ODP 6.pdf

Zad. 1.

Rzut ukośny możemy traktować jako złożenie dwóch ruchów: ruchu jednostajnie zmiennego

względem osi poziomej x oraz jednostajnie zmiennego wzdłuż osi pionowej y. Gdy wyrzucamy

ciało z prędkością v 0 początkową pod kątem α:

v 0y

v 0

v 0x

Wektor prędkości początkowej możemy podzielić na składową poziomą i pionową, między którymi

zachodzi zależność:

v 0x = v 0 cos

v 0y = v 0 sin

v 0x

 v 0y

= v 2

Energię kinetyczną możemy również podzielić na składowe, między którymi zachodzi:

v 0x

 v 0y

= v 2

mv 0x

2  mv 0y

2 = mv 2

E kx  E ky = E k

Składowa E kx ulegnie zamianie na energię potencjalną:

 E kx = E p

E kx = E pmax

Zatem maksymalnej energii potencjalnej do maksymalnej energii kinetycznej wynosi:

mv 0x

E k = E kx

= v 0x

2 = v 2 sin 2 

E kx  E ky =

v 2 sin 2  v 2 cos 2  =sin 2 

2  mv 0y

v 0x

 v 0y

E pmax

mv 0x

Zad. 2.

Mamy tutaj do czynienia ze zderzeniem całkowicie niesprężystym. Masy ulegają połączeniu przy

spełnieniu zasady zachowania pędu:

p 1  p 2 = p 3

p1 i p2 oznaczają pędy ciał przed zderzeniem, natomiast p3 to pęd układu po zderzeniu. Po

podstawieniu:

m v  M ⋅0= m  M ⋅ v '

v = m  M

M ⋅ v '

gdzie v to prędkość pocisku przed zderzeniem, a v' to prędkość początkowa układu po zderzeniu.

Kosztem uzyskanej energii kinetycznej prędkości v' układ ciał wzniesie się na wysokość h, zyskując

energię potencjalną:

 E k = E p

m ⋅ v ' 2

2 = m ⋅ g ⋅ h max

v ' =  2⋅ g ⋅ h max

Wysokość maksymalną wyznaczamy z warunków zadania, korzystając z rysunku.:

60 O

h max

h max = l cos 60 O

Prędkość pocisku przed zderzeniem wynosi zatem:

M ⋅ v ' = m  M

M ⋅  2⋅ g ⋅ h max = m  M

M ⋅  2⋅ g ⋅ l cos 60 O

[ v ]= kg

kg ⋅

 s 2 ⋅ m = s

v = m  M

Zad. 3.

Podczas zsuwania się każdego ciał energia potencjalna zamieniana jest na kinetyczną. U spodu

równi ciała będą mieć prędkości równe odpowiednio:

2 = m g R ⇒ v 1 =  2gR

v 2 =  2gR

Po zderzeniu niesprężystym ciała ulegną połączeniu. Ich prędkość początkową można wyliczyć

korzystając z zasady zachowania pędu:

p 1  p 2 = p 3

m 1 v 1  m 2 v 2 = m 1  m 2 ⋅ v '

Ponieważ wartości v1 i v2 są identyczne (ich zwroty są przeciwne!!!), a do tego zakładamy, że ciało

2 jest k razy cięższe od ciała 1.

p 1  p 2 = p 3

m 1 ⋅− v 1  k m 1 v 1 = m 1  k m 1 ⋅ v '

v 1 ⋅ k −1= k 1⋅ v '

v ' = k −1

k 1 ⋅ v 1 = k −1

k 1 ⋅  2gR

Kosztem uzyskanej energii kinetycznej ciało wzniesie się na wysokość h:

 m 1  m 2  gh =  m 1  m 2  v ' 2

 k −1 2

 k 1 2 ⋅2gR

h = v ' 2

2g =  k −1 2

 k 1 2 ⋅ R

[ h ]= m

m v 2

2g =

Zad. 4.

Tak jak w poprzednich zadaniach kulę się połączą, zatem prędkość po zderzeniu wyniesie:

p 1  p 2 = p 3

m v 1  M − v 2 = m  M ⋅ v '

v ' = mv 1 − Mv 2

m  M

Niech Ek oznacza energię układu przed zderzeniem, natomiast Ek' po zderzeniu. Aby obliczyć, jaka

część energii ulegnie zamianie na ciepło i deformację znaleźć musimy wartość wyrażenia:

E k = E k − E ' k

E k =1− E ' k

E k =1−

 m  M  v ' 2

=1−  m  M  v ' 2

mv 2  Mv 2

mv 2

2  M − v 2  2

po podstawieniu obliczonej wcześniej prędkości początkowej po zderzeniu:

E k =1−

 m  M ⋅  mv 1 − Mv 2  2

 m  M  2

mv 2  Mv 2 =1−  mv 1 − Mv 2  2

 m  M ⋅ mv 2  Mv 2 

Nie ma chyba sensu dalej tego upraszczać :-)

Po zderzeniu układ poruszać się będzie ruchem jednostajnie opóźnionym, hamowany będzie

wyłącznie siłą tarcia:

a = F T

 m  M  = − f  m  M  g

 m  M  =− fg

Czas, przez który ciała będą w ruchu wyliczyć można z zależności na prędkośc w ruchu

jednostajnie zmiennym:

v  t = v '  at

0= mv 1 − Mv 2

m  M − fgt

t = mv 1 − Mv 2

fg  m  M 

kg ⋅ m

[ t ]=

= s

s 2 ⋅ kg

 E k

Natomiast do obliczena drogi, jaką to ciało przebędzie, skorzystamy z faktu, że siła tarcia na drodze

s spowoduje spadek energii kinetycznej do zera:

f  m  M  g ⋅ s =  m  M ⋅ v ' 2

2fg =  mv 1 − Mv 2  2

2fg m  M  2

 kg ⋅ m

s 

[ s ]=

= m

kg 2 ⋅ m

s 2

W FT = E k

F T ⋅ s =  m  M ⋅ v ' 2

s = v ' 2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: