Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl
Ruch drgający
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus i cosinus.
Siła harmoniczna
Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą sprężystości. Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona równaniem F= - kx gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości. Nazywamy to prawem Hooke'a.
Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do sprężyny) znalazła się w położeniu x = A, a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu będzie dane równaniem x = Acoswt . Z II zasady dynamiki Newtona wynika, że – kx/m = a czyli – kx/m = dv/dt wreszcie –kx/m=d2x/dt2 ; 0=d2x/dt2+ kx/m ; w2=k/m ; d2x/dt2+w2x=0 ; dx/dt=Awcos(wt+j) ; d2x/dt2=-Aw2cos(wt+j).
Najogólniejszym rozwiązaniem jest x=Asin(wt+j) , gdzie j jest dowolną stałą fazową. Stałe A i j są określone przez warunki początkowe. V=dx/dt= wAcos(wt+j) ; a=dV/dt=d2x/dt2=-w2Acos(wt+j) = a=-w2x.
Wartości Maksymalne to: wychylenie x=A ; prędkość Vmax=wA ; przyśpieszenie amax=-w2A.
Niech T oznacza okres drgań – jest to najkrótszy czas po którym wszystkie wielkości opisujące ruch powtarzają swoje wartości. Funkcja coswt lub sinwt powtarza się po czasie T dla którego wT = 2p. Ta szczególna wartość czasu jest zdefiniowana jako okres T=2p /w. Liczba drgań w czasie t jest n = t/T .Gdy podzielimy obie strony przez t, otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu n/t=1/T .Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań f=1/T .Dla ruchu harmonicznego w=pierw(k/m) więc otrzymujemy T=2P*pierw(m/k) Jest to okres drgań masy m przyczepionej do końca sprężyny o stałej sprężystości k.
Należy zwrócić uwagę że okres drgań nie zależy od amplitudy drgań A. Energia ruchu harmonicznego prostego.
Ec=Ek+Ep ; Ek=mV2/2 ; Ek=mw02A2/2*cos2(wt+j) ; Epx-E0=0òxkxdx ; Eox=kx2/2=kA2/2*sin2(wt+j) ; Ec=mw2/2*A2cos2(wt+j) + kA2/2*sin2(wt+j) ; w2=k/m ; Ec=mwo2A2cos2(wt+j)+mwo2A2/2*sin2(wt+j)=mwo2A2=kA2/2
Składanie drgań harmonicznych odbywających się wzdłuż jednej prostej.
Przypuśćmy , że x=Acos(wt+j) opisuje ruch harmoniczny. Poprowadzmy oś OX (umownie nazwaną oporową) i wykreślmy wektor Ao równy liczbowo amplitudzie A skierowany z punktu O pod kątem j do osi OX. Jeżeli faza początkowa ma wartość dodatnią to kąt j odmierzamy od osi OX w kierunku przeciwnym do kierunku wskazówek zegara. Rzut wektora Ao na oś OX równa się wychyleniu xo w momencie rozpoczęcia liczenia czasu (xo=Acosj). wo1=wo2=wo ; x1=A1cos(wt+j) ; x2=A2cos(wt+j) ; x=Acos(wt+j) ; A2=A12+A22-2A1A2cos(1800-(j2-j1)) ; A2=A12+A22+2A1A2cos(j2-j1) ; A=pierw(A12+A22+2A1A2cos(j2-j1)) ; tgF=(A1cosj1+A2sinj2)/(A1cosj1+A2cosj2) ; I przez arctg otrzymujemy F ; x=AsinF ; F=wot+F0 ; x=pierw((A12+A22+2A1A2cos(j2-j1))*cos(wot+F0) ; |A1-A2|£A£A1+A2 ; 1) j1-j2=0 A=A1+A2 ; 2)j2-j1=P/2 A=pierw(A12+A22) ; 3)j2-j1=P A=|A1-A2| . Załóżmy, że drgania składowe zachodzą wzdłuż jednej prostej (zachodzą w tym samym kierunku) ale moją różne okresy. Dla prostych rozważań zakładamy, że amplitudy drgań są takie same. |A’1|=|A1|=A1 ; x1=A1cos(wo1+j) ; x2=A2cos(wo2+j) ; x=Acos(wo+j) ; A=pierw(A12+A22+2A1A2cos(wo2-wo1)t) ; A2=2A12+2A12cos(wo2-wo1)t ; A2=2A12+2A12cos(wo2-wo1)t ; A2=2A12(1+cos(wo2-wo1)t) ; A2=2A12*2cos2((wo2-wo1)/2)*t ; A=2A1|cos(wo2-wo1)/2)*t| ; F=(F2-F...
stary_hipis