Permutacja „bez”-zbioru n-elemen. nazywamy zbiór składający się

z n-uporządkowanych i różnych elementów danego zbioru Wariacje

„bez”-k-elementową w.b.p. zbioru n-elem.nazywamy zbiór uporzą-

-dkowany składający sie z k-róznych elementów wybranych sposród

n-elementów danego zbioru. W.z.P.-k-elementowych w.z.p. zbioru

n-ele. nazywamy zbiór uporządkowany, składający się z k-róznych

lub nie różniących się miedzy sobą ele. wybranych spośród n-elem.

danego zbioru.Kombinacje”bez”-k-ele. k.b.p.zbioru n-elem. nazywa-

-my zbiór skład. się z k-różnych elem. wybranych spośród n-elem.

danego zbioru przy czym kolejność wyboru elem. nie jest ważna.

K.z.p.-k-elem. k.z.p. zbioru n-elem. nazywamy zbiór skł. się z k-rózn-

-ych lub nie różniących się miedzy sobą elem. wybranych spośród

n-elemDanegoZbioruPrzyCzymKolejność wyboru ele.nie jest ważana

Prawdopodob.-def. Aksjomatyczna-P. zdarzenia A należącego do

ciała zdarzeń S nazywamy liczbę P(A) o następ. własnościach *0<

P(A)<1*P(U)=1*P(AuB)=P(B)jeśliA^B=Q def.Klasyczna-jeżeli

przestrzeń zdarzeń U składa się z n-jednakowo możliwych zd. elem.

wzajemnie rozłącznych i zdarzeniu A sprzyja k spośród tych zd. to

p.zda.A nazywamy liczbę P(A)=k/n własności prawd-*p. zdarzenia

nimożliwegoP(Q) = 0 *P.sumy zdarzeń P(AuB)=P(A)+P(B)-P(A^B)

*P.różnicy zdarzeń P(A/B)= P(A)-P(A)*P.zdarze. przeciwnegoP(A)=

1-P(A)Zmienna losowa *ciągła-def. z.l. x jest zmienną l.c.jeśli istnie-

-je taka nieujemna funkcja f(x)że; F(x)=P(x<x)=/f(t)dt Z.L. dyskreta-

z. którą przyjmuje skończony lub przeliczalny zbiór wartości (przeli-

-czalny=równy liczbie wszystkich liczb naturalnych) z.l.dyskretna def-

jesli x1, x2....xn są wartościami z.l. x to funkcją P(x=xi)=Pi przypisująca

wartościom p. nazywa sie <-- rozkładem z.l. dyskretnej. Populacja-

zbiorowośc stat. tzn. zbiór dowolnych elem.nieidentycznych z punktu

widzenia badanej cechy(badanych cech) Próba-część(podzbiór)popu-

lacji podlegający bezpośrednio badaniu ze względu na ustaloną cechę

w celu wyciągnięcia wniosków o kształtowaniu się wartości tej cechy

w pop. Próba losowa-p. której elem. wybierane są z całej pop. w

drodze losowania tzn. w taki sposób że jedynie przypadek decyduje o

tym który elem. pop. wchodzi do próby a który nie P.reprezentatywna-

p. której struktura pod względem badanej cechy nie różni się istotnie

od struktury pop. Jest ona miniaturą pop. daje więc podstawę do wysu-

wania prawidłowych wniosków o pop.Powinna być*losowa *dostate-

cznie liczna Parametry pop-par. rozkładu badanej cechy w pop. które

charakteryzują rozkład cechy(par. rozkł. teoretycznego)miary skupienia-

wartość śr.,mediana m. rozrzutu-wariancja,odchy.stan. m. korelacji-pop.

badana ze względu na 2 lub wiele cech Parametry próby-s 2 lub

Estymator-statystyka z próby(funkcja elem. próby)służąca do wyzna-

-czania(oceny,oszacowania)nieznanej wartości parametru rozkładu pop.

est. jest zm. los.-posiada rozkład: Np. Stat. X jest estymatorem n

Metody wyznaczania est-*najmniejszych kwadratów-Niech x1,x2..

xn oznaczają wartość próby oraz L1,L2..Ln oznaczają parametry rozk-

ładu po. które chcemy oszacować na podstawie próby. Zakładamy ze

istnieje funkcja wiążąca parametry L1 z elem. x1 x1=fi(L1,L2,..Ln)+

ei  ei=xi-fi(L1,L2.. Ln) reprezentuje błąd losowy tzn. wpływ czynników

losowych które powodują że x1=/=fi    Tworzymy funkcję S=sumie

kwadratów różnic między xi i fi   S=E(xi-  (L1, L2..Ln)]2 = Eei 2

S jest funkcją r-zmiennych L1,L2..L3 Estymatory L1 które minimalizują

funkcję S nazywamy est. najmniejszych kwadratów. M. największej

wairygodności- Funk. wiarygodności L(ly)(L1,L2..Ln) jest prawdop.

otrzymania zaobserwowanej próby x1,x2..xn M.N.W. polega na takim

doborze est. parametrów L1,L2..Ln żeby funkcja wiarygodnosci L(ly)

osiagneła wartość największą tzn. na oszacowanie wartości parametrów

L1,L2..Lnby prawd. otrzymania zaobserwowanej próby x1,x2..xn było

możliwie największe.Przedział (U1,U2) nazywamy przedziałe ufności

a prawd. z jakim on zawiera parametr-poziomem ufnosci=wspołcz. ufno.

Przed. uf-jest p. uf. parametru Q określonym na poziomie uf 1-L jesli

prawdop.że Q lezy w tym przedziale jest równe 1-L tzn. P(U1<Q<U2)=

1-L Wyznaczanie p.uf- *P uf. dla śr  n na poziomie uf . 1-L wyznacza się

jako

gdzie UL  jest wartościa standaryzowanej zmiennej los. o rozkładzie norm.

taką że F(UL)=2-L/ 2 <-- znane odchyl standardowe

*p. mała pobrana z pop o rozkładzie         z nieznanym odch st. Przedział

uf dla     na poziomie 1-L wyznacza sie jako

gdzie s(jako od.st. w próbie) jest oszacowaniem        jest wartościa

statystyki o rozkładzie t-Studenta z (n-1) stopniami swob. dla której

*Próba jesy duża (n>30) i pobrano ja z pop. o dowolnym rozkładzie

nie są znane

gdzie UL wyznacza sie z tablic dystr. rozkładu normalnego.

Hipotezy-statystyczna-każdy sąd o rozkładzie cechy w pop. (lub o

parametrach populacji) można zwerfikować na podstawie wyników bada-

-nia próby losowej pobranej z tej pop. –zerowa-h. która ma być werfoko-

-wana –dopuszczalna=alternatywna- h. która uznajemy za możliwą.

Współczynnik korelacji liniowej- *własności: *r jest liczbą bez miana

*1-<r<1 *Jesli r=0 to oznacza że miedzy cecha,o nie ma zaleźności liniow.

*Jesli r= -1 lub r= 1 to oznacza że jedna cecha jest funkcją liniową drugiej

*jesli r >o to oznacza że wrac ze wzrostem wartości jednej z cech wzrasta

wartośc drugiej cechy *jesli r<0 to oznacza że wraz z wzrostem wartości

jednej z cech maleje wartość drugiej cechy *Niska korelacja jesli !r!<0,4

*średnia 0.4<!r!<0,8 *wysoka !r!<0,8 Regresja liniowa- jesli badamy pop

ze wzgledu na dwie cechy X i Y to można zastanowiś się czy zmienną Y

(zależną) da się przedstawić jako liniową funkcję zmiennej X (niezależnej)

Zaleznosci liniową można przedstawić jako Y=by x +a   by x- wspołczynnik

reg. lin. Y na X a- wspoł. „pzesuniecie” model (metemat)regresji liniowej-

yi-wartość i-tej obserwacji zmiennej zaleznej Y xi- war. i-tej obserwacji zm.

niezależnej X  ei-wartosc błędu losowego, zwiazana z i-tą obserwacją tzn.

z yi  Zakłąda się ze xi sa znane bez błędu: * estymacja parametrów by x  i

a  *ocena istotnosci wposółczynnika reg. lin. (tzn.weryfikacja hipotezy

Ho: by x= 0)  wzór  b i a

interpretacja współczynnika regresji b; b wskazuje o ile zmieni sie

(wzrosnie lub zmaleje) wartość cechy Y gdy wartość cechy X wzroscnie

o jedną jednostkę   Modele klasyfikacji pojedynczej-

w którym występuje jedno kryterium podziału na grupy(1 czynnik)

M.K. krzyżowej-

w którym wystepują dwa kryteria podziału na grupy (2 czyniki)

M.K. hierarhicznej-

w którym uwzględnione są podgrupy w obrębie grup(jeden czynnik

działający w obrębie drugiego czynnika)

Test zgodnosci X2 słuzy do weryfikacji hipotezy zerowej Ho nast-

epującej postaci Ho: rozkładm zm.los.(cechy) X w badanej pop.jest

rozkładem określonego typu  przy hip.alter. będącej zaprzeczneniem

Ho tzn. HA :~(rozkład X jest rozkładem...)test ten opiera sie na porów-

-naniu rozkładu cechy w próbie (czyli rozkł. empirycznego)z założo-

-nym rozkładem cechy w pop (czyli rozkł, teoretycznym)

Def:jeśli X jest funkcją określoną na przestrzeni zdarzeń U to  zbiór Ae={eєU:X(e)<x}nazywamy przeciwobrazem półprostej Ix=(-∞,x)/Def:Funkcję X określona na przestrzeni zdarzeń o wart. rzeczy. R nazywamy zmienną losową jeśli dla każdego xєR przeciwobraz półprostej Ix=(-∞,x) jest zdarzeniem X:Uэe→X(e)єR/ Zmienna losowa dyskretna-zmienna która przyjmuje skończony lub przeliczalny zbiór wartości/Def:Jeśli x1,x2…xn są warto ościami zmiennej losowej X to funkcja P(X=x1)=p1 przypisuj ca wartościom prawdopodobieństwa nazywa się rozkładem z.l.dyskretnej/rozkład z.l.dyskretnej-skończony lub przeliczalny ciąg prawdopodobieństw 0≤pi≤1 takich,że ∑pi=1 / Def: dystrybuanta z.l.X-funkcja F taka, że  F(x)=P(X<x) F:Rэx→P(X<x)є<0,1>єR  F(x)= P(X<x)=P(e:X(e)<x)/ Własności dystrybuanty-1. Funkcja co najmniej lewostronnie ciągła  2. Funkcja niemalejąca  3. F(-∞)=0 F(+∞)=1 F(+-∞)=limf(limf) DODATKOWO P(a≤X<b)=F(b)-F(a) P(X≥a)=1-F/(a) Dla z.l.dyskretnych F(x)=P(X<x)=∑pi / def:Z.l X jest z.l. ciągłą jeśli istnieje taka funkcja , f(x)że F(x)=P(X<x)=∫f(t)dt funkcja f(x) – gęstośc rozkładu/własności funkcji gęstości 1. f(x)≥0 , xєR  2. ∫f(x)dx=1  3. P(a<X<b)=∫f(x)dx  jeśli f spełnia warunki 1. i 2. to istnieje z.l. dla której f jest gęstością /własności z.l. ciągłej:1. dystrybuanta nie posiada skoków  2. przyjmuje nieprzeliczalny zbiór wartości  3. P(X=x0)=0 mimo że (X=x0) nie jest zd. niemożliwym/parametry rozkuł z.l.: wartośc średnia-dyskretna: E(X)=∑xipi   ciągła: E(X)=∫xf(x)dx | wariancja: dyskretna: V(X)=(xi-E(X))2*pi  ciągła: ∫(x-E(X))2f(x)dx | odchylenie standardowe σ-√z wariancji | współczynnik zmienności:CV=(√(V)(X))/E(X)=σ/μ  jest miarą rozproszenia w której za jednostkę przyjęto wartość średniej|mediana:wartość z.l. X która dzieli obszar zmienności zmiennej na takie 2 części że przwdopodob trafienia do każdej z nich wynosi ½ tzn P(X<x)=P(X≥x)=1/2 | moda: najbardziej prawdopodobna (najczęściej występująca )wartość z.l. /Własności wartości średniej i wariancji :1. E(a)=a 2. V(a)=0  3.E(X+Y)=E(X)+ E(Y)  4.E(a*X)=a2*E(X)  5. E(X-Y)=E(X)-E(Y)  6.V(a*X)=a2*V(X) 7. jeśli X i Y są niezależnymi z.l. to V(X+Y)=V(X)+V(Y)  V(X-Y)=V(X)-V(Y) 8. ZACHODZI WAŻNY ZWIĄZEK: V(X)=E(X2)-(E(X))2       jeśli X- z.l. to Y=X-E(X) JEST ZM. SCENTROWANĄ[E(Y)=0]  oraz y=(X-E(X)/(√V(X) jest zm standaryzowaną [E(Y)=0 , V(Y)=1] /ROZKŁADY Z.L. CIĄGŁYCH: dwupunktowy:z.l. przyjmuje 2 wartości ,zb wart {0,1} rozkład P(xi)= p gdy xi=1  q gdy xi==0   p+q=1