Zasada superpozycji (nakładania się) fal : w ośrodku liniowym fale rozchodzą się niezależnie od siebie, tak więc podczas jednoczesnego rozchodzeniu się w nim kilku fal wypadkowe zaburzenie w jakimkolwiek punkcie tego ośrodka jest równe sumie zaburzeń pochodzących od każdej z nich oddzielnie.
Na przykład jeśli w ośrodku liniowym rozchodzi się jednocześnie n różnych fal mechanicznych, to wypadkowe wychylenie s, prędkość v oraz przyspieszenie a cząstek ośrodka w dowolnej chwili t:
,,
,,są odpowiednio wartościami przesunięcia, prędkości i przyspieszenia, jakie miałyby cząstki w tej samej chwili t, gdyby w ośrodku rozchodziła się tylko i-ta fala.
Korzystając z zasady superpozycji fal oraz analizy Fouriera (sposób przedstawienia funkcji okresowej w szereg) można dowolną falę niesinusoidalną przedstawić w postaci równoważnego jej zbioru fal sinusoidalnych, tzn. przedstawić w postaci grupy fal lub paczki fal. Zbiór wartości częstości tych fal sinusoidalnych nazywamy widmem częstości (lub po prostu widmem) rozpatrywanej fali niesinusoidalnej. W zależności od charakteru wzbudzanych przez falę drgań, widmo jej częstości może być dyskretne (liniowe), lub ciągłe.
Zależności opisujące rozchodzenie się w ośrodku liniowym dowolnego zaburzenia (sygnału), będącego falą niesinusoidalną, są proste tylko pod warunkiem, że ośrodek w którym rozchodzi się to zaburzenie, nie jest dyspersyjny. W takim przypadku sygnał rozchodzi się w ośrodku bez zmiany swego "kształtu", gdyż wszystkie fale sinusoidalne tworzące tę paczkę mają jednakowe prędkości fazowe, równe prędkości sygnału.
W ośrodku dyspersyjnym składowe sinusoidalne paczki falowej, odpowiadającej fali niesinusoidalnej, rozchodzą się z różnymi prędkościami. Dlatego paczka falowa w miarę rozchodzenia się "rozmywa się" i zmienia się "kształt" sygnału.
Najprostszą paczką falową jest quasi-sinusoidalna fala płaska, którą otrzymujemy w wyniku nałożenia się dwóch rozchodzących się wzdłuż osi OX fal płaskich o jednakowych amplitudach oraz bliskich co do wartości częstościach i liczbach falowych.
Fala ta różni się od fali sinusoidalnej tym, że jej amplituda
jest wolnozmienną funkcją czasu t oraz współrzędnej x.
Jako prędkość rozchodzenia się tej fali niesinusoidalnej przyjmujemy prędkość u przemieszczania się punktu M, w którym amplituda A ma jakąkolwiek wartość stałą (na przykład A = 0 lub A = 2Ao). Punkt M porusza się zatem według prawa :
stąd
Prędkość u nazywamy prędkością grupową. Jest ona równa prędkości przenoszenia energii przez falę quasi-sinusoidalną. Prędkość grupowa jest wielkością wygodną do opisu transportu energii (przekazu sygnału) za pośrednictwem fal niesinusoidalnych o pewnym widmie częstości pod warunkiem, że widmo to nie jest bardzo szerokie, a dyspersja fal w ośrodku nie jest zbyt duża dla tych częstości. Związek między prędkością grupową () i fazową () jest wyrażonym wzorem
gdzie jest długością fali. W ośrodku bez dyspersji i prędkość grupowa pokrywa się z prędkością fazową.
Rozważając dyfrakcję elektronów na pojedynczej szczelinie ujawnia się falowa natura cząstek. Przez analogię do dyfrakcji światła na szczelinie spodziewamy się, że rozkład ilości zliczanych elektronów w jednostce czasu będzie wyglądał tak jak przy przejściu światła przez szczelinę i pierwsze minimum pojawi się dla kąta spełniającego warunek
gdzie a jest szerokością szczeliny , - długością fali de Broglie'a elektronów.
Interesują nas elektrony, których położenie wypada w maksimum głównym. Możemy przyjąć, że gdy elektron przechodzi przez szczelinę, niepewność jego położenia w kierunku y będzie rzędu szerokości szczeliny . Niepewność jego składowej pędu dla tego kierunku oszacujemy na : (elektron po przejściu przez szczelinę może być odchylony o dowolny kąt z przedziału do ). Jeśli związek między pędem cząstki a jej falą materii wyraża się wzorem , , to dostajemy :
Wynik naszych rozważań możemy podsumować następująco: mniejsza szczelina dokładniej zlokalizuje cząstkę, ale spowoduje poszerzenie obrazu dyfrakcyjnego, a zatem i większą niepewność w poprzecznej składowej pędu. Zwiększenie szczeliny wiąże się z gorszym określeniem położenia elektronu, za to uzyskamy większą dokładność jej poprzecznej pędu. Jednoczesne dokładne określenie obu wielkości y i nie jest możliwe. Przyczyna tego nie leży w sposobie przeprowadzania eksperymentu, ale jest po prostu prawem przyrody.
Podobne rozważania doprowadziły Heisenberga do sformułowania następującej zasady nieoznaczoności(zwanej również zasadą nieokreśloności):
Wśród wielkości fizycznych opisujących zachowanie układu w skali mikroskopowej można wyróżnić pary o tej własności, że niemożliwe jest jednoczesne przeprowadzenie ścisłego pomiaru obu wielkości z danej pary :
gdzie
-------------------------------------------------------------------------------
Należy pamiętać, że zasady nieoznaczoności są odbiciem praw natury, a nie konsekwencją niedokładności przyrządów pomiarowych. Poza tym ograniczenie jest nakładane na dokładność iloczynu obu wielkości, a nie na dokładność każdej z tych wielkości osobno. Oznacza to, że możliwy jest dokładny pomiar jednej wielkości z pary, ale kosztem olbrzymiej niedokładności drugiej.
Długość fali materii stowarzyszonej z cząstką ( a jednocześnie pęd cząstki) będzie dokładnie określona, jeśli fala ta ma charakter periodyczny i rozciąga się w sposób nieograniczony w przestrzeni. Przykładem jest fala cząstki swobodnej. Ale spoglądając na taką falę, trudno jest nam wyróżnić obszar, w którym prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest większe niż gdzie indziej w przestrzeni.
ZATEM POŁOŻENIE CZĄSTKI JEST NIEOKREŚLONE !
Chcąc dobrze opisać położenie cząstki zlokalizowanej, musimy użyć funkcji, która ma wyraźnie większą amplitudę w obszarze, gdzie powinna znajdować się cząstka, tylko że wówczas trudno jest z dobrą dokładnością podać . Pamiętając, że pęd i długość fali są ze sobą powiązane relacją de Broglie'a (), widzimy, że pęd może być dobrze określony, gdy jest dobrze określone i vice versa. W przypadku cząstki swobodnej mamy nieokreślone położenie cząstki, ale dobrze znamy jej pęd. W przypadku cząstki zlokalizowanej możemy określić obszar, w którym ona przebywa, ale niewiele możemy powiedzieć o jej pędzie. I w ten oto sposób doszliśmy znowu do zasady Heisenberga.
Nasuwa się pytanie, dlaczego na co dzień wykonując pomiary nie napotykamy takich ograniczeń. Odpowiedź brzmi :
w świecie makroskopowym zasada Heisenberga nie jest istotna, ponieważ wielkość stałej Plancka h jest bardzo mała
Chcąc zmierzyć dokładnie energię cząstki (układu) należy obserwować ją przez możliwie długi czas. Jeśli elektron w atomie zostaje wzbudzony na wyższy poziom energetyczny i pozostaje na nim przez długi okres czasu, to nieokreśloność czasu jest duża. Na mocy zasady nieokreśloności jego przejściu do stanu podstawowego będzie towarzyszyć emisja fotonu o dobrze określonej energii E, ponieważ nieokreśloność energii jest mała. W przypadku krótko żyjącego poziomu wzbudzonego mamy małe , więc jest duże i rozmycie energetyczne emitowanego kwantu jest spore.
36. Schrodinger
Położenie cząstki w przestrzeni w danej chwili określone jest w mechanice kwantowej przez zadanie funkcji falowej (tzw. funkcja ). Prawdopodobieństwo dw tego, że cząstka znajduje się w elemencie objętości dv, jest proporcjonalne do i do elementu objętości dV :
dw=
gdzie: jest kwadratem modułu funkcji Symbol oznacza sprzężenie zespolone funkcji . Wielkość jest gęstością prawdopodobieństwa i opisuje prawdopodobieństwo przebywania cząstki w danym punkcie przestrzeni. Intensywność fali de Broglie'a określona jest przez wielość .
Z definicji funkcji wynika warunek normalizacji prawdopodobieństwa
w którym potrójną całką objętościową obliczamy po współrzędnych x, y, z w granicach od do tj. po całej nieskończonej przestrzeni. Warunek normalizacji oznacza, że znalezienie się cząstki gdziekolwiek w przestrzeni stanowi zdarzenie pewne i jego prawdopodobieństwo powinno być równe 1.
Funkcja falowa stanowi podstawową charakterystykę stanu mikroobiektów (atomów, cząsteczek, cząstek elementarnych). Za jej pomocą obliczamy średnią wartość wielkości fizycznej L, charakteryzującej obiekt, który znajduje się w stanie opisywanym przez funkcję falową :
gdzie jest wartością średnią wielkości L
Podstawowe równanie różniczkowe mechaniki kwantowej dla funkcji falowej nazywamy zależnym od czasu równaniem Schrodingera. Określa ono funkcję dla mikrocząsteczek poruszających się w polu sił o energii potencjalnej z prędkością v<<c gdzie c jest prędkością światła w próżni. Równanie Schrodingera ma postać
gdzie jest operatorem Laplace'a, m - masą cząstki, , a h jest stałą Plancka, a jednostką urojoną.
Uzupełnienie równania Schrodingera stanowią warunki, jakie należy nałożyć na funkcję
a) funkcja powinna być skończona, jednoznaczna i ciągła :
b) pochodne powinny być ciągłe
c) funkcja powinna być całkowalna, tzn. całka
powinna być skończona
W przypadku gdy funkcja U nie zależy od czasu rozwiązanie równania Schrodingera z czasem ma postać :
przy czym zależne od współżędnych części funkcji falowej spełnia stacjonarne równanie Schrodingera:
,
gdzie W jest energią cząstki.
Funkcje które spełniają równanie Schrodingera przy zadanej postacie , nazywamy funkcjami własnymi. Istnieją one jedynie dla określonych wartości W, nazywanych wartościami własnymi energii. Zbiór wartości własnych W tworzy widmo energetyczne cząstki. W zależności od postaci funkcji widmo energetyczne cząstki może być dyskretne lub ciągłe. Wyznaczanie wartości własnych i funkcji własnych stanowi najważniejsze zadanie mechaniki kwantowej.
W przypadku, gdy, zależne od czasu równanie Schrodingera ma rozwiązanie w postaci:
Zależność stanu cząstki od czasu opisuje okresowa funkcja czasu, zmieniająca się w częstość kołową określoną przez energię W cząstki. Odpowiada to powiązaniu energii cząstki W z częstością fali de Broglie'a
Jeżeli cząstka znajduje się w określonym stanie energetycznym o energii W = const, to prawdopodobieństwo dw znalezienia jej w elemencie objętości dV nie zależy od czasu . Taki stan cząstki nazywamy stanem stacjonarnym. Atom znajdujący się w stanie stacjonarnym ma stałą energię i nie emituje fal elektromagnetycznych.
37 Jama potencjalna
Jamą (studnią) potencjału nazywamy obszar przestrzeni w którym energia potencjalna U cząstki jest mniejsza od pewnej wartości Umax. W szczególności, przy U= U(x) i xxxxx mamy jednowymiarową jamę potencjału o nieskończonej głębokości. Jeżeli energia potencjalna cząstki na zewnątrz i wewnątrz jamy ma następujące wartości:
dla
to jama ma "płaskie dno".
Ruch skoletywizowanych elektronów w metalu w klasycznej teorii elektronowej rozważamy jako ruch w jamie potencjału, przy czym na zewnątrz metalu energia potencjalna jest elektronu równa jest zeru, a wewnątrz metalu jest ona ujemna i równa liczbowo pracy wyjścia elektronu z metalu.
Stacjonarne równanie Schrodingera dla cząstki w rozważanej wyżej jamie potencjalnej ma postać
z warunkami brzegowymi , które oznaczają że poza obszarem mamy , czyli że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki na zewnątrz jamy potencjału równe jest zeru.
Rozważanie równania Schrodingera ma postać :
gdzie A i B są stałymi, a - liczbą falową
Z warunków brzegowych wynika, że A=0; B<>0 i sinkL = 0, czyli liczba falowa przyjmuje szereg dyskretnych wartości spełniających żądanie gdzie n=1,2,3,...
Ostatnie równanie oznacza, że :
W długości jamy potencjału powinna mieścić się całkowita liczba połówek fali de Broglie'a.
Wielkości fizyczne, które mogą przyjmować jedynie określone dyskretne wartości, nazywamy skwantowanymi(kwantowanie wielkości fizycznych). Wartości własne energii xxx w jednowymiarowej jamie potencjału o nieskończonej głębokości
, n=1,2,...
stanowią dyskretny szereg wartości energii, która jest wielkością skwantowaną
Skwantowane wartości Wn nazywamy poziomami energii, a liczbę n, określającą poziom energetyczny cząstki w jamie potencjału liczbą kwantową.
Dla dużych liczb kwantowych (n>>1) zachodzi względne zbliżanie się poziomów energetycznych cząstki w jamie potencjału, co widać ze stosunku
NIerówność dla n>>1 oznacza, że kwantowanie energii przy dużych liczbach kwantowych daje rezultaty zbliżone do tych które otrzymujemy w fizyce klasycznej - poziomy energetyczne stają się quasi-ciągłe(quasi-ciągłość poziomów energetycznych dla n>>1).
Zasada korespondencji Bohra: wnioski i rezultaty mechaniki kwantowej uzyskiwane dla dużych liczb kwantowych powinny odpowiadać rezultatom klasycznym.
Bardziej ogólne sformułowanie zasady korespondencji : między dowolną teorią fizyczną, która stanowi rozwinięcie teorii klasycznej, a pierwotną teorią klasyczną istnieje regularny związek - w określonych warunkach nowa teoria powinna przechodzić w starą. Na przykład wzory kinematyki i dynamiki szczególnej teorii względności przeształcają się we wzory mechaniki newtonowskiej przy takich prędkościach, że (v/c)2<<1. Optyka geometryczna stanowi przypadek graniczny optyki falowej gdy możemy zaniedbać długości fali ().
heaven_paradise