych rozdziałach poznamy różne sposoby określania

wartości x np oraz δ x . Mimo iż w każdym z przypadków stosujemy inny algorytm, interpretacja wyniku

zawsze oparta jest na prawach statystyki.

Do wartości rzeczywistej możemy się jedynie zbliżać poprzez doskonalenie metod

pomiarowych i staranną analizę niepewności pomiarowych. Analogicznie, jako że nie znamy

rzeczywistej wartości wielkości mierzonej, nie jest możliwe dokładne obliczenie wartości błędu

pomiarowego. Dlatego też często nie mówimy o obliczaniu błędu pomiarowego, lecz o szacowaniu

wartości tego błędu.

Wykonywanie pomiaru winno przebiegać według starannie przemyślanego algorytmu.

Podstawowy schemat takiego algorytmu przedstawiono na następnej stronie.

Z asady opracowywania wyników pomiarów

1. Zdefiniowanie modelu fizycznego

badanego zjawiska i mierzonej wartości.

11. Weryfikacja

modelu fizycznego.

2. Oszacowanie spodziewanych

wartości wyników (z literatury,

teorii zjawiska, własnego

doświadczenia).

3. Wybór

metody

pomiarowej.

4. Dobór

przyrządów

pomiarowych.

4. Zapewnienie niezmiennych warunków pomiaru

podczas jego dokonywania.

5. Wykonanie pojedynczego pomiaru.

6. Analiza oszacowanej wartości błędu

pojedynczego pomiaru i jego źródeł.

10. Analiza

kosztów

wykonania

pomiaru

7. Wykonanie serii pomiarów; ilość

pomiarów wynikać będzie z pkt. 6.

8. Analiza źródeł błędu serii pomiarów.

11. Publikacja wyników pomiarów wraz podaniem

wartości błędów i opisem metody pomiarowej.

Rys. 1. Algorytm wykonywania pomiarów fizycznych.

Jak to wynika z przedstawionego algorytmu, proces dokonywania pomiaru wielkości fizycznej

jest procesem ciągłym. O przerwaniu tego procesu decydują głównie jego koszty oraz czas, jaki jest

przeznaczony na dokonywanie pomiarów, lub osiągnięcie granic dokładności, wyznaczonych przez

znane nam do tej pory prawa fizyki.

Dostępne współcześnie metody pomiarowe są zazwyczaj metodami pośrednimi , co oznacza,

że do określenia wartości mierzonej konieczne są obliczenia wartości funkcji wiążącej wskazania

różnych przyrządów z wartością mierzoną. Niektóre wielkości mogą być mierzone bezpośrednio ,

poprzez przyłożenie wzorca do wielkości mierzonej - jak np. długość, czas, kąt, natężenie prądu,

częstotliwość. W niniejszym opracowaniu, przy każdym sposobie szacowania błędu zostanie podana

informacja czy dotyczy on metody pośredniej, czy bezpośredniej.

Wszystkie rodzaje wprowadzanych podczas dokonywania pomiaru błędów pomiarowych

można podzielić na trzy grupy: BŁĘDY SYSTEMATYCZNE, BŁĘDY PRZYPADKOWE

i BŁĘDY NADMIAROWE (grube).

Błędy systematyczne mają stałą wartość podczas wykonywania pomiarów i powodują

zazwyczaj przesunięcie wyników pomiarów w jedną stronę. Wstępnie można je oszacować

na podstawie pojedynczego pomiaru. Wybrane sposoby szacowania błędów systematycznych opisano

w rozdziale 6.

Z asady opracowywania wyników pomiarów

Błędy przypadkowe pojawiają się podczas wykonywania serii pomiarów, podlegają prawom

statystyki matematycznej i jedynie na podstawie starannej analizy zjawisk fizycznych towarzyszących

pomiarowi można wnioskować o źródłach tych błędów. Jedną z metod szacowania błędów

przypadkowych opisano w rozdziale 3.

Błędy nadmiarowe są wynikiem ewidentnej pomyłki człowieka lub awarii sprzętu

pomiarowego. Błędy takie należy wykreślić z serii wyników pomiarów.

Oprócz wartości błędu pomiarowego (wartości bezwzględnej) δ, obliczamy także błąd

względny δ w (stosunek wartości błędu do wielkości mierzonej, np. x ), który może być również podany

jako wielkość procentowa:

δ =

lub

100

(1)

Na przykładzie wyników konkursu strzeleckiego, podanych na rysunku 2, zobrazowano

klasyfikację błędów pomiarowych.

łąd przypadkowy mały

Błąd systematyczny mały

Błąd przypadkowy mały

Błąd systematyczny duży

Błąd przypadkowy duży

Błąd systematyczny mały

Błąd przypadkowy duży

Błąd systematyczny duży

Błąd nadmiarowy

Rys. 2. Wyniki konkursu strzeleckiego. W przypadku e) zastosowano złą tarczę strzelecką.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: