Teoria ANALIZA.pdf

(410 KB) Pobierz
Analizamatematyczna2
16czerwca2012
Spistre–ci
1Ca“kaRiemanna 2
1.1W“asno–cica“kiRiemanna.......................... 2
1.2Ca“kiniew“a–ciwe............................... 3
1.3Kryteriazbie»no–ci.............................. 3
1.4Zastosowaniageometryczneca“kiRiemanna................ 4
2Szeregiliczbowe 4
2.1Kryteriazbiezno–ciszereg ó w......................... 4
3Ci¡giiszeregifunkcyjne 5
3.1Ci¡gifunkcyjne................................ 5
3.2Szeregifunkcyjne............................... 6
3.3Szeregipotƒgowe............................... 7
3.4SzeregTayloraiMaclaurina......................... 7
4Przestrzeniemetryczneiunormowane 8
4.1Elementytopologii.............................. 9
5Funkcjewieluzmiennych 9
5.1Granicafunkcji................................ 9
5.2Ci¡g“o–¢funkcji................................ 9
5.3Pochodneir ó »niczkowalno–¢funkcjiwieluzmiennych........... 10
5.4Pochodnecz¡stkowewy»szychrzƒd ó w.................... 10
5.5Ekstremafunkcjiwieluzmiennych...................... 10
6Funkcjewektorowe
11
7MiaraJordana
12
n
8Ca“kaRiemannawR
12
1
1054874219.016.png 1054874219.017.png
 
1Ca“kaRiemanna
De nicja1(Ci¡gnormalnypodzia“ ó w).Ci¡gpodzia“ ó w((n))nazywamynormalnym,je–li ((n)) n!1
!0
De nicja2(Sumyca“kowe).
Dolnasumaca“kowa: s n =s n ( n )=
k n P
i=1
m (n i (x (n i x (n)
i1 ) m (n i =inf(f(x)) x 2[x (n)
i1 ;x (n i ]
G ó rnasumaca“kowa: S n =S n ( n )= P k n
i=1 M (n i (x (n i x (n)
i1 ) M (n i =sup(f(x)) x 2[x (n)
i1 ;x (n i ]
Sumaca“kowaRiemanna: n = n ( n )= P k n
i=1 f( (n i )(x (n i x (n)
i1 )
De nicja3(Funkcjaca“kowalnawsensieRiemanna).
Funkcjafjestca“kowalnawsensieRiemannana[a;b],instnieje 2Rtaka,»edladowolnegonormalnegoci¡gupodzia“ ó w
k n P
i=1
f( (n i )(x (n)
x (n)
( n )orazdladowolnegowarto–ciowaniategoci¡gu(! n )mamy lim
n!1 n ( n ;! 0 )=lim
i1 ),to
i
n!1
R
a
nazywamyca“k¡Riemannafunkcjifna< a;b >ioznaczamy
(f(x)dx
Twierdzenie1. f:[a;b]!R(ograniczona)jestca“kowalnawsensieRiemannana[a;b], s=S
Twierdzenie2.Ka»dafunkcjamonoticznaiograniczonana[a;b]jestca“kowalnawsensieRiemannana[a;b]
Twierdzenie3.Ka»dafunkcjaci¡g“ana[a;b]jestca“kowalnawsensieRiemannana[a;b]
1.1W“asno–cica“kiRiemanna
1. f;g :[a;b] !R; fx 2 [a;b]: f(x)6=g(x)gjestzbioremsko«czonym)fjestca“kowalnana[a;b] ,gjest
R
a
R
a
ca“kowalnana[a;b].Wprzypadkuca“kowalno–ci
f(x)dx=
g(x)dx
R
a
R
a
R
a
2.
(f(x)+g(x))dx=
f(x)dx+
g(x)dx
3. f:[a;b]!Rca“kowalnana[a;b])fjestca“kowalnanakazdympodprzedziale[a;b]
R
4. f :[a;b] !R; c 2 [a;b],fjestca“kowalnana[a;c]oraz[c;b] )fjestca“kowalnana[a;b]oraz
f(x)dx=
a
R
a
R
c
f(x)dx+
f(x)dx
R
5. f:[a;b]!Rca“kowalnana[a;b],8x 2[a;b] f(x)0)
f(x)dx 0
a
R
R
6. f;g:[a;b]!Rca“kowalnena[a;b],8x 2[a;b] f(x) g(x))
f(x)dx
g(x)dx
a
a
R
a
R
a
7. f:[a;b]!Rca“kowalnana[a;b]) jfjte»jestca“kowalnana[a;b]orazj
f(x)dxj
jf(x)jdx
8. f:[a;b]!Rca“kowalnana[a;b]) R
a
f(x)dx sup
x2[a;b]
f(x)(ba)
9.Podstawowywz ó rrachunkuca“kowego
f :[a;b]!Rfunkcjaci¡g“a, (x) dowolnafunkcjapierwotnadlaf(x),toznaczy 0 (x)=f(x)) R
a
f(x)dx=
(b)(a)
10.Ca“kowanieprzezpodstawienie
f:[a;b]!R,funkcjaci¡g“a, g:[a;b]!R; g 2 C 1 ([a;b])
=g(a); =g(b)
R
R
f(g(x))g 0 (x)dx=
f(t)dt;gdziet=g(x)
a
2
Dow ó d.
Niech(x)bƒdziefunkcj¡pierwotn¡dlaf(x),toznaczy 0 (x)=f(x); P=
R
f(t)dt=()()
[(g(x))] 0 = 0 (g(x))g 0 (x)=f(g(x))g 0 (x)) (g(x))tofunkcjapierwotnafunkcji f(g(x))g 0 (x)
R
f(g(x))g 0 (x)dx=(g(b))(g(a))=()()
L=
a
L=P
11.Ca“kowanieprzezcze–ci
u;v:[a;b]!R funkcjeklasyC 1
R
R
u(x)v 0 (x)dx=[u(x)v(x)] a
u 0 (x)v(x)dx
a
a
Dow ó d.
[u(x)v(x)] 0 =u 0 (x)v(x)+u(x)v 0 (x)
R
a
R
a
R
a
R
a
[u(x)v(x)] 0 dx=
(u 0 (x)v(x)+u(x)v 0 (x))dx=
u 0 (x)v(x)dx+
u(x)v 0 (x)dx ()
u(x)v(x)tofunkcjapierwotna[u(x)v(x)] 0
R
[u(x)v(x)] 0 dxu(b)v(b)u(a)v(a)=[u(x)v(x)] a ()
a
R
a
R
a
():())[u(x)v(x)] a =
u 0 (x)v(x)dx+
u(x)v 0 (x)dx
R
u(x)v(x)dx=[u(x)v(x)] a R
a
u 0 (x)v(x)dx
a
12.Twierdzenieowarto–ci–redniejrachunkuca“kowegof;g:[a;b]!R funkcjeci¡g“e,gjestnieujemna(niedodatnia)
R
a
R
a
9 2[a;b]
f(x)g(x)dx=f()
g(x)dx
1.2Ca“kiniew“a–ciwe
De nicja4(Ca“kaniew“a–ciwaIrodzaju).
R
f:[a;1)!Rca“kowalnana[;]8 > orazistniejegranica lim
!1
f(x)dx )granicƒtƒnazywamyca“kaniew“a–ciw¡
R
R
pierwszegorodzajuioznaczamy
f(x)dx
Ponadtoje–ligranicataistniejeijestsko«czonatoca“kƒniew“a–ciw¡nazywamyzbie»n¡.Natomiastwpozosta“ych
przypadkachca“kƒniew“a–ciw¡nazywamyrozbie»n¡.
f(x)dx:=lim
!1
De nicja5(Ca“kaniew“a–ciwaIIrodzaju).
R
f :[a;b)!Rca“kowalnana[;] 8a < < borazistniejegranica lim
!b
f(x)dx )granicƒtƒnazywamyca“ka
a
R
R
niew“a–ciw¡drugiegorodzajuioznaczamy
f(x)dx
Ponadtoje–ligranicataistniejeijestsko«czonatoca“kƒniew“a–ciw¡nazywamyzbie»n¡.Natomiastwpozosta“ych
przypadkachca“kƒniew“a–ciw¡nazywamyrozbie»n¡.
f(x)dx:=lim
!b
a
1.3Kryteriazbie»no–ci
Twierdzenie4(Kryteriumpor ó wnawcze).
f;g:[a;b)!Rca“kowalnana[;] 8a < < boraz8x 2[a;b) 06 f(x) g(x)Wtedy:
R
a
R
a
g(x)dxjestzbie»na)
g(x)dxte»jestzbie»na
R
R
f(x)dxjestrozbie»na)
g(x)dxte»jestrozbie»na
a
a
R
a
R
a
Twierdzenie5. f:[a;b)!Rca“kowalnana[;] 8a < < boraz
jf(x)jdxjestzbie»na,to
f(x)dxte»jestzbie»na.
M ó wimywtedy,»ejestzbie»nabezwzglƒdnie.
3
1054874219.018.png 1054874219.001.png 1054874219.002.png 1054874219.003.png 1054874219.004.png
1.4Zastosowaniageometryczneca“kiRiemanna
Twierdzenie6(Polezbiorup“askiego).
R
f:[a;b]!Rfunkcjanieujemnaici¡g“a, D=f(x;y)2R 2 :x 2[a;b[;y 2[0;f(x)]poleD=jDj=
f(x)dx
a
Twierdzenie7(D“ugo–¢“uku).
Niechf: [a;b]!R funkcjaklasyC 1 .W ó wczsd“ugo–¢“ukuopisanegor ó wnaniemy=f(x);x 2[a;b]danajestwzorem
q
R
1+[f 0 (x)] 2 dx
L=
a
Twierdzenie8(Objƒto–¢bry“y).
Niechf:[a;b]!R funkcjaklasyC 1 orazVoznaczabry“ƒpowsta“¡poprzezobr ó tdooko“aosiOXkrzywej y=f(x);x 2
R
a
f 2 (x)dx
[a;b].W ó wczsobjƒto–¢VdanajestwzoremV=
2Szeregiliczbowe
De nicja6(sumyszereguliczbowego).
Je–liistniejesko«czonalubnie lim
P
n=1
P
n=1
n!1 S n ,tonazywamyj¡sum¡szeregu
a n izapisujemy
a n =lim
n!1 S n .Je–li
P
n=1
n!1 S n jestsko«czona,toszereg
a n nazywamyzbieznym;wpozosta“ychprzypadkach(toznaczygdygranicajest
niesko«czonalubnieistnieje)szeregtennazywamyrozbie»nym
lim
Twierdzenie9(Warunekkoniecznyzbie»no–ciszeregu).
P
n=1
a n jestzbie»ny) lim
n!1 a n =0
P
n=1
a n jestzbie»ny)(S n )jestzbie»ny;oznaczamyS n n!1
Dow ó d.Zak“adamy,»e
! S
a n =S n S n1 n!1
! SS=0
Przyk“ad1(Powy»szywarunekniejestwarunkiemdostatecznym).
P
n=1
1
n niejestzbiezny,mimo»e lim
n!1
1
n =0
Twierdzenie10(WarunekCauch’egozbie»no–ciszeregu).
Szereg
P
n=1
a n jestzbie»ny,spe“niawarunekCauch’ego,toznaczy
8" >0 9N 8m > n > N ja n+1 +a n+2 ++a m j < "
Twierdzenie11(Omno»eniuszereguprzezsta“¡).
P
n=1
P
n=1
P
n=1
P
n=1
a n jestzbie»nyi 2Rw ó wczasszereg
a n jestzbie»nyi
a n =
a n
Twierdzenie12(Ododawaniuiodejmowaniuszereg ó w).
P
n=1
P
n=1
P
n=1
P
n=1
P
n=1
P
n=1
P
n=1
a n ;
b n s¡zbie»new ó wczasszereg
a n
b n jestzbie»nyi
a n
b n =
(a n b n )
2.1Kryteriazbiezno–ciszereg ó w
Twierdzenie13(Kryteriumpor ó wnawcze).
8n 2N06 a n 6 b n ,w ó wczas
P
n=1
P
n=1
b n jestzbie»ny)
a n jestzbie»ny
P
n=1
P
n=1
a n jestrozbie»ny)
b n jestrozbie»ny
Twierdzenie14(Kryteriumd’Alemberta).
Niech8n 2N a n >0iistniejegranica lim
n!1
a n+1
a n =g,w ó wczas
g <1) P
n=1
a n < 1
4
1054874219.005.png 1054874219.006.png
P
n=1
g >1)
a n =1
g=1)?
Twierdzenie15(KryteriumCauch’ego).
Niech8n 2N a n >0ioznaczamyg=limsup
n!1
n p a n ,w ó wczas
g <1) P
n=1
a n < 1
P
n=1
g >1)
a n =1
g=1)?
Twierdzenie16(Kryteriumca“kowezbie»no–ciszeregu).
f:[1;1)!Rfunkcjanieujemnainierosn¡ca.Wtedy
R
P
n=1
f(n)jestzbie»ny,
f(x)dxjestzbie»na.
n=1
Twierdzenie17(KryteriumDirichleta).
)
(a n )toci¡gnierosn¡cyitaki»e lim
n!1 a n =0
(b n )toci¡gtaki»eci¡gsumczƒ–ciowychjestograniczony 1
) P
n=1
a n b n jestzbie»ny
Twierdzenie18(KryteriumLeibniza).
(a n )toci¡gnierosn¡cyitaki,»e lim
n!1 a n =0) P
n=1
a n (1) n+1 =a1a 2 +a 3 a 4 +::: jestzbie»ny
( 1 n=2k+1
0 n=2k )8n 2N06 b 1 +b 2 ++b n 61to
znaczyci¡g(b 1 +b 2 ++b n )jestograniczony.S¡spe“nioneza“o»eniakryteriumDirichleta) P
n=1
Dow ó d.Niechb n =(1) n+1 ,w ó wczasb 1 +b 2 ++b n =
P
n=1
a n (1) n+1
a n b n =
jestzbiezny.
P
n=1
P
n=1
De nicja7.Szereg
a n jestzbie»nybezwzglƒdnie,
ja n jjestzbie»ny.
De nicja8.Szeregkt ó ryjestzbie»nyaleniejestzbie»nybezwzglƒdnienazywamyzbie»nymwarunkowo.
P
n=1
P
n=1
P
n=1
P
n=1
Twierdzenie19.Szereg
a n jestzbieznybezwzglƒdnie)Szereg
a n jestzbie»nyij
a n j6
ja n j
3Ci¡giiszeregifunkcyjne
3.1Ci¡gifunkcyjne
De nicja9(Punktowejzbie»no–ci).
M ó wimy,»eci¡gfunkcyjny(f n )jestzbie»nydofunkcji f(punktowo)
,8x 2 A lim
n!1
f n ( x )
| {z }
ci¡gliczbowy
=f(x)
|{z}
liczba
,8x 2 A 8" >09N=N(";x)8n > N jf n (x)f(x)j < "
,oznaczamyf n ! f
De nicja10(Jednostajnejzbie»no–ci).
M ó wimy,»eci¡gfunkcyjny(f n )jestzbie»nydofunkcji f(jednostajnie)
,8" >09N=N(";x)8n > N 8x 2 A jf n (x)f(x)j < "
,oznaczamyf n f
Twierdzenie20(Warunekr ó wnowa»nyzbiezno–cijednostajnejci¡gufunkcyjnego).
f;f n :A !R.W ó wczasf n f , lim
n!1 sup
x2A
jf n (x)f(x)j=0
1 toznaczy9M2R8n2Njb 1 + b 2 + :::b n j6M
5
1054874219.007.png 1054874219.008.png 1054874219.009.png 1054874219.010.png 1054874219.011.png 1054874219.012.png 1054874219.013.png 1054874219.014.png 1054874219.015.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin