· Współczynniki dwumianu NewtonaDla określamy liczbę (symbol czytamy ,,n nad k").Jest to liczba wyrazowych podzbiorów, jakie można utworzyć ze zbioru -elementowego. Z równości
wynika, że liczba wszystkich podzbiorów - włączając w to zbiór pusty i cały zbiór - jakie można utworzyć ze zbioru -elementowego jest równa 2n.
· Ciągi i zbiory elementów(a,b) - para uporządkowana (ciąg) dwóch elementów, ważne jest to jakie elementy ją tworzą, ale także ich kolejność,{a,b} - para nieuporządkowana (zbiór) dwóch elementów, kolejność nie jest ważna, {a,b} = {b,a}.Podobnie dla trójek:(a,b,c) - uporządkowana trójka, czyli ciąg z trzech elementów,{a,b,c} - zbiór trójelementowy.
· Liczbę elementów zbioru A nazywamy mocą tego zbioru i oznaczamy lub |A|.
· Jeżeli to moc zawsze, dla dowolnych A i B:
Schematy wyboru Niech A będzie zbiorem skończonym -elementowym Zajmiemy się losowym wybieraniem elementów spośród elementów tego zbioru. Przed przystąpieniem do losowania trzeba ustalić:1. czy istotna jest kolejność w jakiej wybieramy elementy. Inaczej - czy z wylosowanych elementów tworzymy ciąg czy zbiór,2. czy wybrany element jest zwracany do zbioru A. Inaczej - czy losowanie jest ,,bez zwracania" czy ,,ze zwrotem".Zasady przeliczania
Prawo (reguła) mnożenia Jeżeli pewna procedura (pewien wybór) może być rozbita na kolejnych kroków z wynikami w pierwszym kroku, wynikami w drugim kroku, ... , wynikami w -tym kroku, to cała procedura może być zrealizowana na sposobów.
Prawo dodawaniaJeżeli zbiory A i B są rozłączne, tzn. gdy to
Tak samo dla większej liczby rozłącznych zbiorów.Przelicznie zbiorów (liczby wyborów) metodą pymitywną tzn. przez wypisanie wszystkich możliwości, ma sens wówczas, gdy liczba elementów zbioru jest mała. W przeciwnym razie trzeba znać wzór na liczbę wyborów lub metodę przeliczania. Są cztery podstawowe schematy zliczania - schematy kombinatoryczne.1. Losujemy bez zwracania elementów i ustawiamy je kolejno - tworzymy -wyrazowy ciąg. Każdy z powstałych ciągów nazywa się wariacją bez powtórzeń z elementów po elementów.
Wszystkich wariacji bez powtórzeń z elementów po elementów jest
2. Losujemy ze zwrotem elementów i ustawiamy je kolejno - tworzymy -wyrazowy ciąg. Każdy z takich ciągów nazywa się wariacją z powtórzeniami z elementów po elementów.
Wszystkich wariacji z powtórzeniami z elementów po elementów jest
3. Mamy zbiór elementowy. Elementy tego zbioru ustawiamy w ciąg lub - co na jedno wychodzi - numerujemy je od 1 do Każdy z takich ciągów nazywa się permutacją elementów.
Liczba wszystkich możliwych sposobów ustawienia (permutacji) różnych elementów jest równa
4. Mamy zbiór elementowy. Wybieramy z niego elementów bez zwrotu i tworzymy z nich zbiór, kolejność nie ma znaczenia. Każdy z takich zbiorów nazywamy kombinacją -elementową ze zbiorów -elementowego.
Wszystkich kombinacji z elementów po elementów jest
Dołączamy jeszcze: 1. Wzór na liczbę podziałów niepustego zbioru. Niech A będzie zbiorem -elementowym, który dzielimy na rozłącznych podzbiorów składających się z elementów Liczba różnych takich podziałów wyraża się wzorem: Np. Liczba różnych rozdań 52 kart po 13 dla każdego z czterech grających w brydża jest równa 2. Wzór na liczbę rozmieszczeń nierozróżnialnych kul w komórkach - czyli kombinacji z powtórzeniami: Np. Na ile sposobów pasażerów może wysiąść z windy na piętrach?
I. Doświadczenia losowe
Rachunek (teoria) prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe.
Mówimy, że doświadczenie jest losowe, jeżeli: - można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach, - wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć.
Jako przykłady takich doświadczeń podaje się zwykle rzuty monetą lub kostką do gry, kupno losu na loterii, karty jakie można otrzymać w rozdaniu pokera itp.
II. Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Wyniku danego doświadczenia losowego nie potrafimy przewidzieć, ale możemy podać (lub opisać) zbiór, do którego należy. Zbiór ten tradycyjnie oznacza się literą .
nosi nazwę przestrzeni zdarzeń elementarnych, a jej elementy oznacza się literami i nazywa zdarzeniami elementarnymi.
W szkolnym rachunku prawdopodobieństwa przestrzeń jest zwykle zbiorem o skończonej liczbie elementów:
Przykłady
1. Jednokrotny rzut monetą. Możliwymi wynikami w tym doświadczeniu są dwa zdarzenia elementarne: wyrzucenie orła lub wyrzucenie reszki .Opisując to doświadczenie przyjmujemy:
2. Jednokrotny rzut kostką. W tym doświadczeniu:
gdzie to liczba wyrzuconych oczek.
3. Dwukrotny rzut monetą lub równoczesny rzut dwiema różnymi monetami, np. złotówką i dwuzłotówką. Teraz każde to uporządkowana para:
(wynik pierwszego rzutu, wynik drugiego rzutu)lub (wynik na złotówce, wynik na dwuzłotówce)
...
brzydzia