Rozdział 4. Ogólne własności funkcji              35             

4.  Ogólne własności funkcji

Często badamy stosunki między różnymi wielkościami, które są ze sobą tak związane, że każdej wartości pierwszej z nich odpowiada ściśle określona wartość drugiej. Mamy wówczas do czynienia z funkcją.

Niech X, Y będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Jeżeli każdemu elementowi x zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element y ze zbioru Y, to mówimy, że została określona funkcja  f  odwzorowująca zbiór X w zbiór Y. Symbolicznie piszemy

Element y przyporządkowany elementowi x nazywamy wartością funkcji f w punkcie x lub obrazem elementu x i oznaczamy symbolem Mówią o tym także zapisy:

Zbiór X, oznaczany symbolem nazywamy dziedziną funkcji f, a elementy zbioru X – argumentami funkcji f. Jeżeli zbiór wartości funkcji, tzn. zbiór jest równy Y, to mówi­my, że funkcja f odwzorowuje X na Y . Np. funkcja określona wzorem jest odwzorowaniem w zbiór Y, gdy i odwzorowaniem na zbiór Y, gdy

Przykłady. Podamy przykłady funkcji postaci

a)

Jest to funkcja rzeczywista jednej zmiennej.

b)

Jest to funkcja rzeczywista dwóch zmiennych.

c) – płaszczyzna układu współrzędnych, – ustalony wektor,

Jest to translacja o wektor .

d)

Jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych; funkcje tego rodzaju zwane są także ciągami liczbowymi.

e)

f nazywa się funkcją entier, funkcją podłogi, częścią całkowitą liczby. Zamiast najczęściej pisze się lub

f) .

Jest to funkcja Dirichleta. Ma ona wiele ciekawych własności, w dalszej części opracowania bę­dzie­my się do niej odwoływać.

Uwaga. Często zdarza się, że podaje się jedynie wzór definiujący funkcję bez sprecyzowania  jej dziedziny X lub zbioru Y. Uważa się wówczas, że dziedziną funkcji jest największy zbiór, na którym wyrażenie określające tę funkcję ma sens. Nazywany jest on czasem dziedziną naturalną funkcji. Jako zbiór Y, jeżeli nie jest on określony, przyjmuje się dowolny nadzbiór zbioru

W dalszym ciągu zajmować się będziemy przypadkiem, gdy i

Jeżeli funkcje f i g mają wspólną dziedzinę, tj. , to definiujemy sumę, różnicę, iloczyn oraz iloraz funkcji  f i g w następujący sposób:

dla ;

dla ;

dla ;

dla .

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument , ze

Np. funkcja f określona wzorem ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. Są nimi wszystkie liczby postaci , gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą, różną od 0.

Dwie funkcje i nazywamy równymi, jeżeli:

              10 

              20

Przykłady. a) Funkcje: określona na zbiorze R oraz określona na zbiorze R\{0} nie są równe, gdyż ich dziedziny są różne.

b) Funkcje i określone na R nie są równe, ponieważ dla x < 0  przyj­mują różne wartości, np.

c) Funkcje i  określone na R są równe.

Niech f będzie funkcją przekształcającą X w Y . Czasami istnieje potrzeba rozważania
fun­kcji f na części jej dziedziny, np. na pewnym podzbiorze A zbioru X. Przykładowo, najczęściej funkcję określamy na zbiorze liczb rzeczywistych, ale czasami może być wygodnym rozpatrywanie jej tylko na przedziale W takim przypadku określamy nową funkcję postaci przyjmując, że dla . Oznaczamy ją symbolem f½A i nazywamy obcięciem funkcji f do zbioru A.

Wykresem funkcji nazywamy zbiór .

Wykresy funkcji liczbowych są więc podzbiorami płaszczyzny układu współrzędnych. Nie zawsze można je jednak narysować. Ze względu na gęstość zbioru liczb wymiernych i liczb niewymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych (patrz rozdział II) wykresu funkcji Dirichleta nie da się narysować, chociaż on istnieje.

Wykresy wielu funkcji możemy otrzymać z wykresów funkcji elementarnych stosując proste przekształcenia płaszczyzny. Oto najważniejsze z nich.

1. Przesuwając wykres funkcji o wektor otrzymujemy wykres funkcji .

2. Przesuwając wykres funkcji o wektor otrzymujemy wykres funkcji

              3. Przesuwając wykres funkcji o wektor otrzymujemy wykres funkcji .

4. Odbijając wykres funkcji symetrycznie względem osi OX, otrzymujemy wykres funkcji .

              5. Odbijając wykres funkcji symetrycznie względem osi OY, otrzymujemy wykres funkcji .  

6. Odbijając wykres funkcji symetrycznie względem początku układu współ­rzęd­nych, otrzymujemy wykres funkcji .

7. Wykresem funkcji jest suma dwóch zbiorów: wykresu funkcji obciętej do przedziału oraz wykresu funkcji obciętej do przedziału

8. Wykresem funkcji jest suma tych części wykresów funkcji i f...