Rozdział 8. Funkcje wymierne 68
Funkcję będącą ilorazem dwóch wielomianów określoną na zbiorze
nazywamy funkcją wymierną.
Ważnym przykładem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna, tzn. funkcja postaci
gdzie i Jeżeli , to funkcja f określona powyższym wzorem jest funkcją liniową, a gdy , f jest funkcją stałą (pomijamy tu „patologiczny” przypadek, gdy Obie te funkcje nie są funkcjami homograficznymi. Szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej jest proporcjonalność odwrotna gdzie
Przykład. Podamy wykresy niektórych funkcji wymiernych.
Przykład. Naszkicujemy wykres funkcji
Rozwiązanie. Zauważmy, że
Zatem, aby otrzymać wykres badanej funkcji, należy przesunąć wykres funkcji o wektor lub, co łatwiejsze, układ współrzędnych o wektor
Dlatego jej wykres otrzymujemy przesuwając wykres funkcji gdzie o wektor Stąd wynika wniosek:
Wykresem funkcji homograficznej gdzie jest hiperbola. Asymptotami wykresu tej funkcji są proste o równaniach i .
Równaniami (nierównościami) wymiernymi nazywamy równania (nierówności) postaci:
gdzie są wielomianami. Są to więc równania lub nierówności, w których występują ułamki algebraiczne.
Aby rozwiązać równanie sprowadzalne do równania wymiernego najczęściej należy:
1. Ustalić dziedzinę równania.
2. Pomnożyć obie strony równania przez wspólny mianownik występujących tam ułamków algebraicznych, w konsekwencji czego otrzymujemy równanie wielomianowe.
3. Rozwiązać otrzymane równanie wielomianowe.
4. Sprawdzić, które rozwiązania równania wielomianowego należą do dziedziny równania wymiernego.
Oczywiście w szczególnych przypadkach może istnieć inna, szybsza metoda rozwiązania danego równania.
Przykład. Rozwiążemy równanie
Rozwiązanie. Rozpoczynamy od zastrzeżeń: Mamy dalej
Ponieważ liczba należy do dziedziny równania, więc jest ona jego rozwiązaniem.
Aby rozwiązać nierówność sprowadzalną do nierówności wymiernej należy:
1. Ustalić dziedzinę nierówności.
2. Uporządkować nierówność, tzn. przenieść wszystkie wyrażenia na jedną stronę, doprowadzić do wspólnego mianownika i wykonać redukcję wyrazów podobnych po to, aby doprowadzić ją do jednej z postaci: lub
3. Pomnożyć obie strony nierówności przez kwadrat mianownika co sprowadzi ją do nierówności wielomianowej.
4. Rozwiązać otrzymaną nierówność.
5. Porównać rozwiązania nierówności wielomianowej z dziedziną nierówności wymiernej i ewentualnie usunąć ze zbioru rozwiązań punkty spoza dziedziny nierówności.
Powyższą „instrukcję” można modyfikować wykorzystując dodatkowe informacje dotyczące własności poszczególnych mianowników. Można również zastąpić kroki 2 i 3 pomnożeniem obu stron nierówności przez kwadrat wspólnego mianownika poszczególnych ułamków algebraicznych występujących w tej nierówności, a w konkretnych przypadkach nawet zastosować zupełnie inne postępowanie.
Przykład. Rozwiążemy nierówność
Rozwiązanie. Widać, ze musi być spełnione zastrzeżenie: Mamy
Rozkładamy na czynniki otrzymane trójmiany kwadratowe:
Szkicujemy
uproszczony wykres wielomianu i odczytujemy z niego rozwiązanie nierówności wielomianowej:
Stąd
Po uwzględnieniu zastrzeżeń ostatecznie stwierdzamy, że nierówność spełniają punkty
Koteciek