18

Rozdział 2. Zbiory

2. Zbiory

2.1.  Rachunek zbiorów

Jednym z podstawowych pojęć występujących w matematyce jest pojęcie zbioru. Dział matematyki, który bada własności zbiorów, nazywany teorią mnogości, rozwinął się w XIX wieku,
a za jego twórcę uważa się Georga Cantora.

Mówiąc o konkretnym zbiorze podajemy zwykle warunki, jakie spełniają elementy należące do danego zbioru. Przykładowo, możemy rozważać zbiór wszystkich rozwiązań równania  lub zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność Elementami zbioru nie muszą być liczby, np. możemy utworzyć zbiór wszystkich studentów pewnej wyższej uczelni, zbiór wszystkich trójkątów równoramiennych, itp.

Wygodnym jest wprowadzenie pojęcia zbioru pustego, oznaczanego symbolem , jako zbioru, który nie zawiera żadnego elementu. Zbiór rozwiązań równania które są liczbami całkowitymi, jest zbiorem pustym.

Zdanie „x jest elementem zbioru A” zapisujemy symbolicznie , natomiast zdanie „x nie jest elementem zbioru A” zapisujemy . Zbiór składający się ze skończonej liczby elementów oznaczamy:

Niech A i B będą dowolnymi zbiorami. Mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B jeżeli każdy element zbioru A należy do zbioru B. Zbiór A nazywamy wtedy podzbiorem zbioru B, a zbiór B nadzbiorem zbioru A, co zapisujemy . Znak nazywamy znakiem inkluzji.

Używając symboliki rachunku zdań, mamy więc:

Zauważmy przykładowo, zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, a zbiór liczb wymiernych jest nadzbiorem zbioru wszystkich rozwiązań równania

Dwa zbiory są równe, jeżeli mają te same elementy, tzn.

Równymi będą zbiory rozwiązań równania w zbiorze liczb rzeczywistych i zbiór rozwiązań równania w tym samym zbiorze.

Wprowadźmy oznaczenia najczęściej używanych zbiorów liczbowych. Są one nieco inne niż w szkole, ale są powszechnie używane:

N – zbiór liczb naturalnych,

– zbiór liczb naturalnych dodatnich,

Z – zbiór liczb całkowitych,

Q – zbiór liczb wymiernych,

R – zbiór liczb rzeczywistych,

– zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

Zachodzą następujące inkluzje:

Sumą zbiorów A i B, w zapisie , nazywamy zbiór złożony z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub należą do zbioru B i który innych elementów nie zawiera.             

Sumę zbiorów nazywamy też złączeniem tych zbiorów.

Iloczynem zbiorów A i B, oznaczanym symbolem , nazywamy zbiór, który zawiera wszystkie elementy należące jednocześnie do zbiorów A i B i który innych elementów nie zawiera.             

Iloczyn zbiorów nazywamy też częścią wspólną lub przekrojem tych zbiorów.

Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi, jeżeli 

Różnicą zbiorów A i B, zapisywaną symbolem , nazywamy zbiór, do którego należą te i tylko te elementy, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B.

Jeżeli A jest podzbiorem ustalonego zbioru X, to często wprowadzamy oznaczenie: . Zbiór nazywa się dopełnieniem zbioru A (do przestrzeni X).

Ponieważ działania na zbiorach są określone przez działania na zdaniach, to prawa rachunku zbiorów są  analogiczne do praw rachunku zdań. Tezę tę wyjaśnia poniższa tabela:

Zdefiniujmy teraz pewne ważne podzbiory zbioru liczb rzeczywistych R. Zakładamy, że , przy czym . 

Przedziałem otwartym o końcach a oraz b nazywamy zbiór

.

Przedziałem domkniętym o końcach a oraz b  nazywamy zbiór

.

...