Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl
ELEMENTY LOGIKI I TEORIA MNOGOŚCI
TEMAT: KLASYCZNY RACHUNEK
PREDYKATÓW
1. Wstęp.
W niniejszej pracy omówiony zostanie kolejny system logiczny, który może służyć do analizy rozumowań – klasyczny rachunek predykatów (KRP), nazywany również klasycznym rachunkiem kwantyfikatorów (KRK). System ten, będąc bardziej złożonym od rachunku zdań czy sylogistyki, nadaje się do analizy takich rozumowań, wobec których tamte systemy są bezradne.
Szerokie pole zastosowania rachunku predykatów okupione zostaje jednakże poważną wadą – system ten jest o wiele bardziej skomplikowany od dotychczas poznanych. Sprawne posługiwanie się nim wymaga znacznej wiedzy i uważane jest czasem za wyższy stopień wtajemniczenia logicznego. W obecnym rozdziale rachunek predykatów przedstawiony zostanie w postaci możliwie najprostszej, jednakże, nawet mimo tego, jego opanowanie będzie wymagało większego wysiłku, niż to było konieczne w przypadku poprzednich systemów. Zrozumienie rachunku predykatów wymaga w miarę sprawnego posługiwania się rachunkiem zdań. Przede wszystkim konieczna jest dobra znajomość spójników logicznych oraz tabelek zero-jedynkowych.
2. Schematy zdań.
Poznawanie rachunku predykatów rozpoczniemy, tradycyjnie, od tłumaczenia zdań języka naturalnego na język tego systemu. Schematy zdań na gruncie rachunku predykatów przypominać będą w pewnym stopniu schematy zapisywane w ramach rachunku zdań. Podobieństwo to wynika z obecności w języku rachunku predykatów spójników logicznych – negacji, koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności. Znaczenia tych spójników oraz reprezentujące je symbole (~, Ù, Ú, ®, º) są tu dokładnie takie same jak w rachunku zdań. W rachunku predykatów mamy jednak również nowe elementy – predykaty oraz kwantyfikatory. Do pisania schematów będziemy też wykorzystywali tak zwane zmienne indywiduowe, które będą oznaczały dowolne obiekty (indywidua).
Predykaty pełnią w KRP rolę analogiczną do zmiennych zdaniowych w KRZ. To właśnie one, w połączeniu ze zmiennymi indywiduowymi, są tu najprostszymi wyrażeniami, z których, za pomocą spójników, możemy budować dłuższe zdania. Predykaty symbolizować będziemy przy pomocy dużych liter, np.: P, Q, R, S itd., po których, w nawiasie, będą znajdowały się zmienne indywiduowe, reprezentowane przez małe litery x, y, z itd. Tak więc najprostszymi poprawnymi wyrażeniami na gruncie rachunku predykatów są takie zapisy jak np.: P(x), czy R(x,y). Pierwsze z nich odczytujemy jako P od x, a drugie jako R od x, y. Wyrażenia złożone otrzymujemy poprzez użycie spójników logicznych. Schemat P(x) Ù ~ Q (x) odczytamy jako P od x i nieprawda, że Q od x. Natomiast R(x,y) ® (P(x) Ú P(y)) – jako jeśli R od x,y to P od x lub P od y.
Predykaty są wyrażeniami opisującymi własności lub relacje. Własność to nic innego, jak pewna cecha posiadana przez jakiś obiekt. Własnością jest, na przykład, „bycie inteligentnym” (cecha jakiegoś człowieka), „bycie parzystą” (cecha liczby), „bycie smacznym”, „bycie drogim” itp. itd. Umówmy się, że predykat opisujący jaką cechę oznaczać będziemy zwykle, dla wygody, przy pomocy pierwszej litery tej cechy. I tak, na przykład, fakt, że jakiś obiekt posiada cechę bycia mężczyzną, oznaczymy M(x), bycia bogatym – B(x), bycia zarozumiałym – Z(x) itp. Gdy w jakimś złożonym wyrażeniu pojawią się dwie własności zaczynające się na tę samą literę, to oczywiście jedną z nich będziemy musieli oznaczyć inaczej.
Relacje to pewne związki łączące kilka obiektów. Nas będą przede wszystkim interesowały tak zwane relacje dwuargumentowe, będące związkami występującymi pomiędzy dwoma obiektami. Relacją taką jest na przykład „lubienie” (jedna osoba lubi drugą osobę), „bycie wyższym” (ktoś lub coś jest wyższe od kogoś lub czegoś), „okradzenie” (ktoś okradł kogoś) itp. Predykaty oznaczające takie relacje będziemy zapisywali odpowiednio: L(x,y), W(x,y), O(x,y).
Relacjami z większą ilością argumentów nie będziemy się zajmować. Dla porządku podajmy jednak przykłady relacji łączących trzy obiekty. Może być to na przykład „relacja znajdowania się pomiędzy” (P(x,y,z) – obiekt x znajduje się pomiędzy obiektem y a obiektem z), czy też relacja „zdradzania z kimś” (Z(x,y,z) – osoba x zdradza osobę y z osobą z).
Ściśle rzecz biorąc własności też są relacjami – tak zwanymi relacjami jednoargumentowymi. Jednakże, dla większej jasności, w dalszych rozważaniach termin „relacja” zarezerwujemy dla relacji dwuargumentowych, natomiast relacje jednoargumentowe będziemy nazywali „własnościami”.
Kwantyfikatory to wyrażenia określające ilość przedmiotów, o których jest mowa. Z kwantyfikatorami zetknęliśmy się już w sylogistyce, choć tam nie wspominaliśmy, że tak je właśnie nazywamy. W rachunku predykatów będziemy mieli do czynienia z dwoma kwantyfikatorami. Pierwszy z nich odpowiada wyrażeniu dla każdego i jest najczęściej oznaczany symbolem ". Kwantyfikator ten bywa nazywany „dużym kwantyfikatorem” lub „kwantyfikatorem ogólnym”. Drugi z kwantyfikatorów odpowiada wyrażeniu niektóre, w znaczeniu istnieje przynajmniej jedno takie. Kwantyfikator ten, oznaczany symbolem $, nazywany jest „małym kwantyfikatorem”, „kwantyfikatorem szczegółowym” lub „kwantyfikatorem egzystencjalnym”.
W schematach zdań, po kwantyfikatorach będą znajdowały się (bez nawiasów, a więc inaczej niż przy predykatach) symbole zmiennych, do których dany kwantyfikator się odnosi, na przykład "x oznacza dla każdego x, natomiast $y – istnieje takie y lub niektóre y
Zapis taki jak $x P(x) – odczytamy jako istnieje takie x, że P(x) lub (mniej formalnie) istnieje x mające własność P, niektóre x mają własność P itp.
Kwantyfikatory, inaczej niż predykaty, mogą występować obok siebie nie połączone żadnymi spójnikami. Zapis "x$y R(x,y) odczytamy dla każdego x istnieje y, takie że R od x, y lub dla każdego x istnieje takie y, że x i y są w relacji R.
Kwantyfikatory możemy poprzedzać spójnikiem negacji. Przykładowo, wyrażenie ~ $x P(x) odczytamy – nie istnieje takie x, że P od x (nie istnieje x mające własność P, żadne x nie ma własności P), natomiast $x ~"y R(x,y) – istnieje x, takie że nie dla każdego y, R (x,y) (istnieje takie x, że nie dla każdego y, x jest do niego w relacji R, istnieje takie x, które nie do wszystkich y jest w relacji R).
Przy pisaniu schematów będziemy w rachunku predykatów korzystali również z nawiasów, które podobnie jak w rachunku zdań, pełnią pomocniczą role, pokazując co się z czym łączy i likwidując możliwe wieloznaczności.
Do pisania schematów może przydać się jeszcze jedna istotna informacja. Dotyczy ona pojęcia tak zwanej zmiennej związanej przez kwantyfikator oraz zmiennej wolnej (niezwiązanej). Każdy kwantyfikator „wiąże” zmienną, która się przy nim znajduje – np. kwantyfikator $x wiąże zmienną x, a "y – zmienną y. Kwantyfikatory wiążą jednak nie wszystkie danego typu, ale tylko te, które znajdują się w ich zasięgu – czyli w nawiasie otwartym bezpośrednio po kwantyfikatorze lub, w przypadku braku nawiasu, w wyrażeniu najbliższym kwantyfikatorowi. Najłatwiej wyjaśnić to na przykładzie: w schemacie "x (P(x) ® Q(x)) związane są zmienne x w całej formule, natomiast w schemacie "x P(x) ® Q(x) jedynie zmienna znajdująca się przy predykacie P (zmienna przy Q jest w takim razie zmienną wolną). W schemacie $x(P(x) Ù Q(x,y)) ® "z R(z,x) zmienna x jest związana przy predykacie P oraz Q, natomiast wolna przy R; zmienna y jest wolna (nie ma w ogóle wiążącego jej kwantyfikatora); zmienna z jest związana (przez kwantyfikator ")
Pojęcie zmiennej wolnej i związanej będzie dla nas istotne, gdyż w prawidłowo zapisanych schematach zdań języka naturalnego nie mogą występować zmienne wolne (mówiąc inaczej wszystkie zmienne muszą być związane jakimś kwantyfikatorem). Z faktu tego wynika istotny wniosek – każdy schemat będzie musiał zaczynać się jakimś (przynajmniej jednym) kwantyfikatorem, który będzie wiązał występujące dalej zmienne. Żadna zmienna nie będzie mogła się pojawić, zanim nie wystąpi wiążący ją kwantyfikator.
Jeśli w schemacie nie ma zmiennych wolnych, to można go zawsze tak odczytać, aby nie wypowiadać słów iks, igrek, zet itp., których przecież w zdaniach języka naturalnego nie używamy. Przykładowo, gdy przyjmiemy, że predykat F oznacza własność bycia filozofem, to schematy $x F(x) oraz "x F(x) możemy wprawdzie odczytać kolejno: istnieje x będący filozofem, oraz dla każdego x, x jest filozofem, ale o wiele zgrabniej jest powiedzieć istnieją filozofowie (niektórzy są filozofami) oraz każdy jest filozofem. Zabieg „pozbycia” się zmiennych nie jest możliwy, gdy są one wolne; schemat F(x) musimy odczytać: x jest filozofem. To ostatnie wyrażenie nie jest na pewno, przynajmniej z punktu widzenia logiki, zdaniem języka naturalnego, a jedynie tak zwaną „formą zdaniową”.
3. Praktyka: Budowanie schematów zdań.
Przystępując do budowania schematów zdań w ramach rachunku predykatów, musimy sobie przede wszystkim uświadomić, jakie w naszym zdaniu występują własności i/lub relacje i zastąpić je odpowiednimi symbolami predykatów. Następnie powinniśmy się zastanowić, jakie kwantyfikatory będą nam w schemacie potrzebne. Ostatecznie musimy połączyć wszystko w całość przy pomocy spójników i nawiasów, tak aby otrzymać schemat danego zdania.
Pisząc schemat zdania należy pamiętać, że ma to być zawsze tak zwany schemat główny, czyli możliwie najdłuższy, najgłębiej wnikający w strukturę zdania; taki w którym obecne są wszystkie możliwe do wyodrębnienia spójniki, predykaty i kwantyfikatory.
Rozpoczniemy od budowania bardzo prostych schematów zdań, w których występują jedynie własności.
Przykład:
Zapiszemy schemat zdania: Niektórzy złodzieje są politykami.
W zdaniu tym jest mowa o dwóch własnościach – byciu złodziejem oraz byciu politykiem; oznaczymy je odpowiednio literami Z i P. Zdanie zaczyna się od zwrotu niektórzy, będącego odpowiednikiem kwantyfikatora $, a więc od tego symbolu powinien rozpocząć się nasz schemat. Nasze zdanie stwierdza, że istnieją obiekty, które są zarówno złodziejami, jak i politykami (posiadają obie te cechy jednocześnie), w związku z czym potrzebny nam będzie jeszcze spójnik koniunkcji. Ostateczny schemat przedstawia się następująco:
$x (Z(x) Ù P(x))
Nawias w powyższym schemacie jest konieczny, aby pokazać, że kwantyfikator wiąże zmienną x znajdującą się zarówno przy predykacie Z, jak i przy P.
Zapiszemy schemat zdania: Każdy rasista jest ograniczony.
W powyższym zdaniu mowa jest o dwóch własnościach – bycia rasistą i bycia ograniczonym. Mamy tu też słowo każdy, będące odpowiednikiem kwantyfikatora ogólnego. Pewnym problemem dla początkujących może być znalezienie odpowiedniego spójnika łączącego predykaty R oraz Q. Gdybyśmy jednak wstawili tu koniunkcję, tak jak w poprzednim przykładzie, otrzymalibyśmy schemat "x (R(x) Ù O(x)), czyli wyrażenie mówiące: każdy jest rasistą i jest ograniczony (każdy jest ograniczonym rasistą) – a więc na pewno nie zdanie, którego schemat mamy napisać. Nasze zdanie, Każdy rasista jest ograniczony, stwierdza, że jeśli ktoś jest rasistą, to jest on ograniczony, a więc prawidłowy schemat powinien wyglądać:
"x (R(x) ® O(x))
Zapiszemy schemat zdania: Nie każdy logik jest abstynentem.
W powyższym zdaniu występują własności bycia logikiem oraz bycia abstynentem. Jest też odpowiednik kwantyfikatora dla każdego, jednak poprzedzony słowem nie. Tak więc schemat powinien zacząć się od zwrotu: ~ "x. Jako spójnika łączącego predykaty należy użyć implikacji (wykorzystanie koniunkcji dałoby schemat zdania: Nie każdy jest logikiem i abstynentem). Mamy więc:
~ "x (L(x) ® A(x))
Zapiszemy schemat zdania: Niektórzy studenci nie są pilni.
W zdaniu mowa jest o własnościach bycia studentem i bycia pilnym. Ta druga jest jednak zanegowana. Zdanie stwierdza, że są osoby posiadające własność bycia studentem i jednocześnie nie posiadające własności bycia pilnym. A zatem:
$x (S(x) Ù ~ P(x))
Zapiszemy schemat zdania: Żaden dziennikarz nie jest obiektywny.
W powyższym zdaniu mamy na pewno do czynienia z własnością bycia dziennikarzem oraz bycia obiektywnym. Kłopot sprawić może wybór odpowiedniego kwantyfikatora. Czemu odpowiadać może słowo żaden w rozważanej wypowiedzi? Z jednej strony jest to „negatywny” sposób powiedzenia czegoś o wszystkich dziennikarzach – o każdym dziennikarzu zdanie stwierdza, że nie jest obiektywny. Z innego punktu widzenia można jednak również powiedzieć, iż zdanie stwierdza, że nie istnieje taki dziennikarz, który posiadałby cechę bycia obiektywnym. Czy schemat zacząć należy zatem wyrażeniem "x, czy też ~ $x? Obie odpowiedzi na to pytanie są dobre! Otóż, w przypadku powyższego zdania, napisać możemy dwa równie dobre schematy:
"x (D(x) ® ~ O(x)), oraz
~ $x (D(x) Ù O(x))
Oba te schematy są logicznie równoważne; mówią one dokładnie to samo. Dyskusje budzić może, który z nich uznać należy za bardziej pierwotny; lepiej, w sposób bardziej naturalny, oddający strukturę rozpatrywanego zdania. Wielu logików twierdzi, że zdanie typu żaden... nie jest... jest zdaniem ogólnym (więcej na ten temat w rozdziale o sylogizmach), a więc jego schemat powinien zaczynać się od kwantyfikatora ". Inni dopuszczają jednak również drugi schemat, jako w równym stopniu właściwy.
W wielu podobnych przypadkach nie ma zgody, które schematy należy uznać za poprawne, a które nie. Najlepiej kierować się wskazówką, że schemat powinien w sposób najbardziej intuicyjny odzwierciedlać strukturę danego zdania. Jeśli zdanie zaczyna się od zwrotu nie każdy, to schemat powinien zacząć się od ~ ", jeśli zdanie zaczyna się od niektóre, to schemat rozpoczynamy od $.
4. Utrudnienia i pułapki.
Obecnie zajmiemy się bardziej złożonymi schematami. Często zdarza się tak, że w przypadku dłuższych zdań istnieje wiele możliwości zbudowania poprawnych schematów. Dopuszczalne są różne możliwości, szczególnie w zakresie stosowania nawiasów i ustawienia kwantyfikatorów. Na omówienie wszystkich tych możliwości i związanych z nimi niuansów nie starczyłoby tu miejsca – wspomniana zostanie tylko część z nich. Dlatego podane niżej rozwiązania należy traktować w niektórych przypadkach jako przykładowe, nie wykluczające innych poprawnych odpowiedzi.
Więcej predykatów.
Oczywiście w formule może znajdować się więcej predykatów niż jeden lub dwa.
Napiszemy schemat zdania: Nie każdy znany muzyk jest artystą.
W zdaniu powyższym mamy do czynienia z trzema własnościami – byciem muzykiem, byciem znanym oraz byciem artystą. Zdanie stwierdza, że nie każdy kto posiada dwie pierwsze, posiada również trzecią, czyli, mówiąc bardziej formalnie, nie każdy x, jeśli posiada własność M oraz Z, to posiada też własność A. Schemat będzie wyglądał zatem następująco:
~ "x [(M(x) Ù Z(x)) ® A(x)]
W powyższym schemacie koniunkcja M(x) Ù Z(x) znajduje się w nawiasie, aby wyraźnie było widoczne, że głównym spójnikiem jest tu implikacja. Jeśli chodzi o zastosowanie nawiasów w złożonych formułach, to w rachunku predykatów obowiązują wszystkie zasady znane z rachunku zdań.
Wątpliwości może budzić, czy prawidłowa jest kolejność, w jakiej umieszczone zostały człony koniunkcji, czyli cechy bycia muzykiem i bycia znanym. Kolejność ta jest jednak całkowicie bez znaczenia. Koniunkcja, w jej rozumieniu przyjętym w logice, ma tę własność, że jej człony możemy umieszczać w dowolnej kolejności i nie zmienia to w niczym sensu wyrażenia. Tak więc równie dobry byłby schemat: ~ "x [(Z(x) Ù M(x)) ® A(x)]
Więcej kwantyfikatorów.
W schemacie może oczywiście występować więcej niż jeden kwantyfikator.
Zapiszemy schemat zdania: Wszystkie inteligentne kobiety mają powodzenie, ale niektóre z kobiet mających powodzenie nie są inteligentne.
W zdaniu powyższym widzimy trzy własności: bycia kobietą, bycia osobą inteligentną i posiadania powodzenia. Zdanie to składa się jednak z dwóch części połączonych słowem ale, czyli odpowiednikiem koniunkcji. Każda z tych części zaczyna się innym kwantyfikatorem – pierwsza ogólnym, druga szczegółowym.
"x[(K(x) Ù I(x)) ® P(x)] Ù $x[(K(x) Ù P(x)) Ù ~ I(x)]
Pamiętać należy, że, z uwagi na przemienność koniunkcji, równie poprawne byłyby schematy, w których człony koniunkcji znalazłyby się w odwrotnej kolejności.
▲
Co znaczy „tylko”?
Zapiszemy schemat zdania: Tylko kobiety są matkami.
W zdaniu tym mamy oczywiście dwie własności: bycia matką i bycia kobietą. Problem stanowić może określenie kwantyfikatora i układu własności w formule. Z podobną trudnością spotkaliśmy się już przy pisaniu schematów na gruncie sylogistyki. Być może niektórzy pamiętają, że zdania typu Tylko S są P określiliśmy wtedy jako ogólno-twierdzące, a zatem zaczynające się od kwantyfikatora ogólnego – ". Jeśli jednak napisalibyśmy schemat: "x (K(x) ® M(x)) to otrzymalibyśmy fałszywe zdanie Każda kobieta jest matką. Nasze zdanie stwierdza natomiast coś odwrotnego: to, że tylko kobiety są matkami, oznacza, że każda matka jest kobietą. A zatem schemat powinien wyglądać:
"x (M(x) ® K(x))
Co znaczy „tylko niektórzy”?
Rozpatrywane powyżej zdania typu Tylko A są B należy koniecznie odróżnić od zdań Tylko niektóre A są B.
Zapiszemy schemat zdania: Tylko niektórzy studenci uczą się systematycznie.
Zwrot tylko niektórzy w powyższym zdaniu oznacza, że istnieją studenci, którzy posiadają cechę U (uczą się systematycznie), ale są również tacy, którzy cechy takiej nie posiadają. Lub inaczej: istnieją studenci mający cechę U, lecz jednocześnie nie wszyscy cechę tę posiadają. Dwa równoprawne schematy powyższego zdania, to zatem:
$x (S(x) Ù U(x)) Ù $x (S(x) Ù ~ U(x)), lub
$x (S(x) Ù U(x)) Ù ~ "x (S(x) ® U(x))
Pojawiają się relacje.
Dotąd rozpatrywaliśmy bardzo proste zdania, w których mieliśmy do czynienia jedynie z predykatami jednoargumentowymi, opisującymi własności. Więcej kłopotów sprawić mogą zdania w których obecne będą predykaty oznaczające relacje. Początkowo zapisywanie takich schematów może wydawać się niezmiernie skomplikowane, między innymi dlatego, że nie ma na to jakiejś jednej, sprawdzającej się zawsze metody. Przerobienie kilku przykładów powinno jednak wiele wyjaśnić.
Po nabraniu pewnej wprawy, zapisywanie schematów zdań w języku predykatów może stać się ciekawą rozrywką intelektualną, podobną np. do rozwiązywania krzyżówek.
Zapiszemy schemat zdania: Niektórzy studenci lubią niektóre przedmioty.
W zdaniu powyższym jest mowa o dwóch własnościach – bycia studentem oraz bycia przedmiotem (oznaczymy je literami S i P). Obok nich mamy tu jeszcze do czynienia z relacją, która zachodzi pomiędzy studentem i przedmiotem – relacją lubienia (x lubi y). Relację tę oznaczymy przy pomocy predykatu L, po którym, w nawiasie, będą znajdowały się dwie zmienne, czyli L(x,y). W rozpatrywanym zdaniu występuje również, dwukrotnie, zwrot odpowiadający kwantyfikatorowi szczegółowemu (niektóre).
Przystępując do pisania schematu powyższego zdania dobrze jest spróbować na początku wypowiedzieć je przy pomocy wyrażeń używanych w języku predykatów. Zdanie to mogłoby wyglądać na przykład następująco: Istnieje pewien obiekt (oznaczmy go x), który ma własność bycia studentem; istnieje też inny „obiekt” (oznaczmy go y), który jest przedmiotem i pomiędzy tymi obiektami zachodzi relacja lubienia. Teraz powyższe zdanie możemy zapisać przy pomocy symboli:
$x [S(x) Ù$y (P(y) Ù L(x,y...
stary_hipis