Liczby zespolone
1. Ciekawostki historyczne
Początki liczb zespolonych sięgają już XVI wieku. W czasach dzisiejszych nie można przecenić ich znaczenia i wkładu w rozwój nauki. Co ciekawsze jako pierwszy zaczął je używać Rafael Bombelli, który nie był matematykiem. Był on inżynierem kierującym pracami przy osuszaniu bagien i terenów błotnych w Toskanii. Co więcej, wielu sławnych matematyków nie chciało pogodzić się z ich istnieniem i zaprzeczało ich istnieniu.
Obecnie liczby zespolone są codziennym narzędziem nie tylko matematyka czy fizyka, ale i inżyniera, któremu oddają ogromne korzyści w elektronice, aerodynamice itd..
Pojawienie się liczb zespolonych wiąże się ściśle z problemem rozwiązania równania kwadratowego o wyróżniku (delcie) ujemnym. W szczególności problem sprowadza się do obliczenia pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.
Jeżeli ograniczymy się do liczb rzeczywistych, to jak wiadomo obliczanie pierwiastka z liczby ujemnej jest niewykonalne. Nie kłopocząc się tym zbytnio Bombelli założył jego istnienie i nazywał go liczbą urojoną (wyimaginowaną), a poprzednio znane liczby liczbami rzeczywistymi.
Zwolennicy istnienia tych liczb wykonywali na nich działania tak, jak na liczbach rzeczywistych dodając, odejmując, mnożąc i dzieląc. Oznaczali pierwiastek z liczby -1 literą i przyjmując, że i2=-1. Swobodnie dodając i mnożąc liczby rzeczywiste i urojone tworzyli nowe liczby postaci a+bi , które dziś nazywamy liczbami zespolonymi.
Początek XIX wieku zdarł wszelką mistykę z tych liczb, gdyż przyniósł ich ścisłe określenie. Pierwsze z nich – Gaussa - wykazało, że liczby zespolone są to właściwie punkty płaszczyzny euklidesowej, w której wprowadzono pewne działania zwane dodawaniem i mnożeniem punktów czyli liczb zespolonych. Drugie ujęcie - Hamiltona - wprowadza liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych, ze specyficznym (specjalnym) sposobem ich dodawania i mnożenia.
2. Definicja liczby zespolonej, interpretacja geometryczna.
Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych (a,b). Często taką parę zapisuje się w postaci sumy
z = a + bi , gdzie i2=-1.
Tą postać liczby zespolonej nazywamy postacią kanoniczną. Liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą, zaś liczbę b częścią urojoną liczby zespolonej z. Część rzeczywista oznaczamy Re z, a część urojoną symbolem Im z, mamy więc:
Re z = aIm z = b.
Liczba zespolona jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy Re z = 0 i Im z = 0.
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są równe odpowiednio ich części rzeczywiste i urojone.
Liczbę zespoloną postaci a -bi nazywamy liczbą sprzężoną do liczby z=a +bi i oznaczamy ją z reguły symbolem . Liczbie tej odpowiada na płaszczyźnie punkt, który jest położony symetrycznie do punktu (a,b) względem osi Ox.
Liczby zespolone postaci a + 0i zapisujemy jako a i utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi.
Liczbom rzeczywistym a = a + 0i odpowiadają punkty na płaszczyźnie o rzędnej równej zeru, tzn. punkty osi odciętych (osi Ox ). Dlatego oś odciętych nazywamy osią rzeczywistą.
Jeżeli część rzeczywista liczby zespolonej jest równa zero, to liczba ma postać bi i nazywamy ją liczbą urojoną. Liczbom urojonym bi = 0 +bi odpowiadają punkty o odciętej równej zeru, tzn. punkty osi rzędnych (osi Oy). Dlatego oś rzędnych nazywamy osią urojoną.
Płaszczyznę, której punktom przyporządkowano w powyższy sposób liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną Gaussa.
Liczbie zespolonej z = a + bi odpowiada punkt płaszczyzny o współrzędnych (a,b).
Także o wektorze łączącym początek układu współrzędnych z punktem M(a, b) odpowiadającym liczbie zespolonej z = a + bi mówimy, że przedstawia geometrycznie liczbę zespoloną z.
3. Działania na liczbach zespolonych.
Na liczbach zespolonych możemy wykonywać podobnie jak na liczbach rzeczywistych podstawowe działania. Przyjmijmy oznaczenia: z1 = a + bi , z2 = c + di.
Liczby zespolone dodajemy, odejmujemy i mnożymy tak, jak wyrażenia algebraiczne pamiętając, że i2=-1. Tak więc:
z1+z2 = (a+c) + (b+d) i,z1-z2 = (a-c) + (b-d) i,z1× z2 = (ac-bd) + (ad+bc) i.
Modułem liczby z = a + bi nazywamy liczbę
Dzielenie liczb zespolonych jest trochę trudniejsze. Łatwo można wykazać, że
Obliczając iloraz (zakładając oczywiście, że ) mnożymy licznik i mianownik tego ułamka przez sprzężenie mianownika (liczby z2). Otrzymujemy wtedy następujący wzór
Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są rozszerzeniem działań na liczbach rzeczywistych, tzn. w przypadku liczb rzeczywistych jest obojętne czy np. mnożymy je jako liczby rzeczywiste czy zespolone z częścią urojoną równą zero. Z podanych definicji działań na liczbach zespolonych wynika, że działania dodawania i mnożenia liczb zespolonych są łączne i przemienne oraz mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Zachowane są również znane własności odejmowania i dzielenia. Powyższe stwierdzenia powodują, że dla liczb zespolonych prawdziwe są wzory skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, twierdzenie Bezout itd.. Nie określamy natomiast nierówności liczb zespolonych innych niż rzeczywiste.
Przykład.1.
Znajdź część rzeczywistą i urojoną liczby (5+2i)+(-3-i).
Aby znaleźć część rzeczywistą i urojoną należy dodać podane liczby zespolone. Otrzymujemy wówczas
(5+2i) + (-3-i) = (5-3) + (2-1) i = 2+i
Zatem część rzeczywista równa jest 2, a urojona 1.
Przykład.2.
Wykonaj działania (-1+7i) ‧(4+10i).
Działania należy oczywiście wykonać w odpowiedniej kolejności (najpierw mnożenie, potem dodawanie i odejmowanie) pamiętając, że i2=-1.
(-1+7i)‧(4+10i) = -1‧4 + (-1)‧10i + 7i‧4 + 7i‧10i = -4 -10i + 28i - 70 = -74+18i
Przykład.3.
Jaka liczba zespolona powstanie w wyniku podzielenia liczby 2i przez liczbę 1+i.
W wyniku dzielenia otrzymujemy oczywiście ułamek .
Wystarczy teraz pomnożyć licznik i mianownik tego ułamka przez liczbę sprzężoną do liczby 1+i (z mianownika), czyli przez 1-i, a następnie uprościć otrzymane wyrażenie.
Przy dzieleniu liczby 2i przez liczbę 1+i otrzymujemy zatem liczbę 1+i.
Zadania.
Wykonaj działania
1. (2-i)(3+2i)-5i ,
2. (5-(6+4i))-(3+2i)(3-2i),
3. (1+2i)2,
4. Postać trygonometryczna liczby zespolonej.
Zamiast określać liczbę zespoloną z = a + bi różną od zera poprzez podanie jej części rzeczywistej i urojonej możemy ją określić inaczej - współrzędnymi biegunowymi - podając odległość r punktu M(a, b) od początku układu współrzędnych oraz kąt φ jaki tworzy wektor z dodatnim kierunkiem osi Ox.
Wówczas zachodzą związki
stąd
oraz dla
Liczbę r, która jest długością wektora jest modułem liczby zespolonej z = a +bi , co zapisujemy
Widać stąd, że liczba zespolona jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy moduł jej jest równy zeru.
Kąt φ nazywamy argumentem liczby zespolonej z, co zapisujemy
φ = arg z
Dla liczby zespolonej o module równym zero, argument nie jest określony.
Argument określamy z dokładnością do wielokrotności składnika 2π, gdyż obrót o kąt 2π stanowi obrót o kąt pełny. Watrość argumentu φ spełniającą warunek
nazywamy wartością główną argumentu, lub po prostu argumentem głównym.
Na podstawie związków określających moduł i argument liczby zespolonej (wymienionych wyżej) liczbę zespoloną można wyrazić poprzez jej moduł i argument w postaci
Postać tę nazywamy postacią (przedstawieniem) trygonometryczną liczby zespolonej.
Przedstawmy w postaci trygonometrycznej liczbę z = -2+2i.
W tym celu obliczmy moduł i argument danej liczby
Zatem liczba z = -2+2i zapisana w postaci trygonometrycznej, to
Postać trygonometryczna ułatwia w szczególności mnożenie i dzielenie liczb zespolonych.
Jeżeli liczby zespolone z1 i z2 dane są w postaci trygonometrycznej
to
Widać więc, że aby pomnożyć (podzielić) dwie liczby zespolone wystarczy pomnożyć (podzielić) ich moduły i dodać ich argumenty (odjąć od argumentu licznika argument mianownika).
Przedstaw w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone
a12nn