5Analiza-Przykłady-1.doc

1.6 funkcje parzyste i nieparzyste

Wykazywanie parzystości funkcji

Przykład 1

Dowód:

Przykład 2

Dowód:

Przykład 3

Dowód:

Przykład 4

Dowód:

1.6 funkcje parzyste i nieparzyste

Wykazywanie nieparzystości funkcji

Przykład 1

Dowód:

Przykład 2

Dowód:

Przykład 3

Dowód:

Przykład 4

Dowód:

1.6 funkcje parzyste i nieparzyste

Badanie parzystości i nieparzystości funkcji

Przykład 1

Badanie:

Odp. Badana funkcja jest parzysta

Przykład 2

Badanie:

Odp. Badana funkcja jest nieparzysta

Przykład 3

Badanie:

Odp. Badana funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta

1.8 funkcje monotoniczne

Wykazywanie, że funkcja jest rosnąca w podanym zbiorze

Przykład 1

Dowód:

Przykład 2

Dowód:

Przykład 3

Dowód:

1.8 funkcje monotoniczne

Wykazywanie, że funkcja jest malejąca w podanym zbiorze

Przykład 1

Dowód:

Przykład 2

Dowód:

Przykład 3

Dowód:

2.1 Podstawowe określenia

Przykład 1 Zbadać monotoniczność ciągu:

Badamy znak różnicy: an+1 - an

Wniosek: Ciąg określony wzorem (*) jest rosnący.

Przykład 2 Zbadać monotoniczność ciągu:

Badamy znak różnicy: bn+1 - bn

Wniosek: Ciąg określony wzorem (**) jest malejący.

2.2 Granice ciągów

Przykład: Wykazać z definicji granicy ciągu, że

Dowód: Mamy rozwiązać nierówność

względem n. Zatem:

Dla n>666 prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do przedziału (-1-0,001; -1+0,001)  Û (-1,001; -0,999)

Uwaga: Wyrażenie „prawie wszystkie wyrazy ciągu” znaczy wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem skończonej liczby wyrazów.

2.2 Granice ciągów

Przykład: Wykazać z definicji granicy ciągu, że

Dowód: Mamy rozwiązać nierówność

względem n. Zatem:

co kończy dowód.

Przykład:

Dla n>5 prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od –27.

2.2 Granice ciągów

Przykład: Wykazać z definicji granicy ciągu, że

Dowód: Mamy rozwiązać nierówność

względem n. Zatem:

co kończy dowód.

Przykład:

Dla n>3 prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od 34.

2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów

Przykład 1 Wyznaczyć granicę ciągu:

Przykład 2 Wyznaczyć granicę ciągu:

- 24 -

2.3 Twierdzenia o granicach właściwych ciągów

Przykład 3 Wyznaczyć granicę ciągu:

...