Rozdział 11. Funkcje logarytmiczne              80

11.  Funkcje logarytmiczne

Niech a będzie liczbą dodatnią, różną od jedności oraz b będzie liczbą dodatnią. Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy liczbę x będącą wykładnikiem potęgi, do której należy podnieść liczbę a, aby otrzymać liczbę b. A więc

Przykłady. Obliczymy logarytmy niektórych liczb.

a)

b)

c) Czyli

d) dla

e)

Czyli .

Niech a, b, c będą takimi liczbami, że wszystkie wyrażenia występujące w poniższych wzorach mają sens. Prawdziwe są wówczas następujące równości:

i)

ii)

iii)

iv)

v)

Logarytmy przy postawie 10 nazywają się logarytmami dziesiętnymi i w ich zapisie pomijamy podstawę, tzn. zamiast pisać piszemy log a.

Przykłady. Zastosujemy podane wzory do przekształcenia wybranych wyrażeń do innych postaci.

a)  

Zauważmy, że lewa strona równości jest prawdziwa dla a prawa strona wymaga mocniejszych założeń: Cała równość jest prawdziwa oczywiście przy tych ostatnich założeniach.

              b)

c)

Analogicznie jak w przykładzie a), lewa strona równości jest prawdziwa dla oraz a prawa strona dla oraz Zatem cała równość zachodzi dla

              d)

e)

Funkcją logarytmiczną przy postawie a, gdzie nazywamy funkcję okreś­lo­ną wzorem

Poniżej przedstawione zostały wykresy funkcji logarytmicznych  dla podstaw

oraz 

              Najważniejsze własności zdefiniowanej funkcji logarytmicznej są następujące:

i) Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich, tj. W kon­sekwencji w trakcie rozwiązywania równań i nierówności logarytmicznych konieczne jest robienie zastrzeżeń odnośnie argumentów pojawiających się funkcji logarytmicznych.

              ii) Zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest cały zbiór liczb rzeczywistych.

iii) Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa. Oznacza to, że jeżeli i to Równoważność ta jest wykorzystywana do rozwiązywania równań lo­ga­rytmicznych.

iv) Dla a > 1 funkcja logarytmiczna jest funkcją rosnącą i gdy jest ona funkcją malejącą. W konsekwencji, jeżeli i to

Te z kolei równoważności mają kluczowe znaczenie dla rozwiązywania nierówności logarytmicznych.

              Uwaga. Naszkicujmy w tym samym układzie współrzędnych prostą o równaniu oraz wykresy funkcji

Jeżeli porównany wykres funkcji z wykresem funkcji , to zauważymy, że wykresy te są symetryczne względem osi symetrii Sugeruje to, że funkcje f i g są względem siebie wzajemnie odwrotne. Rzeczywiście tak jest, gdyż

W ogólnym przypadku zachodzi następujący fakt:

Jeżeli to dla funkcji i zachodzą zależności:

              Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma x występuje w wyra­żeniach logarytmowanych lub podstawach logarytmów.

Przykłady.   Prześledzimy na wybranych przykładach problemy związane z rozwiązywaniem równań logarytmicznych.

a)                                                           

Rozwiązanie. Zaczynamy od zastrzeżeń:

Dla mamy:

Zauważmy, że możliwość obustronnego opuszczenia znaku logarytmu, z której skorzystaliśmy, jest konsekwencją różnowartościowości funkcji logarytmicznej. Liczba będąca drugim rozwiązaniem równania kwadratowego nie należy do dziedziny równania.

b)                                                                         

Rozwiązanie. Zastrzeżenie: x > 0. Dzięki różnowartościowości funkcji logarytmicznej możemy obie strony równania logarytmować:

Podstawiamy

Wracając do niewiadomej x mamy

Obie wyznaczone liczby należą do dziedziny równania, wiec są jego rozwiązaniami.

c)                                              

Równanie ma sens dla wszystkich x. Mamy

Podstawiając otrzymujemy

Stąd Pierwsze z równań jest sprzeczne, drugie daje rozwiązanie

d)                                                        

Rozwiązanie. Zastrzeżenia:

Otrzymaliśmy koniunkcję warunków sprzecznych ze sobą i dlatego dziedziną równania jest zbiór pusty. Równanie takie nie może mieć rozwiązań.

e)                                             .

Rozwiązanie. Zastrzeżenia:

Mamy dla

Rozwiązaniem równania jest liczba 6.

f)                                                           

Rozwiązanie. Zastrzeżenie: x > 0. Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu:

Znalezione rozwiązanie jest zgodne z zastrzeżeniem.

g)               ...