rrz.pdf

RÓWNANIA

RÓŻNICZKOWE

ZWYCZAJNE

Listazadań

2006/2007

Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. dr Zbigniew Skoczylas

Listapierwsza

1.1

a) Z pewnej substancji radioaktywnej po upływie 4 lat zostało 20 gram, a po upływie dalszych 4 lat

tylko 4 gramy. Wyznaczyć masę substancji w chwili początkowej.

b) Polon210 ma okres połowicznego zaniku równy 140 dni. Znaleźć masę tego pierwiastka po 100

dniach, jeżeli jego masa początkowa wynosiła 200 g.

c) Okrespołowicznegozanikupewnegopierwiastkapromieniotwórczego jestrówny100lat.Ileprocent

masy początkowej tego pierwiastka pozostanie po i) 10, ii) 50, iii) 200 latach?

1.2

Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań różniczkowych na zadanych prze

działach:

a) y ( t )= sin t

t , ty ′ + y =cos t , (0 , ∞ ); b) y ( t )= t 2 , ty ′ + y =3 t 2 , R ;

c) y ( t )=

1+ t 2 , y ′ +2 ty 2 =0, R ; d) y ( t )= −

4 − t 2 , yy ′ = − t , ( − 2 , 2).

1.3

Sprawdzić,żedlakażdego C ∈ R podanefunkcjesąrozwiązaniamiwskazanychrównańróżniczkowych,

a następnie znaleźć rozwiązania spełniające zadane warunki początkowe:

a) y ( t )= t + C, y ′ =1 , y (0)=0;

b) y ( t )= Ce t , y ′ = y, y (1)= − 1;

c) y ( t )= Ce − 2 t + 1

3 e t , y ′ +2 y = e t , y (0)=1; d) y ( t )= t + C

t 2 +1 , y ′ = ty +1

t 2 +1 , y (0)=0.

1.4

Scałkować podane równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:

a) yy ′ +4 t =0; b) dy =2 ty 2 dt ;

c) t

y 2 − 1

dt + y

t 2 − 1

dy =0;

√

d) 2

ty ′ =

1 − y 2 ; e) y ′ =1+ t + y + ty ; f) y ′ +4 y = y

e − t +4

1.5

Dokonaćanalizyrozwiązańrównaniaróżniczkowego y ′ t = ky wzależnościodrzeczywistegoparametru

k. Naszkicować krzywe całkowe tego równania.

Listadruga

1.6

Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

1+ t 2

y ′ =1+ y 2 z zadanymi warunkami począt

kowymi:

a) y (1)= − 1; b) y (1)=1 .

Podać przedziały, na których są one określone.

1.7

Rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych o rozdzielonych zmiennych:

a) y ′ sin t = y ln y , y

= e ; b) t

1 − y 2 dt + y

1 − t 2 dy =0, y (0)=1;

c) t ( y +1) y ′ = y, y ( e )=1; d) y cos tdt −

1+ y 2

dy =0 , y (0)=1;

e) y ′ = y 2

1+ t 2

, y (0)= − 2; f) e y

y ′ − 1

=1 , y (0)=0.

t 2 − y 2 + y ; b) ( t − y ) dt + tdy =0; c) ty ′ = y (ln y − ln t );

d) ty ′ − y = t tg y

t ; e)

t 2 − y 2

dt + tydy =0; f) t 2 y ′ = ty + y 2 .

1.9

Rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań rózniczkowych jednorodnych oraz wyznaczyć

przedziały, na których są one określone:

t 2 + y 2

dt − 2 tydy =0, y (1)=

√

2; b) ty ′ = t + 1

2 y , y (1)=0;

c) y ′ = 4 y 2 − t 2

2 ty

, y (1)=1;

y 3 − t 3

dt − ty 2 dy =0, y (1)=3 .

1.10

Znaleźćkrzywe, dlaktórych trójkąt OSY (rysunek)utworzonyprzezoś Oy ,styczną iwektor wodzący

punktu styczności jest równoramienny (o podstawie OY ).

y = y ( t )

Listatrzecia

1.11

Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne:

a) y ′ + y =sin t ; b) y ′ +2 ty = e − t 2 ; c) ty ′ − 2 y = t 3 cos t ;

d) ty ′ − 2 y =4 t 4 ; e) ty + e t − ty ′ =0; f) (2 t +1) y ′ =4 t +2 y .

1.12

a) Załóżmy, że ψ ( t ) jest rozwiązaniem równania różniczkowego liniowego niejednorodnego (LN) y ′ +

p ( t ) y = q ( t ), a funkcja ϕ ( t ) ≡ 0 rozwiązaniem części jednorodnej tego równania (LJ) y ′ + p ( t ) y = 0,

gdzie funkcje p ( t ), q ( t ) są ciągłe na przedziale ( a,b ). Pokazać, że każde rozwiązanie y ( t ) równania

niejednorodnegomożnaprzedstawić wpostaci y ( t )= Cϕ ( t )+ ψ ( t ), gdzie C jest odpowiedniodobraną

stałą. rzeczywistą.

b) Załóżmy, że funkcje η ( t ), ψ ( t ) są różnymi ( η ( t ) ≡ ψ ( t )) rozwiązaniami równania różniczkowego

liniowego niejednorodnego (LN) . Pokazać, że każde rozwiązanie y ( t ) równania niejednorodnego ma

postać y ( t )= C ( η ( t ) − ψ ( t ))+ η ( t ), gdzie C jest odpowiednio dobraną stałą.

1.13

Wyznaczyć rozwiązania podanych zagadnień początkowych dla równań liniowych niejednorodnych

oraz podać przedziały, na których są one określone:

a) y ′ − y =1, y (3)=3; b) y ′ =( y +1)sin t , y ( t 0 ) = y 0 ;

c) ty ′ + y = t +1, y (1)=0; d) y ′ sin t cos t = y +sin 3 t , y

=0.

1.8

Scałkować podane równania różniczkowe jednorodne:

a) ty ′ =

1.14

Dla równania liniowego niejednorodnego y ′ + py = q ( t ), gdzie p ∈ R wyznaczyć rozwiązanie ϕ ( t ) w

podanej postaci, jeżeli:

a) p =4, q ( t )= t 2 − 1, ϕ ( t )= At 2 + Bt + C ;

b) p =1, q ( t )= t 4 , ϕ ( t )= At 4 + Bt 3 + Ct 2 + Dt + E ;

c) p = − 3, q ( t )=4 t 2 e − t , ϕ ( t )=

At 2 + Bt + C

e − t ;

d) p = − 1, q ( t )= te t , ϕ ( t )=( At + B ) te t ;

e) p =2, q ( t )=cos3 t , ϕ ( t )= A sin3 t + B cos3 t ;

f) p = − 2, q ( t )=2sin t

− cos t

2 , ϕ ( t )= A sin t

2 + B cos t

2 .

1.15

Znaleźć rozwiązanie równaniaróżniczkowego liniowego niejednorodnego t 2 y ′ + y =

t 2 +1

e t spełnia

jące warunek lim

t →−∞

y ( t )=1 .

* 1.16

Znaleźć równanie krzywej przechodzącej przez punkt (1,1), dla której pole trójkąta OST (rysunek)

utworzonego przez oś Ot, styczną i wektor wodzący punktu styczności jest stałe i równa się 1.

y = y ( t )

1.17

Rozwiązać podane równania różniczkowe Bernoulliego:

a) y ′ +2 ty =2 ty 2 ; b) 3 ty 2 y ′ − 2 y 3 = t 3 ; c) t

y ′ + y 2

= y ;

d) y ′ − 2 y =

√

y sin t ; e) y ′ + y

t = ty

√

y , t > 0; f) y ′ = y

y 2 e t − 1

1.18

Rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych Bernoulliego oraz wyznaczyć

przedziały, na których są one określone:

a) t 2 y ′ +2 ty = y 3 , t > 0 y (1)= − 1; b) ty ′ + y = y 2 ln t , y (1)=1;

c) y ′ − 2 y =2

√

ye t ln t , y (1)=0; d) 2 y ′ ln t + y

t = 1

y , y ( e )=

√

Listaczwarta

* 1.23

Wyznaczyć równania różniczkowe rodzin krzywych określonych podanymi równaniami:

a) y = Ct 3 ; b) t 2 +4 y 2 = C ; c) y − Ct = C − 1; d) y 2 =2 Ct − 2 t 2 .

* 1.24

Znaleźć równania rodzin krzywych ortogonalnych do podanych rodzin krzywych:

a) y = Ct 2 ;

b) t 2 + y 2 =2 Cy ; c) y = C

t ;

d) y 2 = t + C .

1.25

a) Basen o pojemności 10 000 litrów zawiera 1000 litrów czystej wody. Do basenu wlewa się woda o

skażeniu 50% z prędkością 20 litrów na minutę. Przez otwór spustowy ciecz wylewa się z prędkością

10 litrów na minutę. Wyznaczyć skażenie wody w chwili napełnienia zbiornika.

b) W hali o objętości 200 m 3 powietrze zawiera 0.15 % dwutlenku węgla. Wentylator podaje w ciągu

minuty 20 m 3 powietrza zawierającego 0.04 % CO 2 . Po jakim czasie stężenie dwutlenku węgla w hali

zmniejszy się dwukrotnie?

c) Zbiornik o pojemności 250 litrów napełniony jest 4 % wodnym roztworem alkoholu. Po włączeniu

pomp ( t = 0) do zbiornika wlewa się 20 % wodny roztwór alkoholu z prędkością 5 l/min, a powstała

mieszaninawylewasiędwarazyszybciej.Poiluminutachilośćalkoholuwzbiornikubędzienajwiększa?

1.26

a) Kultura licząca 500 bakterii rozwija się według wykładniczego prawa wzrostu tak, że po trzech

godzinach osiąga stan 8000 bakterii. Po jakim czasie populacja będzie liczyła milion bakterii?

b) Populacja pewnego gatunku ryb rozwijająca się według wykładniczego prawa wzrostu podwoiła

liczbę swoich osobników w ciągu 10 lat. Po ilu latach liczba ryb potroi się?

c) Populacja pewnego gatunku biologicznego, której rozwój opisany jest równaniem logistycznym li

czyła na początku 5 tys. osobników. Po 10 dniach ich liczba wzrosła do 8 tys. osobników, by po

dostatecznie długim czasie ustabilizować się na poziomie 15 tys. osobników. Wyznaczyć czas, po któ

rym populacja podwoiła liczbę swoich osobników.

1.27

a) Termometr z pokoju, w którym wskazywał 20 ◦ C, wystawiono na zewnątrz, gdzie panował 5 ◦ C

chłód.Po jednejminucienatermometrze byłojuż12 ◦ C.Pojakimczasie termometrbędziewskazywał

temperaturę tylko o 10 % wyższą niż faktyczna?

b) Ciało, którego temperatura wynosi 220 ◦ C umieszczono w pomieszczeniu o temperaturze 60 ◦ C. Po

10minutachjegotemperaturaobniżyłasiędo140 ◦ C.Wtymmomenciewłączonoklimatyzatory, które

obniżają temperaturę otoczenia z szybkością 1 ◦ C na minutę. Jaka będzie temperatura T ciała po t

minutach od chwili uruchomienia klimatyzatorów?

1.28

a) W obwodzie elektrycznym połączono szeregowo opornik o oporności R =10[], cewkę o indukcyj

ności L = 2 [H] oraz źródło napięcia stałego E ( t ) = 12 [V]. Wyznaczyć graniczne natężenie prądu w

obwodzie, gdy t → ∞ . Naszkicować funkcję I ( t ) [A], jeżeli I (0)=0 . 2 [A].

b) W obwodzie elektrycznym połączono szeregowo opornik o oporze R =5[], cewkę o indukcyjności

L = 2 . 5 [H] oraz zewnętrzną siłę elektromotoryczną E ( t ) = 10sin t [V]. Wyznaczyć natężenie prądu

I ( t ) [A] w obwodzie, jeżeli I (0)=0.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: