Algebra 1-09 formy kwadratowe.pdf
(
80 KB
)
Pobierz
19536664 UNPDF
Wykład9
Zadanie
Zbada¢,czyforma:
g
(
x
1
,x
2
,x
3
)=[
x
1
,x
2
,x
3
]
2
6
4
123
252
320
3
7
5
2
6
4
x
1
x
2
x
3
3
7
5
jestdodatniookre±lona.
Rozwi¡zanie
Wystarczyzbada¢,czydodatnies¡minorygłówne,awi¦c
wyznaczniki:
G
1
=1
=1
>
0
G
2
=
12
25
G
3
=
123
252
320
=
−
25
<
0
Tooznacza,»etaformaniejestdodatniookre±lona.Rzeczywi±cie
g
(1
,
1
,
−
2)=
−
10
<
0.
Sprowadzanieformykwadratowejdopostacikanonicznej
Niech
g
b¦dzieform¡kwadratow¡wprzestrzeni
R
n
,wtedy
g
mo»eby¢
zapisanewpostaci:
g
(
x
1
,x
2
,...,x
n
)=
n
X
g
ii
x
2
i
+2
n
X
g
ij
x
i
x
j
i
=1
i
=1
,j
=1
,i<j
wprzedstawieniutymmog¡wyst¦powa¢elementypo
x
i
x
j
.Zadaniesprowa-
dzaniadopostacikanonicznejpolegawi¦cna”pozbywaniusi¦”tychelemen-
tów.Dokładniejmówi¡czadanietopoleganaszukaniuzmiennych
y
1
,y
2
,...,y
n
zale»nychliniowood
x
1
,x
2
,...,x
n
,dlaktórychformakwadratowa
g
ma
przedstawienie:
g
(
y
1
,...,y
n
)=
a
1
y
2
1
+
a
2
y
2
+
...
+
a
n
y
2
n
Istniejekilkametodsprowadzaniadopostacikanonicznej.Tutajomówimy
dwiepodstawowe:metod¦Lagrange’aimetod¦Jacobiego.
1
MetodaLagrange’a
MetodaLagrange’awykorzystujeuogólnieniewzoruskróconegomno»eniana
kwadratsumyelementów,amianowicie:
(
b
1
+
b
2
+
...
+
b
n
)
2
=
b
2
1
+
b
2
2
+
...
+
b
2
n
+2
X
i
=1
,j
=1
,i<j
b
i
b
j
Metod¦t¡omówimynaprzykładzie.Niech
g
(
x
1
,x
2
,x
3
)=2
x
2
1
−
x
2
2
+3
x
2
3
+2
x
1
x
2
−
4
x
1
x
3
−
3
x
2
x
3
wtedymo»emyzebra¢elementy,którezawieraj¡
x
1
iotrzymujemy:
g
(
x
1
,x
2
,x
3
)=2(
x
2
1
+
x
1
x
2
−
2
x
1
x
3
)
−
x
2
2
+3
x
2
3
−
3
x
2
x
3
nast¦pnie”wyci¡gamykwadrat”zgodniezpowy»szymwzorem:
g
(
x
1
,x
2
,x
3
)=2(
x
1
+
1
2
x
2
−
x
3
)
2
−
1
2
x
2
2
−
2
x
2
3
+2
x
2
x
3
−
x
2
2
+3
x
2
3
−
3
x
2
x
3
st¡d
g
(
x
1
,x
2
,x
3
)=2(
x
1
+
1
2
x
2
−
x
3
)
2
−
3
2
x
2
2
+
x
2
3
−
x
2
x
3
dalejpost¦pujemypodobniejakpowy»ejz”kawałkiem”zawieraj¡cymtylko
zmienne
x
2
,
x
3
,awi¦c:
g
(
x
1
,x
2
,x
3
)=2(
x
1
+
1
2
x
2
−
x
3
)
2
−
3
2
(
x
2
2
+
2
3
x
2
x
3
)+
x
2
3
=
2(
x
1
+
1
2
x
2
−
x
3
)
2
−
3
2
(
x
2
+
1
3
x
3
)
2
+
1
6
x
2
3
+
x
2
3
=
2(
x
1
+
1
2
x
2
−
x
3
)
2
−
3
2
(
x
2
+
1
3
x
3
)
2
+
7
6
x
2
3
Je±liprzyjmiemyteraz
y
1
=
x
1
+
1
2
x
2
−
x
3
,
y
2
=
x
2
+
1
3
x
3
,
y
3
=
x
3
to
otrzymamy:
g
(
y
1
,y
2
,y
3
)=2
y
1
−
3
2
y
2
+
7
6
y
3
otrzymaneprzedstawieniejestwi¦cpostaci¡kanoniczn¡naszejformy.
MetodaJacobiego
MetodaJacobiegopoleganawykorzystaniualgorytmupodobnegodoalgoryt-
muortogonalizacji
Grama
−
Schmidta
.Omówimyt¡metod¦natymsamym
przykładziecopoprzednio:
g
(
x
1
,x
2
,x
3
)=2
x
2
1
−
x
2
2
+3
x
2
3
+2
x
1
x
2
−
4
x
1
x
3
−
3
x
2
x
3
2
wtedywbaziekanonicznejmacierztejformyjestnast¦puj¡ca:
G
=
2
6
4
2 1
−
2
1
−
1
−
3
2
−
2
−
3
2
3
3
7
5
Szukamybazy
b
1
,b
2
,b
3
takiej,»e
f
(
b
i
,b
j
)=0je±li
i
6
=
j
.Baz¦t¡szukamyw
postaci:
b
1
=
e
1
b
2
=
e
2
+
k
12
b
1
b
3
=
e
3
+
k
13
b
1
+
k
23
b
2
Podobniejakwprzypadkuortogonalizcji
Grama
−
Schmidta
otrzymujemy
k
ij
=
−
f
(
b
i
,e
j
)
f
(
b
i
,b
i
)
,awi¦c:
k
12
=
−
f
(
b
1
,e
2
)
f
(
b
1
,b
1
)
=
−
1
2
i
b
2
=[
−
1
2
,
1
,
0]
dalejmamy:
k
13
=
−
f
(
b
1
,e
3
)
f
(
b
1
,b
1
)
=1
,k
23
=
−
f
(
b
2
,e
3
)
f
(
b
2
,b
2
)
=
−
1
3
st¡d:
b
3
=[
7
6
,
−
1
3
,
1]
ponadto
f
(
b
3
,b
3
)=
7
6
.Wtedyposta¢kanonicznanaszejformydwuliniowej
jestnast¦puj¡ca:
f
(
y
1
,y
2
,y
3
)=
f
(
b
1
,b
1
)
y
2
1
+
f
(
b
2
,b
2
)
y
2
2
+
f
(
b
3
,b
3
)
y
2
3
=2
y
2
1
−
3
2
y
2
2
+
7
6
y
2
3
ije±liprzez
A
oznaczymymacierzprzej±ciaodbazykanonicznejdobazy
b
1
,b
2
,b
3
tootrzymamyzwi¡zekmi¦dzyzmiennymi
x
1
,x
2
,x
3
,azmiennymi
y
1
,y
2
,y
3
:
2
x
1
x
2
x
3
3
2
y
1
y
2
y
3
3
6
4
7
5
=
A
6
4
7
5
Wnaszymprzypadku:
2
1
−
1
2
7
6
0 1
−
1
3
0 0 1
3
A
=
6
4
7
5
3
wtedy
2
1
1
2
−
1
01
1
3
00 1
3
A
−
1
=
6
4
7
5
imamy:
2
y
1
y
2
y
3
3
2
x
1
x
2
x
3
3
2
1
1
2
−
1
01
1
3
00 1
3
2
x
1
x
2
x
3
3
6
4
7
5
=
A
−
1
6
4
7
5
=
6
4
7
5
6
4
7
5
det
G
i
,gdziedet
G
0
=1,adet
G
i
,i
=1
,
2
,
3s¡minoramigłównymimacierzy
G
.
MetodaJacobiegomapewneograniczenia,je±libowiemktóry±zewspół-
czynników
f
(
b
i
,b
i
)jestrównyzerotoniemo»nawyznaczy¢odpowiednich
k
ij
.Ztegocozostałopowiedzianepowy»ejmetodaJacobiegodziaławtedy
gdyka»dyzminorówgłównychmacierzy
G
jestró»nyod0.
Nazako«czenienaszychrozwa»a«dotycz¡cychprzestrzenieuklidesowych
iunitarnychzdefiniujemypoj¦ciesprz¦»eniaodwzorowanialiniowego.Niech
V
b¦dzieprzestrzeni¡euklidesow¡(unitarn¡)iniech
'
:
V
!
V
b¦dzie
homomorfizmemprzestrzeni
V
,wtedyistniejedokładniejedenhomomorfizm
'
,taki»edlaka»dego
u,v
2
V
:
(
'
(
u
)
|
v
)=(
u
|
'
(
v
))
n
jestprzestrzeni¡unitarn¡zestandardowymiloczynemskalar-
nymi
A
jestmacierz¡operatora
'
to
A
jestmacierz¡operatora
'
.
4
Mo»nazauwa»y¢,»ewspółczynniki
f
(
b
i
,b
i
)(wyst¦puj¡ceprzy
y
2
i
s¡równe
det
G
i
−
1
Operator
'
nazywamyoperatoremsprz¦»onymzoperatorem
'
.
Je±li
V
=
C
Plik z chomika:
kasica171
Inne pliki z tego folderu:
Algebra 0-10 wielomiany.pdf
(90 KB)
Algebra 0-11 macierze.pdf
(79 KB)
Algebra 0-12 permutacje.pdf
(81 KB)
Algebra 1-03 wymiar i baza przestrzeni liniowej.pdf
(57 KB)
Algebra 1-04 przestrzenie i przekształcenia liniowe.pdf
(88 KB)
Inne foldery tego chomika:
( LEKTURY )
( MEDYCYNA )
( PORADNIKI, SŁOWNIKI I INNE )
_Język-ANGIELSKI
++Kursy Angielskiego MP3
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin