rach prawd przyp.docx

·         Współczynniki dwumianu Newtona
Dla określamy liczbę
            (symbol czytamy ,,n nad k").
Jest to liczba wyrazowych podzbiorów, jakie można utworzyć ze zbioru -elementowego.
Z równości

wynika, że liczba wszystkich podzbiorów - włączając w to zbiór pusty i cały zbiór - jakie można utworzyć ze zbioru -elementowego jest równa 2n.

·         Ciągi i zbiory elementów
(a,b) - para uporządkowana (ciąg) dwóch elementów, ważne jest to jakie elementy ją tworzą, ale także ich kolejność,
{a,b} - para nieuporządkowana (zbiór) dwóch elementów, kolejność nie jest ważna, {a,b} = {b,a}.
Podobnie dla trójek:
(a,b,c) - uporządkowana trójka, czyli ciąg z trzech elementów,
{a,b,c} - zbiór trójelementowy.

·         Liczbę elementów zbioru A nazywamy mocą tego zbioru i oznaczamy lub |A|.

·         Jeżeli to moc  
zawsze, dla dowolnych A i B:    

Schematy wyboru
 
Niech A będzie zbiorem skończonym -elementowym
                  
Zajmiemy się losowym wybieraniem elementów spośród elementów tego zbioru.
Przed przystąpieniem do losowania trzeba ustalić:
1. czy istotna jest kolejność w jakiej wybieramy elementy. Inaczej - czy z wylosowanych elementów tworzymy ciąg czy zbiór,
2. czy wybrany element jest zwracany do zbioru A. Inaczej - czy losowanie jest ,,bez zwracania" czy ,,ze zwrotem".

Zasady przeliczania

Prawo (reguła) mnożenia
Jeżeli pewna procedura (pewien wybór) może być rozbita na kolejnych kroków z wynikami w pierwszym kroku, wynikami w drugim kroku, ... , wynikami w -tym kroku, to cała procedura może być zrealizowana na sposobów. 

Prawo dodawania
Jeżeli zbiory A i B są rozłączne, tzn. gdy to 
                    

Tak samo dla większej liczby rozłącznych zbiorów.

Przelicznie zbiorów (liczby wyborów) metodą pymitywną tzn. przez wypisanie wszystkich możliwości, ma sens wówczas, gdy liczba elementów zbioru jest mała. W przeciwnym razie trzeba znać wzór na liczbę wyborów lub metodę przeliczania. Są cztery podstawowe schematy zliczania - schematy kombinatoryczne.

1. Losujemy bez zwracania elementów i ustawiamy je kolejno - tworzymy -wyrazowy ciąg. Każdy z powstałych ciągów nazywa się wariacją bez powtórzeń z elementów po elementów.

Wszystkich wariacji bez powtórzeń z elementów po elementów  jest
         

2. Losujemy ze zwrotem elementów  i ustawiamy je kolejno - tworzymy -wyrazowy ciąg. Każdy z takich ciągów nazywa się wariacją z powtórzeniami z elementów po elementów.

Wszystkich wariacji z powtórzeniami z elementów po elementów  jest
                                          

3. Mamy zbiór elementowy. Elementy tego zbioru ustawiamy w ciąg lub - co na jedno wychodzi - numerujemy je od 1 do Każdy z takich ciągów nazywa się permutacją elementów.

Liczba wszystkich możliwych sposobów ustawienia (permutacji) różnych elementów jest równa 
                           

4. Mamy zbiór elementowy. Wybieramy z niego elementów  bez zwrotu i tworzymy z nich zbiór, kolejność nie ma znaczenia. Każdy z takich zbiorów nazywamy kombinacją -elementową ze zbiorów -elementowego.

Wszystkich kombinacji z elementów po elementów  jest
              

Dołączamy jeszcze: 

1. Wzór na liczbę podziałów niepustego zbioru. Niech A będzie zbiorem -elementowym, który dzielimy na rozłącznych podzbiorów składających się z elementów Liczba różnych takich podziałów wyraża się wzorem:
                 
Np. Liczba różnych rozdań 52 kart po 13 dla każdego z czterech grających w brydża jest równa
              

2. Wzór na liczbę rozmieszczeń nierozróżnialnych kul w komórkach - czyli kombinacji z powtórzeniami:
                                                
Np. Na ile sposobów pasażerów może wysiąść z windy na piętrach?